Классические решения в моделях некоммутативной теории поля

В последнее время теории поля на некоммутативных пространствах привлекли к себе значительный интерес. Этот интерес обусловлен несколькими причинами. Одной из них является уверенность в том, что на малых расстояниях представление о пространстве-времени должно быть заменено некоторой новой концепцией. На это указывает, в частности, невозможность измерения координат частицы в квантовой гравитации с неопределенностью меньше план-ковской длины: импульс и энергия, которые необходимо было бы передать частице при измерении с большей точностью привели бы к образованию вокруг нее горизонта событий, что сделало бы невозможным само наблюдение [1]. Некоммутативные пространства предоставляют модель такой модификации понятия пространства-времени. При этом некоммутативность координат приводит к невозможности их одновременного измерения.

Другой причиной интереса к некоммутативным теориям поля является то, что они по своей природе нелокальны. Более того, в некоммутативных калибровочных теориях группа калибровочных преобразований содержит некоторые диффеоморфизмы1. Ожидается, что и не локальность, и инвариантность по отношению к диффеоморфизмам присущи квантовой гравитации, поэтому можно надеяться приобрести некоторое понимание вопросов, связанных с квантовой гравитацией, используя некоммутативные теории в качестве моделей (упомянем, что некоммутативные теории проще в том смысле, что в них нелокальность присутствует уже на классическом уровне). Эта надежда подкрепляется тем, что некоммутативные калибровочные теории возникают как эффективное описание теории струн в некотором пределе [2−5] и являются.

1 Строго говоря, последнее свойство верно только для полей в присоединенном представлении калибровочной группы. неотъемлемой частью матричного подхода к М-теории [6].

Связь с теорией струн и М-теорией, являющимися на данный момент наиболее разработанными подходами к построению квантовой теории, объединяющей гравитацию с другими взаимодействиями, составляет еще один привлекательный аспект некоммутативных теорий поля (в первую очередь калибровочных). Так, свойства солитонов в некоммутативных калибровочных теориях совпадают со свойствами Б-бран — объектов теории струн, локализующих на своей мировой поверхности концы открытых струн. В некоммутативных теориях этому соответствует локализация калибровочных полей на солитонах. Расширяя аналогию, можно сказать, что полевым конфигурациям некоммутативных калибровочных теорий можно сопоставить различные объекты теории струн и М-теории. С другой стороны, тот факт, что некоммутативные теории во многом схожи с обыкновенными (коммутативными) теориями, делает их доступными для анализа посредством привычных методов теории поля. Таким образом, некоммутативные теории могут играть роль моста, соединяющего теорию струн и М-теорию с теорией поля.

Упомянутое выше свойство локализации калибровочных полей на некоммутативных солитонах делает их интересными с точки зрения построения теорий физики частиц, выходящих за рамки Стандартной модели. Одним из направлений в этой области, получивших заметное развитие в последнее время, являются модели, в которых наблюдаемое четырехмерное пространство-время рассматривается как гиперповерхность (брана), погруженная в объемлющее пространство большей размерности. При этом, поля материи предполагаются локализованными на бране, так что размер дополнительных измерений может быть большим или даже бесконечным. Для реализации такого сценария должен существовать механизм локализации калибровочных полей на бране. Именно такой механизм возникает в некоммутативных калибровочных теориях при рассмотрении в качестве браны некоммутативного солитона. Заметим, что на данный момент это единственная известная теоретико-полевая модель браны, локализующей на своей мировой поверхности неабелевы калибровочные поля в режиме слабой связи.

Наконец, можно надеяться, что исследование некоммутативных калибровочных теорий может пролить свет на динамику обычных калибровочных теорий. Параметр некоммутативности может играть роль регуляризующего параметра, позволяющего интерполировать между теориями с калибровочными группами различного ранга [7−11] (см. главу 4 настоящей диссертации).

Идея о том, что координаты пространства-времени могут не коммутировать между собой, была высказана по крайней мере 60 лет назад [12−15]. В то время она, однако, не получила широкого развития. Позднее была дана математическая формулировка некоммутативной теории поля и, в частности, некоммутативных калибровочных теорий [16]. В работах [2−5] была указана связь последних с теорией струн. Было показано, что некоммутативные калибровочные теории возникают в качестве эффективных теорий на мировой поверхности Б-бран во внешнем Б-поле. Затем последовало обширное исследование классических решений солитонного типа в некоммутативных калибровочных теориях [7, 17−34]. Оно показало, что свойства этих решений аналогичны свойствам Б-бран [20, 21, 26, 35] (см. также обзоры [36−39]). Так, вычисления масс солитонов и спектра флуктуаций поля на их фоне в рамках некоммутативной теории позволяют определить величины натяжения Б-бран и спектр открытых струн в их присутствии.

