Арифметические и логические основы вычислительной техники

Основная цель настоящего учебного пособия — помочь студенту, присту;

пившему к изучению арифметики вычислительных машин, приобрести теоре;

тические знания и практические навыки выполнения основных арифметических

операций. Правильное понимание алгоритмов рассматриваемых операций под;

крепляется знанием структурных и логических схем, реализующих эти алго;

ритмы и представляющих собой некоторые операционные устройства. В посо;

бии уделяется внимание рассмотрению этих схемных решений. Достаточно

подробно рассмотрен аппарат, основанный на правилах и законах булевой ал;

гебры, ориентированный на упрощение (минимизацию) проектируемых логи;

ческих схем. Кроме того, в пособии приводятся сведения об основных формах

хранения и преобразования числовой информации, способах ее кодирования.

Достаточное внимание уделено методам контроля правильности функциониро;

вания цифрового автомата, возможным ошибкам, возникающим при его работе,

и способам их устранения.

Рассматриваемый в пособии теоретический материал сопровождается

достаточным количеством примеров, что упрощает и делает более понятным

излагаемый материал.

В заключение следует отметить, что в течение ряда лет литература, осве;

щающая арифметику вычислительных машин, не выпускалась. В пособии сде;

лана попытка устранить этот информационный пробел. Материал пособия ба;

зируется на работах [1−5].

Арифметические основы вычислительной техники

Системы счисления

В ЭВМ информация всегда представляется в виде чисел, записанных в

той или иной системе счисления. Выбор системы счисления — один из важней;

ших вопросов. От правильности его решения зависят такие характеристики

ЭВМ, как скорость вычислений, сложность алгоритмов реализации арифмети;

ческих операций и др. Система счисления — совокупность цифр, приемов и пра;

вил для записи чисел цифровыми знаками.

Любая система счисления должна обеспечивать:

 возможность представления любого числа в рассматриваемом диа;

пазоне величин;

藳 единственность этого представления;

砛 простоту оперирования числами.

Различают два типа систем счисления — непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления — система, для которой значение сим;

вола не зависит от его положения в числе. Примером может служить система

счисления с одной цифрой 1. Для записи любого числа в ней необходимо напи;

сать количество единиц, равное числу. Другой пример — это римская система

счисления.

Позиционной системой счисления называется система записи любых по

величине чисел, в которой значение цифры зависит от ее положения в числе,

т.е. веса. Число цифр в позиционной системе счисления ограниченно.

Основание (базис) r позиционной системы счисления — максимальное ко;

личество различных знаков или символов, используемых для изображения чис;

ла в данной системе счисления. Таким образом, основание может быть любым

числом, кроме 1 и бесконечности.

Любое число в системе счисления с основанием r может быть записано в

общем виде:

A=a

n· r

n

+ a

n-1· r

n-1

+…+a

1· r

+a

0· r

+ a

— 1· r

—1

+…+a

— rn-1· r

-(rn-1)

+a

— rn· r

— rn

(1)

или

i

n

m i

i

r a ∑

− =

=

i

А ,

(2)

где любая разрядная цифра a

i

∈{0,…, r-1}, a r

i

— вес соответствующего разряда.

Запись числа в форме (1) назовем записью числа в развернутой форме.

Свернутой формой записи чисел называется запись чисел в виде

A=a

a

… a

k

.

Для любой системы счисления основание представляется как 1 (один) и 0

(ноль).

Например: 9 1 F 7

10 10

2 10

16 10

Вес разряда p

i

числа выражается соотношением

p

i = r

i

/r

= r

i

где i — номер разряда при отсчете справа налево.

Если в i-м разряде накопилось значение единиц, равное или большее r, то

должна происходить передача единицы в старший i+1 разряд. При сложении

такая передача информации называется переносом. При вычитании передача из

i+1 разряда в i-й — заем.

Длина числа — количество позиций (разрядов) в записи числа. В техниче;

ской реализации под длиной числа понимается длина разрядной сетки.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления — интервал

числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами,

представленными при заданной длине разрядной сетки.

В вычислительной технике для представления данных и выполнения

арифметических операций над ними удобно использовать двоичную, восьме;

ричную и шестнадцатеричную системы счисления. Ниже коротко остановимся

на них.

Двоичная система счисления

Для записи числа в двоичной системе счисления используются две циф;

ры: 0 и 1. Основание системы записывается как 10

(2)

(2

=1· 2

+0· 2

). Используя

данную систему, любое число можно выразить последовательностью высоких и

низких потенциалов или группой запоминающих элементов, способных запо;

минать одно из двух (0,1) значений. Арифметические операции в двоичной сис;

теме счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе

счисления.

Сложение Вычитание Умножение

0+0= 0 0−0=0 0 · 0=0

0+1= 1 1−0=1 0 · 1=0

1+0= 1 1−1=0 1 · 0=0

1+1=10 10−1=1 1 · 1=1

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих выполнение ариф;

метических операций:

*

;

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0,1,2 … 7,

а основание записывается как 10

(8) (8

10=1· 8

+0· 8

). Рассмотрим выполнение опе;

раций в восьмеричной системе счисления. При их выполнении используются

правила, представленные в таблицах сложения и умножения восьмеричных

цифр.

Сложение Умножение

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 10 1 1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 10 11 2 2 4 6 10 12 14 16

3 4 5 6 7 10 11 12 3 3 6 11 14 17 22 25

4 5 6 7 10 11 12 13 4 4 10 14 20 24 30 34

5 6 7 10 11 12 13 14 5 5 12 17 24 31 36 43

6 7 10 11 12 13 14 15 6 6 14 22 30 36 44 52

7 10 11 12 13 14 15 16 7 7 16 25 34 43 52 61

*

;

Пример:

Пример: