Как правило, свободная поверхность морей, озёр и других водоёмов в природных условиях находится в состоянии волнового движения. Свой вклад во множество причин, обусловливающих такое состояние, вносит воздействие на водную среду различных источников возмущений, локализованных в её толще. Например, обтекание морским течением неровностей рельефа дна приводит к образованию поверхностных волн. При этом характер возникающих на морской поверхности волн существенно зависит не только от скорости течения и геометрии обтекаемых препятствий, но и от особенностей стратификации морской среды. Установление зависимости качественного характера поверхностных возмущений от параметров водной среды и присутствующих в её толще источников возмущений, а также разработка методов, позволяющих быстро рассчитывать числовые характеристики возникающих на свободной поверхности волн, являются важными элементами задачи создания систем мониторинга морской среды и интерпретации получаемых такими системами данных.
Впервые плоская задача о равномерном и прямолинейном движении по горизонтали цилиндра в тяжёлой идеальной жидкости со свободной поверхностью была поставлена Кельвином в 1904 году. Первое её решение предложено Г. Ламбом в 1913 году, оно приведено в его монографии [40]. Это решение основано на представлении потенциала скорости потока в виде суммы потенциала скорости безграничного потока, обтекающего цилиндр, и неизвестной добавки, подлежащей определению из условия на свободной поверхности жидкости. При этом предполагалось, что радиус цилиндра мал по сравнению с глубиной его погружения, а неизвестной добавкой к потенциалу скорости можно пренебречь в окрестности цилиндра. Эти допущения фактически означают, что поверхностные волны считаются малыми, а цилиндр заменяется одной особой точкой поля скорости течения (точечной гидродинамической особенностью) — диполем. Такой подход позволил Г. Ламбу найти профиль свободной границы потока и волновое сопротивление цилиндра.
Движение цилиндра под свободной поверхностью тяжёлой идеальной жидкости рассматривал Т.Н. Havelock [72 — 74] в приближении малых волн, но «с точным условием обтекания цилиндра. Метод решения предполагал рассмотрение рядов Лорана с коэффициентами, определяемыми из бесконечной системы линейных уравнений. В результате эти коэффициенты были представлены в виде степенных рядов’по малому параметру (величине, обратной числу Фруда по радиусу цилиндра). Это позволило приближённо вычислить волновое сопротивление и подъёмную силу цилиндра. Случай циркуляционного обтекания круглого цилиндра изучил Л. Н. Сретенский [55], которыйпоказал, что если отношение радиуса цилиндра к глубине его погружения меньше 0,3, то цилиндр приближённо можно, заменить точечным вихрем, локализованным вблизи его центра. Л. Н. Сретенский нашёл волновое сопротивление и подъёмную> силу цилиндра при циркуляционном обтеканиц.
М.В. Келдыш [29] дал решение задачи обтекания произвольной точечнойгидродинамической особенности (вихря, источника, диполя и т. д.) плоским потоком тяжёлой идеальной жидкости со свободнойграницей. Это решение основано на том, что одним из следствий линеаризованных граничных условий является обращение в нуль на вещественной оси мнимой части некоторой линейной комбинации комплексного потенциала и его производной. Аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость по принципу симметрии Шварца позволяет найти выражение этой линейной комбинации на всей комплексной, плоскости и, тем самым, получить линейное дифференциальное уравнение для комплексного потенциала. Решение этого уравнения при условии затухания возмущений вверх по потоку даёт комплексный потенциал течения, после чего находятся выражения для профиля свободной границы жидкости, подъёмной силы и волнового сопротивления гидродинамической особенности. Поскольку равномерно движущееся в потоке тело можно моделировать некоторым набором гидродинамических особенностей, метод М. В. Келдыша [29] получил широкое распространение при решении задач о движении тел под свободной поверхностью тяжёлой жидкости. В частности, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев [30] рассмотрели движение тонкого подводного крыла в бесконечно глубокой жидкости, заменив его комбинацией вихревого слоя и слоя источников. В приближении малых волн, то есть считая, что крыло находится на достаточной глубине, они выписали общие формулы для сил, воздействующих на крыло со стороны потока, и детально изучили случай крыла, слабо наклонённого к горизонту, и имеющего контур из дуг окружностей с малым центральным углом.