Проявлением соответствия между Б-бранами и некоммутативными соли-тонами является то, что последние несут на своей мировой поверхности калибровочную симметрию II (т). Если эта калибровочная симметрия не нарушена, заряженные относительно нее поля материи и калибровочные поля строго локализованы на солитоне. Как уже говорилось, благодаря этому свойству некоммутативные солитоны могут играть роль бран в моделях «мира на бране» [40].

С другой стороны, общим свойством многих моделей с большими дополнительными измерениями является не полная локализация, а квазилокализация состояний на бране [41−50]. Частицы могут быть не прикреплены к бране навсегда, а иметь конечную, хотя и малую, вероятность уйти в дополнительные измерения. Это явление может происходить даже при низких энергиях при условии, что моды, живущие в объеме, имеют непрерывный спектр, начинающийся с нулевой энергии, и существует смешивание между модами, живущими на бране, и непрерывным спектром (см., например, обзор [51]). Очевидно, такая возможность представляет интерес как для феноменологии, так и для самой теории бран.

В диссертации изучается квазилокализация состояний на солитонах в некоммутативных калибровочных теориях. Мы рассматриваем широкий класс солитонов, соответствующих «бранам внутри бран» (см., например, [52]). Спектр флуктуаций над такими решениями содержит сектор мод, способных свободно распространяться по всему объему. С точки зрения теории на мировой поверхности солитона эти моды описывают набор полей с непрерывным спектром масс. Мы приходим к выводу, что когда в таких моделях калибровочная теория С/(т) на мировой поверхности солитона находится в хиггсовской фазе, калибровочные поля и поля материи становятся квазило-кализованными. Поля, имеющие безмассовые моды в объеме, уходят в дополнительные измерения даже при низких энергияхпри малом значении параметра нарушения симметрии V (тп) время жизни по отношению к такому процессу велико по сравнению с обратными массами квазилокализованных мод.

В качестве иллюстации рассматриваются два примера. Для того, чтобы максимально прояснить механизм квази локализации, мы рассматриваем сначала простой пример вихревого решения с т намотками в калибровочной теории и (1) с полем Хиггса в пространстве с двумя некоммутативными и р коммутативными пространственными измерениями [20−23]. Распространяющиеся в объеме моды как калибровочного поля, так и поля Хиггса в этой моделе массивны, поэтому ухода этих полей в некоммутативные измерения при низких энергиях не происходит. Поэтому мы вводим дополнительное скалярное поле в присоединенном представлении, имеющее безмассовые моды в объеме. Мы показываем, что его моды, живущие на вихре, в том числе и низкоэнергетические, становятся квазилокализованными, как только калибровочная теория С/(га) на вихре попадает в хиггсовскую фазу. В этой модели имеется иерархия времен жизни разных квазилокализованных мод. Эта иерархия связана с вращательной симметрией вихревого поля: моды с большим угловым моментом живут на солитоне дольше, поскольку некоторые смешивающие члены для этих мод либо запрещены вращательной симметрией, либо подавлены центробежным барьером.

Другой пример иллюстрирует квазилокализацию собственно калибровочных полей. Это пример инстантона в теории Янга-Миллса с унитарной калибровочной группой в пространстве с четырьмя некоммутативными и р коммутирующими измерениями [17, 26, 32−34]. Такой инстантон соответствует системе Ир — + 4). Анти-самодуальные инстантоны «нулевого размера» 2.

2На самом деле такие решения несингулярны. с топологическим числом т в теории с анти-самодуальной некоммутативностью [26, 33] несут на своей мировой поверхности ненарушенную, строго локализованную калибровочную теорию £/(т). Когда же размер инстантона не равен нулю, калибровочная теория на его мировой поверхности не только находится в хиггсовской фазе, но еще и квазилокализована. Мы рассматриваем явно случай малого размера инстантона, который соответствует малым массам калибровочных бозонов на солитоне, и показываем, что ширины ква-зилокализованных калибровочных бозонов относительно ухода в некоммутативные измерения опять-таки малы по сравнению с массами этих состояний.

