Разработка параметрических методов исследования нестационарных систем с медленно меняющимися параметрами

Многие физические задачи сводятся к косвенному оцениванию динамических параметров физических объектов по данным измерений, например, изучение закона движения с помощью эффекта Доплера, различные дистанционные измерения (температуры, химического состава вещества) и другие. Объект наблюдения можно рассматривать как нестационарную систему, а результаты измерений представляют собой электрическую величину, зависящую от времени (процесс), которая допускает дальнейшую обработку как аналоговыми, так и цифровыми методами.

Основные результаты по оцениванию динамических параметров систем получены в теории автоматического управления и известны как теория идентификации, литература по которой со всеми её разделами весьма обширна. К теории идентификации можно отнести первые работы Найквиста [1] и Боде [2] по частотным свойствам, в которых показано, как получить частотную характеристику системы по измерениям входного и выходного сигналов, и как эта характеристика связана с характеристическим уравнением системы и его корнями. В работах Зиглера и Николса [3] рассматриваются методы идентификации с помощью ступенчатого воздействия. Н. Винер предложил при рассмотрении сложных динамических объектов, априорные сведения о которых либо отсутствуют, либо незначительны, теорию, основанную на вероятностных моделях [4]. Р. Ли рассмотрел важные вопросы последовательного оценивания состояний и параметров [5]. Стоит отметить работу Сейджа [6], посвященную важным разделам идентификации и оценивания параметров. Методы, описанные в монографиях Дойча [7] и Ван Триса [8], применимы к последовательной идентификации параметров. В работе Менделя и Фу [9] рассматривается вопрос стохастической аппроксимации и градиентной идентификации. Бокс и Дженкинс [10] рассмотрели идентификацию смешанных авторегрессионных моделей. Важное значение имеет книга Ли, Адамса и Гейнза [11], в которой обсуждаются непоследовательные регрессионные методы, а также книга Сейджа и Мелса [12].

Кашьяп и Pao [13] подчеркивают, что в их толковании теории центральное место занимают процедуры подтверждения и выбора моделей, а Седестрем и Стойка [14] особое внимание уделяют методам инструментальных переменных. Среди работ по рекуррентным методам идентификации следует отметить работы Льюнга и Седестрема [15] и Янга [16]. К предмету идентификации систем следует отнести статистические исследования моделей временных рядов, описанные в монографиях Андерсона [17], Хэннана [18] и Бриллингера [19]. Проблеме преодоления априорной неопределенности на основе адаптивной обработки сигналов посвящены работы Уидроу и Стирнза [20] и других авторов [21, 22]. По этой же тематике разрабатывал свою теорию и Р. Калман [23]. Идеи адаптации получили развитие в направлении, связанным с нейронными сетями и генетическими алгоритмами [24−26], которые оказались универсальным средством эффективного построения моделей практически любых структур. Информационную теорию идентификации рассмотрел Цыпкин [27], а Райбман [28] - дисперсионную теорию. Перечисленные теории имеют широкий спектр практического применения, но для анализа параметров нестационарных систем в режиме реального времени малоприменимы, так как требуют значительных вычислительных затрат. Поэтому параллельно перечисленным развивались методы параметрического оценивания, основанные на априорной информации о том, что структуру системы можно задать небольшим числом динамических параметров, например, переменных коэффициентов дифференциального уравнения.

Оценивание динамических параметров систем по данным наблюдений представляет собой обратную задачу, которая является некорректной в классическом смысле, но допускает построение корректного решения на некоторых компактных множествах при наличии априорной информации. В такой постановке идентификация динамической параметров системы сводится к коэффициентным обратным задачам, основы теории которых заложил А. Н. Тихонов [29, 30], с их помощью решены многие практические задачи в астрофизике, геофизике и других областях [31−34]. Однако в этих методах практически не используется параметрическое представление исследуемого процесса, поэтому построить на этой основе измерительный комплекс, работающий в режиме реального времени с высокой точностью, не удается, если процесс в сравнении с параметрами исследуемой системы является быстроменяющейся функцией.

