Моделирование динамики экосистем

3. Моделирование динамики экосистем

Существует три основных метода моделирования экосистем:

1. Стохастический метод черного ящика (применение классической теории систем). Предполагается, что на детерминированные связи внутри системы повсеместно накладываются стохастические явления. Большая роль здесь принадлежит оценке экспериментальных данных о состоянии системы.

Детерминированный автомат — матемтическая модель системы, состояния которой меняются в дискретные моменты времени, причём каждое состояние системы полностью определяется предыдущим состоянием и входным сигналом. Д. а. формально описывается в виде функции f (si, aj) = ak, где si — входной сигнал, а aj — предыдущее состояние. Типичный пример Д. а. — цифровая вычислительная машина, в которой состояние всех регистров и ячеек определяется их предыдущим состоянием и входными сигналами. Д. а. являются естественной формой описания логической структуры дискретных вычислительных устройств. Переход к недетерминированным автоматам возможен как путём введения вероятностей смены состоянии, так и посредством свободного выбора следующего состояния.

2. Детерминистический имитационный метод (использование классических методов для изучения экосистем). Динамика каждого процесса изучается с помощью экспериментов, которым отвечают дифференциальные уравнения, входящие в одну общую модель системы. Модельные эксперименты для проверки различных теоретических предположений относительно экзогенных явлений и эндогенных изменений состояния системы

Экзогенные процессы обусловлены главным образом воздействием внешних сил: энергией солнечной радиации, силой тяжести и т. п. греч. Exo — снаружи + Genes — рождающий, рожденный (от эндо… и… ген), внутреннего происхождения, действующий внутри чего-либо, объясняемый внутренними причинами; возникающий вследствие внутренних причин выполняются с помощью компьютера.

3. Кибернетический метод (подход к экосистеме как к самооптимизирующейся системе).

При исследовании экологических процессов и систем, характеризующихся взаимосвязью детерминированных и стохастических процессов, используются соответствующим образом модифицированные методы, разработанные и апробированные в теоретической и прикладной кибернетике. Изменения в состоянии системы воспроизводятся на ЭВМ.

Кибернетика биологическая — биокибернетика, научное направление, связанное с проникновением идей, методов и технических средств кибернетики в биологию. Зарождение и развитие К. б. связаны с эволюцией представления об обратной связи в живой системе и попытками моделирования особенностей ее строения и функционирования (П. К. Анохин, Н. А. Бернштей и др.). Эффективность математического и системного подходов к исследованию живого показали и многие работы в области общей биологии (ДЖ. Холдейн, Э. С. Бауэр, Р. Фишер, И. И. Шмальгаузен и др.). Процесс «кибернетизации» биологии осуществляется как в теоретической, так и в прикладной областях. Основная теоретическая задача К. б. — изучение общих закономерностей управления, а также хранения, переработки и передачи информации в живых системах. Еще одна тенденция связана с использованием законов термодинамики необратимых процессов и применения этой теории для изучения экосистем.

В модели Краснобородько эти методы объединены для моделирования замкнутых биологических систем. Ведь не секрет, что на стыке нескольких дисциплин вероятность прорыва в науке очень велика.

4. Примеры моделей

4.1. Модель Вольтерра — Лотки

Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа «хищник — жертва», называемую моделью Вольтерра — Лотки. Впервые она была получена А. Лоткой (1925 г.), который использовал для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже и независимо от Лотки аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии.

Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид — хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками.

Итак, караси и щуки живут в некотором изолированном пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются лишь карасями. Обозначим

у — число щук,

х — число карасей.

Со временем число карасей и щук меняется, но так как рыбы в пруду много, то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать х и у непрерывныи функциями времени t. Будем называть пару чисел (х, у) состоянием модели. Попробуем из самых простых соображений найти, как меняется состояние (х, у). Рассмотрим dx/dt — скорость изменения численности карасей. Если щук нет, то число карасей увеличивается и тем быстрее, чем больше карасей. Будем считать, что эта зависимость линейная: dx/dt ~ a1 x, причем коэффициент a1 зависит только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости.

Скорость изменения dy/dt числа щук (если нет карасей), зависит от числа щук y. Будем считать, что dy/dt ~ -a2 y. Если карасей нет, то число щук уменьшается (у них нет пищи) и они вымирают.

В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений:

dx/dt = a1 x — b1 yx

dy/dt = - a2 y + b2 yx

Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты a1, a2, b1, b2 — называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния (x, y) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.