Попутно мы развиваем общий формализм для анализа квазилокализации на некоммутативных солитонах, основанный на разложении по малому параметру нарушения калибровочной симметрии и (т).

По-видимому, квазилокализация низкоэнергетической теории на некоммутативных солитонах является общим свойством моделей, содержащих безмассовые моды в объеме и калибровочные теории в хиггсовской фазе на мировой поверхности солитона. Можно ожидать, что в моделях «мира на бране», базирующихся на теории струн, массивные частицы, нейтральные относительно электрического заряда и цвета, должны быть нестабильны относительно ухода в дополнительные измерения. С другой стороны, частицы, несущие ненарушенные заряды калибровочной теории «мира на бране» и безмассовые калибровочные бозоны этой теории могут быть навсегда привязаны к бране и описываться эффективной четырехмерной теорией. Эта теория, однако, не полна: в столкновениях заряженных частиц могут рождаться нейтральные частицы, исчезновение которых с браны приводит к несохранению четырехмерной энергии. Возникает вопрос, как последний процесс выглядит с точки зрения четырехмерного наблюдателя. Решение этого вопроса должно учитывать гравитацию, поскольку именно она непосредственно взаимодействует с энергией-импульсом.

К сожалению, на сегодня не известно способа объединить некоммутативные калибровочные теории с гравитацией3. Поэтому мы обращаемся к модельной задаче распада гравитационного поля частицы, уходящей с браны в объем в сценарии, предложенном Рэндалл и Сандрумом [53]. Эта модель содержит 3-брану, погруженную в пятимерное пространство-время с отрицательной космологической постоянной. Натяжение браны подобрано таким образом, чтобы внутренняя геометрия браны была плоской. При этом геометрия в объеме описывается метрикой пространства-времени анти-де Ситтера (Ас18). Было показано [53−56], что в этой модели происходит локализация гравитации в следующем смысле: гравитационное взаимодействие частиц, живущих на бране, описывается при низких энергиях эффективной четырехмерной теорией.

Иначе обстоит дело для частиц, уходящих с браны. Их гравитационное поле распадается следующим образом [57] (см. раздел 2.4 настоящей диссертации). На бране образуется сферическая гравитационная волна, расширяющаяся в трехмерном пространстве со скоростью света. Четырехмерное пространство-время, остающееся за этой сферической волной, является плоским, в то время как перед волной четырехмерная метрика имеет форму обычной асимптотической метрики Шварцшильда. Эта сферическая гравитационная волна не подчиняется четырехмерным уравнениям Эйнштейна. Таким образом, гравитационные эффекты, порождаемые движущимися в объеме частицами, даже будучи измерены наблюдателем на бране, имеют существенно многомерный характер4.

3 Определенные надежды на такое объединение связаны с матричным подходом к М-теории [6].

4 Строго говоря, описание можно свести к четырехмерному, однако это требует введения бесконечно.

Как уже говорилось, некоммутативные теории нелокальны. Поэтому их свойства во многом определяются глобальной топологией пространства, на котором они заданы. Наиболее изученным примером некоммутативной теории поля является теория на некоммутативной плоскости (в более общем случае, на некоммутативном пространстве Rd). Алгебра функций Ар на некоммутативной плоскости порождается двумя координатами х и у, подчиняющимися следующему коммутационному соотношению: х, у] = гв. (1).

Эта алгебра изоморфна алгебре операторов квантовой механики системы с одной степенью свободы.

В пределе сильной некоммутативности, в —> оо, солитоны в чисто скалярной теории выражаются в терминах проекторов Р в алгебре Ар [63], удовлетворяющих соотношению.

Р*Р = Р, где * обозначает умножение в Ар. Для калибровочной теории на некоммутативной плоскости был предложен метод генерации решений [20, 21, 26, 33, 37], позволяющий получать новые точные решения, стартуя с вакуумного. В этом методе используются операторы частичной изометрии — элементы S алгебры Ар со следующими свойствами:

SS+ = 1, S+S = 1 — Р, (2) го числа дополнительных низкоэнергетических степеней свободы. В работе [58] показано, что в рамках соответствия между теорией гравитации в пятимерном пространстве-времени анти-де Ситтера и конформной теорией поля в пространстве-времени четырех измерений (AdS/CFT correspondence) [56, 59−61] гравитационному полю вылетающей в объем частицы, которое мы интерпретировали как сферическую гравитационную волну, не подчиняющуюся четырехмерным уравнениям Эйнштейна, может быть дана новая интерпретация. Оно может быть представлено как поле, порождаемое разлетающейся оболочкой конформной материипри этом с учетом тензора энергии-импульса этой материи четырехмерные уравнения гравитации выполняются. Тот факт, что оболочка разлетается со скоростью света, находится в согласии с весьма общей теоремой, доказанной в [62]. где Р — проектор. Таким образом, солитоны в некоммутативной калибровочной теории, получающиеся при помощи метода генерации решений, также определяются проекторами в алгебре Ар.