Параметрический анализ развивается параллельно с теорией идентификации, начиная с введения Габором [35] понятия мгновенной частоты как производной полной фазы аналитического сигнала. Введенная таким образом мгновенная частота не является каузальной функцией сигнала, так как преобразование Гильберта, использующееся в определении аналитического сигнала, использует не только прошлые, но и будущие значения сигнала. Поэтому мгновенная частота по Габору не может быть точно связана с измеряемой физической величиной, например, скоростью. В дальнейшем были предложены другие определения полной фазы и методы измерения мгновенной частоты, которая понимается как производная полной фазы независимо от способа ее определения [36−39]. Существующие в настоящее время различные определения частоты колебаний построены исходя из свойств исследуемого процесса и никак не привязаны к характеристикам породившей этот процесс системы. Несмотря на это, существует множество методов оценивания частоты, которые успешно применяются для анализа параметров систем. Их недостатком, помимо отсутствия связи с физическими характеристиками системы, является то, что они основаны на принципе замороженных на интервале измерения коэффициентов, что позволяет судить лишь о некотором среднем значении параметра на интервале.

В настоящее время всё большее распространение приобретают радиоволновые методы измерений, в которых объект наблюдения зондируется волной, а изменение динамических параметров объекта переносится на изменение частоты и огибающей отраженной волны. Радиоволновые методы обладают высокой информативностью и оперативностью в получении необходимой информации о состоянии и свойствах зондируемых объектов. В этих задачах широко используется представление исследуемого процесса в виде квазигармонического колебания. В этом случае немаловажным является вопрос об однозначности определения частоты и огибающей колебаний. Вопрос о единственности представления колебания существенен, если огибающей и (или) мгновенной частоте сопоставляются измеряемые физические величины, например, огибающая определяет энергию процесса, а мгновенная частота связана со скоростью объекта, как в задаче доплеровской локации.

Цель работы.

Разработка и исследование прецизионных быстродействующих методов измерения медленно меняющихся параметров нестационарных систем путем оценивания мгновенной частоты и огибающей их квазигармонических колебаний, а также создание аппаратно-программного измерительного комплекса, реализующего разработанные методы. Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:

1. Определены физические условия единственности квачигармоническо-го представления колебаний.

2. Разработаны методы оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических колебаний:

— основанные на модификации метода Прони;

— основанный на сопоставлении отсчетам сигнала двух временных рядов с медленно меняющимися членами ряда, взаимно однозначно связанных с отсчетами огибающей и мгновенной частоты.

3. Проведен анализ точности и быстродействия разработанных методов по сравнению с существующими.

4. Создан аппаратно-программный измерительный комплекс для анализа сигналов разработанными методами.

5. Проведена проверка работоспособности методов на данных, полученных при проведении физического эксперимента.

Предмет исследования.

— Методы оценивания динамических параметров нестационарных систем.

— Условия существования и единственности квазигармонического представления колебаний.

— Метрологические характеристики параметрических методов анализа нестационарных физических систем.

Научная новизна.

1. Впервые получено условие единственности квазигармонического представления колебаний с медленно меняющимися огибающей и частотой.

2. Разработаны два новых метода оценки мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанные на модификации метода Прони.

3. Разработан метод оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанный на сопоставлении отсчетам сигнала временных рядов с медленно меняющимися членами ряда, рассчитываемыми с использованием регуляризации Тихонова.

4. Разработан новый метод компарирования медленно меняющихся частот.

5. Получены оценки точности и быстродействия разработанных методов при анализе частотно и амплитудно-модулированных сигналов с аддитивным и мультипликативным шумом.

Научно-практическое значение работы.

1. Разработанные методы оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонического сигнала являются оптимальными при реализации измерений в режиме реального времени, требуют сравнительно малых вычислительных затрат и позволяют реализовать цифровые системы оценивания частоты в диапазоне до сотен мегагерц.

2. Для разработанных методов, основанных на методе Прони, аналитически получены соотношения для дисперсии отклонения частоты при наличии аддитивного белого шума с нулевым средним, которые подтверждены численным моделированием.

3. Предложенный алгоритм сличения частот может использоваться в системах радиолокации и радионавигации, а также для модернизации стандартов частоты, которые непрерывно адаптивно корректируются по частоте государственного эталона.

4. Создан аппаратно-программный измерительный комплекс для анализа сигналов разработанными методами, который может использоваться при радиоволновых измерениях.

5. Создан и зарегистрирован программный продукт, в котором реализованы разработанные методы оценивания мгновенной частоты и огибающей и ряд известных методов, позволяющий обрабатывать как модельные, так и реальные сигналы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений.

Первый раздел посвящен обзору существующих подходов к оцениванию динамических параметров нестационарных систем. Рассматриваются непараметрические методы оценивания, такие как подход Н. Винера, который заключается в нахождении набора ядер Вольтерра исследуемой системы, подход Р. Калмана с использованием априорной информации для адаптивной подстройки системы измерения, а также регуляризация А. Н. Тихонова, в которой используется априорная информация для построения решения обратной задачи в области корректности. Рассматриваются параметрические методы оценивания, основанные на понятии мгновенной частоты, а также отдельно излагаются основные принципы метода Прони как одного из параметрических методов оценивания. Здесь же рассматривается асимптотическое решение дифференциального уравнения второго порядка с медленно меняющимися коэффициентами для последующего нахождения связи между параметрами системы и квазигармоническим представлением исследуемого сигнала. Помимо этого описаны постановка задачи и выбор методов исследования.

Во втором разделе работы рассматривается вопрос единственности квазигармонического представления исследуемого сигнала. Предложены методы оценивания мгновенной частоты сигналов с медленно меняющимися огибающей и частотой, основанные на использовании метода Прони, а также проанализирована их устойчивость к малому аддитивному шуму. Представлена структура цифрового устройства, позволяющая получать оценки мгновенной частоты в режиме реального времени. Произведено сравнение с известными методами оценивания мгновенной частоты.

В третьем разделе предложен метод оценивания медленно меняющихся параметров нестационарных систем с применением регуляризации и рассмотрены статистические свойства этого метода. Приведены результаты численного моделирования применения разработанного методов для оценивания параметров нестационарной системы, описываемой уравнением Матье.

В четвертом разделе предложен подход для решения задач компарирова-ния частот. Усовершенствован предложенный ранее метод выделения огибающей и полной фазы квазигармонического сигнала с медленно меняющейся частотой. Произведено численное моделирование и исследование статистических свойств предлагаемого метода в рамках задачи оперативного и непрерывного оценивания частоты и огибающей сигналов с медленно меняющейся амплитудой и фазой при наличии аддитивного шума. С помощью цифрового параметрического анализатора и метода выделения огибающей и мгновенной частоты квазигармонического сигнала произведена оценка динамики частоты нескольких лабораторных генераторов. Описана созданная нестационарная система на основе колебательного контура с емкостью, изменяемой по известному закону. По отклику данной системы на гармонический сигнал восстановлен закон изменения емкости и произведено его сравнение с заданным.

В заключении перечислены основные результаты работы и сделаны краткие выводы. Тексты программ и некоторые выкладки вынесены в приложения.

Заключение

.

В данной диссертационной работе предложены несколько оперативных прецизионных методов измерения медленно меняющихся параметров нестационарных систем. Эти методы сводятся к задаче измерения огибающей и мгновенной частоты колебательного процесса, источником которого является исследуемая нестационарная система. Подводя краткий итог проделанной работы, отметим ее основные результаты.

1. Показано, что если найденная мгновенная частота измеренного сигнала является медленно меняющейся функцией на квазипериоде колебаний, то она единственна, а, следовательно, алгоритмы и методы по выделению медленно меняющихся огибающей и мгновенной частоты однозначно определяют медленно меняющиеся физические параметры нестационарной системы.

2. Предложены методы оценивания мгновенной частоты сигналов с медленно меняющимися огибающей и мгновенной частотой, основанные на использовании метода Прони, а также проанализирована их устойчивость к малому аддитивному шуму. Представлена структура цифрового устройства, позволяющая получать оценки мгновенной частоты в режиме реального времени. Предлагаемые методы на основе алгоритма Прони являются оптимальными при реализации измерений в режиме реального времени, требуют сравнительно малых вычислительных затрат и позволяют реализовать цифровые системы оценивания частоты в диапазоне до сотен мегагерц. Их можно рекомендовать для оперативного оценивания мгновенной частоты широкополосных сигналов с малыми уровнями шума. Несомненным достоинством данных методов является независимость количества необходимых для их реализации операций от количества отсчетов сигнала на интервале измерения ЫЬЛ. Для этих методов аналитически получены соотношения для дисперсии отклонения частоты при наличии в исследуемом сигнале аддитивного белого шума с нулевым средним, которые подтверждены численным моделированием.

3. Предложен метод оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанный на сопоставлении отсчетам сигнала временных рядов с медленно меняющимися членами, рассчитываемыми с использованием регуляризации Тихонова, и описано его применение для нахождения переменных параметров нестационарной системы. Проведено численное моделирование для проверки и оптимизации работы метода. Полученные результаты исследований позволяют говорить, что для предложенного метода систематическая погрешность практически не зависит от малых уровней аддитивного и мультипликативного шумов.

4. Разработан динамический метод сличения частот, который позволяет осуществлять сличение частот исследуемого сигнала с эталонным, а также автоматическую синхронизацию частоты кварцевых и квантовых (рубидиевых) генераторов. Это дает возможность создать новый тип стандартов частоты, которые могут непрерывно адаптивно корректироваться частотой государственного эталона, что позволит существенно снизить их нестабильность и уменьшить погрешность по частоте их выходных сигналов.

5. Усовершенствован предложенный метод выделения огибающей и полной фазы квазигармонического сигнала с медленно меняющейся частотой с использованием регуляризации Тихонова, что позволило полностью восстанавливать обрабатываемый сигнал и контролировать качество выделения огибающей и полной фазы по энергии отклонения исходного сигнала от восстановленного. Введен параметр прореживания отсчетов сигнала и количества усреднений при получении динамики частоты и огибающей. Реализована возможность цифровой фильтрации с помощью КИХ-фильтров с линейной ФЧХ как исходного сигнала, так и промежуточных последовательностей, используемых в данном методе. Произведено численное моделирование и исследование статистических свойств усовершенствованного метода в рамках задачи оперативного и непрерывного оценивания частоты и огибающей сигналов с медленно меняющейся амплитудой и фазой при наличии аддитивного шума.

6. Сравнение разработанных методов показало, что для оценивания изменяющихся на интервале измерения величин лучше подходит метод с использованием регуляризации Тихонова, а, методы оценивания на основе метода Про-ни позволяют проводить измерения более оперативно, но с большей статистической погрешностью. Численное моделирование показало, что модернизация методов вычисления мгновенной частоты, основанных на методе Прони, путем введения коэффициента прореживания позволила получить точность вычислений, сравнимую с методом на основе регуляризации Тихонова, а в некоторых случаях даже выше.

7. С помощью созданного аппаратно-программного измерительного комплекса и разработанного метода сличения частот произведена оценка динамики частоты нескольких лабораторных генераторов и созданного генератора стабильной частоты 100 кГц. Проведен анализ полученных зависимостей.

8. Создана реальная нестационарная система на основе колебательного контура с емкостью, изменяемой по известному закону, сигнал которой аналогичен сигналам ЯМР-спектроанализаторов. С помощью цифрового параметрического анализатора динамических систем, генератора стабильной частоты 100 кГц и разработанного метода выделения огибающей и полной фазы по отклику данной системы на гармонический сигнал восстановлен ее динамический параметр. Произведено сравнение заданного и восстановленного законов, которое принципиально доказало правильность работы метода и его точность.

Часть результатов работы получены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 — 2013 годы (проект № НК-423П/14), а также в рамках гранта РФФИ 10−07−9713 ра.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю к.ф.-м.н., доценту A.B. Никитину за постоянное и внимательное руководство и д.ф.-м.н., профессору В. К. Игнатьеву за помощь в работе и критические замечания.