Н.Е. Кочин в работе [38] предложил решение задачи о волновом движении бесконечно глубокой жидкости со свободной поверхностью при горизонтальном прямолинейном и равномерном движении на некоторой глубине подводного крыла с произвольным профилем. Задача рассматривалась в предположении об идеальности жидкости и потенциальности её течения. Поверхностные волны считались малыми, то есть возникшими при движении крыла на достаточно большой глубине. Подъёмная сила и волновое сопротивление крыла, а также профиль свободной границы потока далеко за крылом выражены через специально введённую функцию Н (А-), определяемую через комплекрный потенциал рассматриваемого течения. Этот комплексный потенциал, в принципе, может быть определён из приводимых в работе интегральных уравнений, что сопряжено со значительными трудностями, поэтому Н. Е. Кочин предложил определять функцию Н (А-) через комплексный потенциал бесконечного потока, обтекающего рассматриваемый контур. Очевидно, что результат будет тем точнее, чем глубже находится контур. В качестве примеров рассмотрено циркуляционное обтекание кругового цилиндра и прямолинейной пластинки, наклонённой под произвольным углом к горизонту. В работе А. И. Тихонова [60] рассмотрено обтекание точечного вихря^ плоским потоком конечной глубины. В приближении малых возмущений свободной поверхности жидкости найдены подъёмная сила и волновое сопротивление вихря. На основе этого решения построена модель подводного крыла в виде распределённых на некоторой дуге вихрей. Получены формулы для волнового сопротивления и подъёмной силы при движении такого крыла в канале конечной глубины. Эти общие формулы применены к задаче о движении плоской пластинки под малым углом атаки. Равномерное движение произвольного контура под свободной границей плоского потока тяжёлой идеальной жидкости конечной глубины рассмотрел, применив метод Н. Е. Кочина [38], М. Д. Хаскинд [64], ohj получил формулы для волнового сопротивления и подъёмной силы, действующих на контур. В процессе решения задачинайдена формула для комплексной скорости потока^ конечной глубины, обтекающего точечный-источник, аналогичная формуле А. И. Тихонова [60] для вихря. Показано, что далеко позади движущегося контура на поверхности жидкости возникают синусоидальные волны, для их длины и амплитуды получены соответствующие выражения. В качестве примеров приложений общих методов, развитых в работе, рассмотрено движение кругового и эллиптического цилиндров в канале конечной глубины. Движение диполя под свободной поверхностью тяжёлой жидкости конечной глубины рассмотрено во второй части работы JI.H. Сретенского [55], им показано, что таким диполем может моделироваться движение цилиндра с радиусом, существенно меньшим глубины его погружения.
Волны малой амплитуды на поверхности плоского потока тяжёлой идеальной жидкости, стационарно текущего в канале с дном, имеющим уступ, описал Н. Е. Кочин [39]. Он установил, что при малой скорости потока на его свободной границе за уступом образуется гармоническая волна, при переходе скорости потока через некоторое критическое значение волна исчезает, а профиль свободной поверхности понижается на величину, большую, чем величина уступа дна.