Как показано в [38], метод генерации решений тесно связан с наличием изоморфизма между свободным модулем над алгеброй Ар и прямой суммой Тр ф Ар фоковского модуля Тр (который суть не что иное, как гильбертово пространство состояний гармонического осциллятора) и свободного модуля. В случае некоммутативной плоскости, однако, использование формального алгебраического языка проективных модулей может показаться излишним, так как метод генерации решений в том виде, в котором он был предложен изначально [20, 21, 26, 33, 37], достаточно прозрачен сам по себе.

Следующими по сложности примерами некоммутативных пространств являются некоммутативные цилиндр и тор. Соответствующие алгебры будут обозначаться в дальнейшем Ас и Ат• В случае калибровочной теории на торе построить солитон в терминах связности на Ат оказывается затруднительно (насколько нам известно, к настоящему времени не построено ни одного явного солитонного решения). Построить солитон в некоммутативной калибровочной теории по-прежнему удается, если воспринимать его как связность на Тт®Ат, прямой сумме фоковского и свободного модулей [64]. Этот подход позволяет вычислить спектр малых возмущений вокруг солитона [64], который согласуется со спектром струн на фоне системы Б0-В2 бран, компактифицированной в данном случае на тор. Однако, вследствие того, что Тт Ф Ат и Аг не изоморфны [38], связность на Тт Ф Ат не индуцирует связность на свободном модуле Ат, и метод генерации решений не может быть сформулирован.

В диссертации исследована теория Янга-Миллса на некоммутативном цилиндре, занимающем промежуточное положение между плоскостью и тором. Показано, что структура пространства калибровочных полей на некоммутативном цилиндре допускает существование метода генерации решений [65]. При помощи этого метода найдены и изучены точные классические решения в теории с калибровочной группой 11(1), выражающиеся непосредственно в терминах связности на алгебре Ас (описание скалярных солитонов на некоммутативном цилиндре в пределе большого в приведено в [66]). В отличие от случая некоммутативной плоскости, алгебраический формализм, описанный в [38], оказывается наиболее адекватным для калибровочной теории на некоммутативном цилиндре.

В работе [7] было отмечено следующее необычное свойство калибровочной теории на некоммутативной плоскости. Рассмотрим С/(Л/") калибровочную теорию с некоторым N. Тогда, для любого натурального К, в этой теории существует вакуум, такой что теория над этим вакуумом совпадает с II (/С) калибровочной теорией над тривиальным вакуумом. С технической точки зрения это свойство обусловлено существованием в случае некоммутативной плоскости изоморфизма между суммами свободных модулей ^ Ар и Ар с любыми N и /С. Калибровочные теории на этих суммах являются и (М) и ?/(/С)-теориями, соответственно, так что этот изоморфизм порождает связность, соответствующую и (К) вакууму в и (М) калибровочной теории. Следует отметить, что различие калибровочных групп теорий над разными ва-куумами не может быть интерпретировано как механизм Хиггса: действие в окрестности М-ото вакуума содержит только калибровочные поля II (М) и не содержит дополнительных массивных векторных бозонов или полей Хиггса.

В случае некоммутативного тора описанное выше свойство, по-видимому, отсутствует, так как прямые суммы Ат и Ат с разными N и К не изоморфны [38]. Наши результаты показывают, что некоммутативный цилиндр аналогичен в этом смысле некоммутативной плоскости: U (Jf) калибровочные теории с разными N возникают на некоммутативном цилиндре как теории над разными вакуумами в единой калибровочной теории [65] (см. главу 3 настоящей диссертации).