Во всех перечисленных выше работах решения задач о стационарном обтекании тела или гидродинамической особенности плоским потоком тяжёлой идеальной жидкости со свободной поверхностью были получены на основе, переноса граничных условий с неизвестной свободной границы на её невозмущённый уровень, что оправдывалось малостью изучаемых поверхностных волн. Очевидно, такой подход обусловливает некоторую неточность решений рассматриваемых задач. Метод, свободный от этой погрешности, предложил О. М. Киселёв. В его работе [32] рассмотрен плоскопараллельный поток тяжёлой несжимаемой жидкости бесконечной глубины, обтекающей точечный вихрь. Течение предполагается установившимся и потенциальным. Далеко перед вихрем поток имеет горизонтальную свободную поверхность и постоянную скорость. Автор замечает, что решения JI.H. Сретенского [55] и М. В. Келдыша [29], использующие перенос граничных условий на уровень невозмущённой свободной поверхности жидкости, не справедливы при больших числах Фруда, определяемых по скорости невозмущённого потока и расстоянию от свободной границы жидкости до линии тока, проходящей через критическую точку, измеряемому бесконечно далеко вверх по потоку. Использование приближённого граничного условия, основанного на единственном предположении о том, что модуль скорости на свободной поверхности близок к постоянному значению, позволило получить решение, переходящие в точное при стремлении числа Фруда, к бесконечности. Основой метода решения было построение аналитической функции, конформно отображающей нижнюю полуплоскость вспомогательной комплексной переменной на область течения. При таком отображении возмущённая свободная граница потока переходит в горизонтальную прямую — ось новой системы координат. Для постановки граничного условия на этой оси используется гипотеза о приблизительном постоянстве модуля скорости на свободной границе потока. В. результате получаются выражения для волнового сопротивления и подъёмной силы вихря. Эти формулы отличаются от полученных JT.H. Сретенским и М. В. Келдышем, но переходят в них при малых числах Фруда и слабой интенсивности вихря. Аналогично задаче о вихре О. М. Киселёв [33] рассмотрел задачу обтекания точечного источника. О. В. Троепольская [61] применила метод О. М. Киселёва [32,33] при решении задачи обтекания кругового цилиндра плоским бесконечно глубоким потоком тяжёлой жидкости со свободной границей. Цилиндр в потоке был заменён диполем. Численно была построена замкнутая линия тока — обтекаемый контур, моделирующий цилиндр. Вычислены волновое сопротивление и подъёмная сила, точность полученных выражений возрастает с ростом числа Фруда.
В совместной работе О. М. Киселёва и О. В. Троепольской [34] изучено поступательное движение цилиндра заданной формы под свободной поверхностью бесконечно глубокой весомой жидкости. Для решения задачи применён использовавшийся ими ранее метод [32, 33, 61]. Получены формулы для действующих на цилиндр сил, построены профили свободной поверхности потока для случая кругового цилиндра при некоторых значениях параметров задачи. В статье Н. Д. Черепенина [66] задача о движении эллиптического цилиндра под свободной поверхностью тяжёлой жидкости решена не применявшимся ранее методом. Основная его идея состоит в том, что гидродинамические особенности, моделирующие тело, распределяются по невозмущённому уровню свободной поверхности. При этом условие обтекания тела выполняется точно. Для плотности распределённых особенностей получено интегральное уравнение, которое решается методом последовательных приближений. Соответственно, возникает последовательность приближений функции Н (Х) Н. Е. Кочина [38], через которую выражаются действующие на цилиндр силы.
Задача обтекания кругового цилиндра произвольного радиуса потоком тяжёлой жидкости со свободной границей рассматривалась в работах W.R. Dian [68] и F. Ursell [86]. Метод решения состоял в замене цилиндра системой мультиполей, расположенных в его центре, интенсивность которых определялась из граничных условий. Впоследствии это решение было существенно упрощено в работе R. Sips [84]. Исследуя движение цилиндра под свободной поверхностью тяжёлой жидкости, Е.О. Tuck [85] использовал уточнённое граничное условие на свободной поверхности и применил метод разложения решения по малому параметру, в качестве которого было принято отношение радиуса цилиндра к глубине его погружения. В результате были найдены первое и второе приближения решения.
Стационарное обтекание препятствия в виде полукруга, лежащего на горизонтальном дне, плоским потоком идеальной жидкости со свободной границей рассмотрели Forbes L.K. и Schwartz L.W. [69]. В приближении малых волн они вычислили силу, действующую на препятствие, и показали, что далеко внизу по потоку за препятствием свободная граница имеет вид синусоиды, для амплитуды и периода которой они дали-соответствующие выражения. Более точный учёт нелинейности граничных условий на свободной поверхности потока привёл к интегро-дифференциальному уравнению, решение которого, вместе с динамическим условием на свободной границе, позволило найти профиль свободной границы потока и сравнить его с профилем, соответствующим приближению малых волн. Такое же сопоставление было проведено и для волнового сопротивления препятствия.
Задача стационарного обтекания точечного вихря плоским потоком тяжёлой жидкости в полной нелинейной постановке рассматривалась А. И. Некрасовым [46], Н. Н. Моисеевым [45], A.M. Тер
Крикоровым [58], И'.Г. Филипповым [62, 63]. Названные работы посвящены качественному анализу возможных решений рассматриваемой задачи и доказательству теорем их существования и единственности. Аналогичное исследование для потока, обтекающего препятствие на горизонтальном дне, выполнил Л. Г. Гузевский [25].
Численно — аналитический метод, основанный на разложении решения в ряд по малому параметру, применил к задаче стационарного обтекания точечного вихря плоским потоком со свободной поверхностью Н. А. Вальдман [17]. В результате были численно найдены профили свободной границы потока в первом, втором и третьем приближениях при различных числах Фруда. В работе отмечено, что аналогичный подход может быть применён к случаю обтекания точечных источников и стоков. Пример решения такой задачи приведён в работе [16]. Другой вариант метода последовательных приближений в задаче обтекания вихря предложили Э. Л. Амромин, Н. А. Вальдман, А. Н. Иванов [1].
В нелинейной постановке плоская задача обтекания системы двух вихрей различных по знаку интенсивностей потоком жидкости со свободной поверхностью рассмотрена С. И. Горловым [24]. Показано, что5 в некоторой области параметров задачи стационарное решение не существует. Предложен численный метод решениянелинейных задач обтекания гидродинамических особенностей стационарным потоком тяжёлой жидкости со свободной поверхностью. С помощью этого метода найдены профили свободных границ потоков, обтекающих вихревую пару, при различных значениях параметров задачи. Обтекание уединённого точечного вихря потоком со свободной границей при больших числах Фруда изучено В. П. Житниковым, Н. М. Шерыхалиной, О. И. Шерыхалиным [28]. Численное исследование нелинейной задачи позволило построить общую качественную картину возможных режимов течения. Эта же задача при малых числах Фруда рассмотрена в работе Д. В. Маклакова [42]. Им предложен численно-аналитический метод расчёта обтекания препятствия, основанный-на выделении в искомом, решении асимптотики волнового цуга, возникающего вниз по потоку. Этот метод применён к задаче обтекания вихря. ^.
Свойства цуга нелинейных поверхностных волн, возникающих за обтекаемым плоским потоком конечной глубины телом, изучены в работе того же автора [43]. Установившийся плоский поток жидкости со свободной границей, обтекающий дно произвольной топографии, рассмотрены в работе А.С. King, M.I.G. Bloor [80]. Методами конформных отображений задача приведена к системе двух нелинейных интегро—дифференциальных уравнений. Для различных профилей дна получены численные решенияи решения линеаризованной системы уравнений.
Для решения задачи обтекания препятствия потоком со свободной-поверхностью с учётомнелинейности граничных условий разработаны специальные численные методы. Например, S.K. Kim, J.A. Liggett, P. L-F. Liu [79] предложили вариант метода граничных элементов, который позволил рассчитать профиль, свободной границы потока конечной глубины, обтекающего цилиндр. Свои результаты они сравнили с данными работы H.L. Haussling, R!.MCol" emam[70]- в-которой решение стационарной задачи о равномерном’И’прямолинейном движении цилиндра под свободной поверхностью жидкости определялось как предел в бесконечном «будущем решения задачи, о цилиндре, начинающем своё движение в покоящейся жидкости. Широкое распространение в вычислительной гидромеханике получил метод конечных элементов [35]. В отечественной литературе метод конечных элементов в стационарных задачах гидродинамики потоков со свободной границей применялся в работе К. Е. Афанасьева и А. Г. Терентьева [5], где численно изучено обтекание препятствия в виде полукруга, лежащего на горизонтальном дне, стационарным потоком со свободной границей. Рассчитано также течение тяжёлойжидкости со свободной поверхностью вдоль ступенчатого дна. Нестационарную задачу о начальном движении полукруглого препятствия по горизонтальному дну в жидкости со свободной границей рассмотрел с помощью метода конечных элементов К. Е. Афанасьев [2]. Тот же автор применил метод конечных элементов для расчёта циркуляционного обтекания крылового профиля стационарным потоком тяжёлой идеальной жидкости конечной глубины и нахождения формы свободной границы [3]. Метод граничных элементов в стационарной задаче обтекания полукруглого препятствия, лежащего на горизонтальном дне плоского потока тяжёлой жидкости со свободной границей, использован в работе М. М. Афанасьевой [6]. Дальнейшее развитие методы конечных и граничных элементов в гидродинамике потоков со свободными границами получили в работах А. Г. Терентьева, К. Е. Афанасьева и М. М. Афанасьевой [59, 4].