Интерпретация этого свойства, данная в [7] для случая плоскости состоит в том, что число цветов N является параметром суперотбора, нумерующим различные сектора в квантовом гильбертовом пространстве некоммутативной калибровочной теории. По-видимому, так же обстоит дело и для некоммутативного цилиндра. Возникает вопрос о том, существуют ли теории, в которых вакуумы с различными калибровочными группами определяют разные фазы одной и той же теории, как, например, вырожденные вакуумы с различными вакуумными средними значениями скалярного поля в (коммутативных) скалярных теориях. В этом случае должны существовать конфигурации типа доменных стенок, разделяющих разные вакуумы.

Доменные стенки указанного типа существуют в теориях, в которых соотношение (1) обобщено таким образом, что параметр некоммутативности эффективно становится новым динамическим полем [10, 11]. Примером такой теории является калибровочная теория на размытом («fuzzy») цилиндре, предложенная в [9]. Размытый цилиндр рассматривался также в работах [67, 68]. Его можно интерпретировать как дискретизованную версию непрерывного некоммутативного цилиндра. Так же, как и последний, в коммутативном пределе размытый цилиндр сводится к обычному цилиндру.

Конфигурации с конечной энергией, интерполирующие между различными калибровочными вакуумами в теории Янга — Миллса на размытом цилиндре, были впервые построены в [69], где они были проинтерпретированы на языке теории струн как соединение Б-бран. Предложенные в [69] конфигурации, однако, нестабильны на классическом уровне, что затрудняет изучение их свойств. Причина нестабильности кроется в том, что в формулировке, рассмотренной в [69], радиус цилиндра является точным модулем теории.

В диссертации предлагается добавить к действию теории Янга — Миллса калибровочно-инвариантное слагаемое, стабилизирующее радиус цилиндра. При этом в теории появляется семейство устойчивых решений в виде доменных стенок, интерполирующих между вакуумами с калибровочными теориями и {к,) и и (лг) для произвольных к и n. Стабильность стенок гарантируется тем, что они насыщают ограничение типа БПС [70, 71], связанное с наличием в теории нетривиального топологического заряда. Мы изучаем свойства стенок, вводя в качестве пробников скаляры и фермионы, заряженные относительно калибровочной группы. Этот анализ показывает, что теории по разные стороны стенки не являются несвязанными даже в режиме низких энергий (наивном коммутативном пределе): если К, < Л/", то моды, заряженные относительно группы II (/С) свободно проникают в область с теорией и{М), где они становятся частью II (Л/-) мультиплетаостальные же поля II (Л!) мультиплета испытывают полное отражение от доменной стенки. Это свойство получает естественную интерпретацию на струнном языке. Доменная стенка с этой точки зрения представляется как конфигурация Б-бран различной формы: стопка из N — /С бран в форме пробирки, вставленная в /С цилиндрических бран. Калибровочные поля теории II (/С) соответствуют возбуждениям струн с обоими концами на цилиндрических бранахэти струны не чувствуют присутствия бран-пробирок и потому свободно распространяются вдоль всего цилиндра. С другой стороны, струны, соответствующие полям теории и (ЛГ), не входящим в и {К) мультиплет, по крайней мере одним концом прикреплены к бранам-пробиркам, поэтому они не могут проникнуть в область за доменной стенкой.

Дискретная природа размытого цилиндра может показаться его недостатком. Действительно, может возникнуть впечатление, что именно она является ключевым условием существования доменных стенок между разными калибровочными теориями, и последние отсутствуют при рассмотрении непрерывных многообразий. Такой взгляд, казалось бы, подкрепляется еще и тем фактом, что в пределе, когда размытый цилиндр переходит в некоммутативную плоскость, натяжение доменных стенок на размытом цилиндре расходится.

Другой пример, рассмотренный в диссертации, показывает, что эта точка зрения не соответствует действительности. Этот пример — калибровочная теория на некоммутативной плоскости безо всякой решеточной структуры, в которой величина параметра некоммутативности определяется вакуумным средним скалярного поля в присоединенном представлении. В такой теории существуют доменные стенки между областями с калибровочными теориями и {я) х и (м) и и (Л/*+/С) х и (м+к) для любых Л/", м и к. Геометрическая интерпретация этих стенок такова: они представляют из себя конфигурацию из ЛГ плоских Б-бран, Л4 плоских антибран и /С бран, сложенных пополам5. Свойства этих доменных стенок во многом аналогичны свойствам стенок на размытом цилиндре. В частности, остается в силе вывод о том, что даже при низких энергиях существуют заряженные моды, свободно проникающие сквозь стенку. В целом, полученные нами результаты позволяют заключить, что ранг калибровочной группы может быть динамическим параметром в некоммутативной теории.