Задача обтекания контура произвольной формы плоским равномерным потоком тяжёлой жидкости со свободной границей сведена в работе М.В. Okau и S. M, Umpleby [82] к интегральному уравнению Фред-гольма, численное решение которого построено методом распределения источников по контуру. Форма контура и интенсивность источников аппроксимировалась сплайнами. Kennel С. и Plotkin А. [78] применили теорию возмущений к задаче стационарного обтекания тонкого крыла, которую они свели к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Численное решение этого уравнения получено путём разложения по малому параметру, в качестве которого выбрано отношение толщины крыла к его хорде.
Mei С.С., Chen H.S. 81] показали, что задача о возбуждении поверхностных волн движущимся телом может быть сформулирована в виде двух задач: о дифракции и об излучении. Для решения этих задач предложен численный метод гибридных элементов. Полученное этим методом решение вблизи тела сшивается с решением, найденным аналитически на больших расстояниях от тела. В качестве примера использования этого метода приводится решение задачи об установившемся движении погруженного цилиндра. В работе А. В. Дворака, Н. М. Молякова, Д. А. Теселкина [26] моделирование обтекания тела у границы раздела сред с различными плотностями осуществляется с помощью метода дискретных вихрей. В качестве примера приводятся решения задач определения свободной поверхности жидкости, обтекающей пластину с ненулевым углом атаки и подводное крыло.
Задачу о горизонтальном равномерном движении шара под свободной поверхностью тяжёлой жидкости бесконечной глубины рассмотрел Т.Н. Havelock [75]. Заменив шар диполем, он нашёл выражение для потенциала скорости и уравнение свободной поверхности жидкости. Асимптотический анализ полученного решения показал, что далеко за движущимся шаром поверхностные волны развиваются, в основном, внутри угла 38°56', расположенного симметрично относительно направления движения шара. Движение диполя в жидкости конечной глубины изучил Т.Н. Havelock [77], где получена формула для сил, действующих на движущийся диполь. Заменив движущийся под свободной поверхностью тяжёлой жидкости эллипсоид специально подобранной системой гидродинамических особенностей, Т.Н. Havelock [76] вычислил его волновое сопротивление. В работе [71] Т.Н. Havelock предложил метод определения волнового сопротивления движущегося под свободной поверхностью жидкости тела, основанный на расчёте энергии образующихся поверхностных волн. Метод получения сил, действующих на движущееся под свободной поверхностью тяжёлой жидкости тело, в виде выражений, зависящих от формы тела, разработал Н. Е. Кочин [38]. В качестве примеров приложения этого метода он произвёл вычисление сил, действующих на движущиеся в тяжёлой жидкости бесконечной глубины шар и эллипсоид.
Метод Н. Е. Кочина применил в случае движения тела в жидкости конечной глубины М. Д. Хаскинд [65] он получил1 общие формулы для гидродинамических сил и их частный случай для тел, симметричных относительно вертикальной плоскости. В качестве примера приведён расчёт волнового сопротивления шара (в дипольном приближении) и эллипсоида, движущегося в направлении его большой оси. Указано на ошибку, которую допустил Т.Н. Havelock при вычислении волнового сопротивления диполя [77]. Задача об определении формы свободной поверхности жидкости бесконечной глубины при движении погруженного эллипсоида вращения рассмотрена А. И. Смородиным [54]. Для решения этой задачи предложен способ вычисления отклонений свободной поверхности жидкости от её равновесного положения при движении эллипсоида вращения большого удлинения. Эллипсоид моделировался непрерывно распределёнными между его фокусами источниками и стоками. Анализ результатов расчётов позволил сделать вывод, что картина' волн за движущимся эллипсоидом значительно сложнее, чем следующая из асимптотической теории.
Возмущения свободной поверхности жидкости под действием осе-симметричной струи, истекающей в слой однородной весомой жидкости конечной глубины из круглого отверстия в горизонтальном плоском дне рассматривалось в работе Т. Е. Бояринцевой и Е. О. Савиной [14], где в стационарном случае найдено выражение для формы свободной поверхности жидкости. Влияние вертикальной струи, истекающей из прямолинейного дна, на свободную поверхность жидкости в случае плоского потока рассмотрено в работе Е. О. Савиной [53]. Показано, что если источник постоянной мощности начинает свою работу в изначально невозмущённом слое жидкости конечной глубины, то по прошествии бесконечно большого времени уровень жидкости в слое поднимается на постоянную величину, пропорциональную мощности источника и обратно пропорциональную корню квадратному из толщины слоя.
Как видно из приведенного обзора литературы, расчёт числовых характеристик генерируемых погруженными источниками волн на поверхности жидкости представляет собой весьма сложную задачу. Для её упрощения используются различные приближения, поэтому результаты расчётов должны быть подтверждены данными соответствующего эксперимента. Кроме того, такое сопоставление даёт возможность установить границы применимости использованного приближения, например, малых волн. Однако к настоящему времени среди всех работ по проблеме генерации поверхностных волн доля экспериментальных чрезвычайно мала, особенно тех, которые позволяют непосредственно сравнить выводы теории с данными опыта. Таким образом, совместное проведение численных и экспериментальных исследований генерации поверхностных волн способствует углублению понимания процесса передачи возмущений от погруженных источников на свободную поверхность жидкости и может служить основой для разработки методов восстановления характеристик источников по вызываемым ими поверхностным волнам.
Цель данной работы состоит в исследовании волн, возникающих на поверхности жидкости, при движении в её толще различных тел и при обтекании донных1 выступов. Практическая значимость такого исследования обусловлена тем, что полученные результаты могут быть использованы при интерпретации данных, получаемых средствами дистанционного зондирования морской поверхности, и при разработке алгоритмов идентификации неоднородностей в толще морской среды по их волновым проявлениям на свободной поверхности.
Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.
В первой главе обосновывается целесообразность выбора в качестве модели обтекаемого потоком препятствия системы источников и стоков. Проводится численный анализ связи параметров таких систем с геометрией препятствий в потоке жидкости. Рассматриваются системы дискретных и непрерывно распределённых источников в плоском и пространственном потоках.
Во второй главе содержится краткий обзор методов расчёта поверхностных волн от точечных гидродинамических особенностей, локализованных в толще потока, и приложений этих методов к решению некоторых задач. Рассмотрено образование волны на поверхности однородного плоского потока, обтекающего ступеньку. Предложен эффективный метод вычисления отклонений от равновесного положения свободной поверхности однородного пространственного потока при обтекании точечного источника и диполя.
Третья глава посвящена экспериментальным и численным исследованиям возмущений свободной поверхности жидкости над движущимся телом.
В четвёртой главе изучается генерация поверхностных волн при. стационарном обтекании источника двухслойным потоком. Рассматривается модель обтекания донного выступа морским течением.
В заключении сформулированы основные результаты диссертации.
По теме диссертации опубликовано 15 работ.
Результаты диссертации докладывались на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь 23—29 авг. 2001 г), Конференции «Развитие идей Н. Е. Кочина в математике и механи-ке» (Москва, 2001), Второй всероссийской конференции «Взаимодействие подводных возмущений с поверхностными волнами (гидродинамическая основа радиотомографии)» (Москва, 2002), V International congress of mathemaical modelling.(30 sept.-6 oct. Dubna. —2002), Третьей всероссийской конференции «Взаимодействие подводных возмущений с поверхностными волнами (гидродинамическая основа радиотомографии)» (Москва, 2004), Третьей межведомственной конференции «Проявление глубинных процессов на морской поверхности» .(Н.Новгород, 2007).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.
1. Разработан новый численный метод определения формы свободной поверхности пространственного потока тяжёлой жидкости, обтекающего точечные гидродинамические особенности (источник, диполь).
2. Предложено в качестве одной из величин, характеризующих за-метность волны на поверхности плоского потока, обтекающего препятствие, использовать средний наклон свободной поверхности. Показано, что эта величина, при фиксированной геометрии задачи, имеет единственный максимум при некоторой скорости потока.
3. Введено понятие об эффективной форме обтекаемого потоком тела. На этой основе устранены расхождения между наблюдаемыми в эксперименте возмущениями свободной поверхности воды при движении в её толще различных моделей и возмущениями, рассчитываемыми в рамках приближения малых волн.
4. Предложена модель образования волн на поверхности моря, обуг л словленных обтеканием донного выступа. Разработан численный метод её реализации.