83аметим, что решения в виде сложенных Б-бран могут рассматриваться сами по себе как явная реализация идеи о «зеркальном мире» [72−75] (см. обзор [76]), получившей в [77] развитие в контексте сценария «мира на бране» .

Наконец, мы подкрепляем струнную интерпретацию доменных стенок, производя их вложение в матричную модель М-теории (см. обзор матричной модели, например, в [6]). Последняя представляет из себя суперсимметричную квантовую механику со следующим лагранжианом:

1 = 2ДЪ + Х']2 + (£егшкшз)} ' (3) где Хг (г = 1,., 9) — эрмитовы матрицы N х ТУ", подчиняющиеся связи:

ХХ1'] = 0.

Исходно [78] эта квантовомеханическая система была предложена в качестве регуляризации теории распространяющейся в 11-мерном пространстве-времени квантовой (супер) мембраны в калибровке светового конуса. Матрицы X* играют роль функций погружения мембраны. Снятие регуляризации соответствует взятию предела N оо. На этом языке Я является натяжением мембраны.

С другой стороны, лагранжиан (3) может рассматриваться как эффективное низкоэнергетическое описание системы N БО-бран в теории струн типа НА в калибровке Ао = 0. В этом случае Я имеет интерпретацию радиуса компактификации 11-мерной М-теории до десяти измеренийв струнных единицах, 18 = 1, этот радиус равен струнной константе связи д3. Согласно предложению БФШС [79] предел большого N в матричной модели (3) описывает полную М-теорию в системе отсчета с бесконечным импульсом. Более того, было сделано утверждение [80, 81], что квантовомеханическая система (3) при конечных N описывает сектор М-теории с N единицами импульса вдоль компактного светоподобного направления.

В диссертации показано, что доменные стенки возникают как решения матричной модели в широком классе фоновых полей, представляющих из себя решения 11-мерной супергравитации, имеющие вид плоских рр-волн с неоднородной напряженностью поля 3-формы.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав основного текста и Заключения.

Заключение

.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

Показано, что поля калибровочных теорий на мировой поверхности некоммутативных солитонов, соответствующих Б-бранам внутри Б-бран, делокализуются в фазе Хиггса. Разработан общий подход к анализу такой делокализации. Для скалярного поля на вихре и калибровочного поля на инстантоне вычислены ширины по отношению к вылету с соли-тона в некоммутативные измерения. Показано, что при малой величине параметра нарушения калибровочной симметрии эти ширины малы по сравнению с массами полей, что позволяет говорить о квазилокализации последних.

Вычислено гравитационное поле частицы, уходящей с браны в объем в модели Рэндалл и Сандрума. Показано, что оно имеет вид расширяющейся со скоростью света сферической гравитационной волны, оставляющей за собой плоское пространство. Эта волна не подчиняется уравнениям четырехмерной гравитации, что демонстрирует неполноту эффективной четырехмерной теории даже при низких энергиях в моделях «мира на бране» с квазилокализованными полями.

Построены операторы частичной изометрии и полный набор ортогональных проекторов в алгебре функций на некоммутативном цилиндре. Найден изоморфизм между свободным модулем над этой алгеброй и его прямой суммой с фоковским модулем.

Метод генерации решений, предложенный изначально для калибровочных теорий на некоммутативной плоскости, обобщен на случай некоммутативного цилиндра. С его помощью в явном виде построен солитон в теории Янга — Миллса на некоммутативном цилиндре и найден спектр малых возмущений над ним.

Показано, что калибровочная теория с группой и (М) на некоммутативном цилиндре обладает бесконечным набором вакуумов, таких, что теория над вакуумом с номером /С эквивалентна теории С/(К) над тривиальным вакуумом.

Построены доменные стенки в калибровочной теории на размытом цилиндре, разделяющие области с разными калибровочными теориями, отличающимися рангом калибровочной группы. Показано, что взаимодействие между областями по разные стороны стенки не исчезает даже в коммутативном пределе.

Предложена некоммутативная калибровочная теория на плоскости с динамически меняющимся параметром некоммутативности, в которой существуют доменные стенки между областями с разными калибровочными группами.

Показано, что доменные стенки между калибровочными теориями возникают в качестве решений матричной модели М-теории в широком классе внешних полей, имеющих форму рр-волн 11-мерной супергравитации с неоднородной напряженностью поля 3-формы.