Комбинаторно-алгебраические свойства примитивных групп подстановок

I.

Диссертационная работа посвящена изучению некоторых, представляющих интерес, комбинаторно-алгебраических свойств конечных примитивных групп подстановок и вертиинно-примитивных графов. В ней исследуются асимметрические разбиения для конечных примитивных групп подстановок и различительные числа для вершинно-примитивнътх графов. Кроме того, в связи с одним вопросом П. Камерона исследуются конечные примитивные группы подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них.

Реализуемый в диссертации подход к исследованию примитивных групп подстановок опирается на теорему О’Нэна — Скотта [18]. Согласно это теореме любая конечная примитивная группа подстановок подстановочно изоморфна группе одного из следующих типов.

I. Примитивные группы с абелевой регулярной нормальной подгруппой.

II. Примитивные почти простые группы. Напомним, что группа G называется почти простой, если Inn (T) < G < Aut (T) для некоторой конечной простой неабелевой группы Т.

III. Примитивные группы с неабелевым не простым цоколем. Среди групп этого типа различают группы типов Ш (а), Ш (Ь) и Ш©.

Ill (a) (simple diagonal action). Пусть Sk — симметрическая группа степени к > 2, Т — простая неабелева группа и W — {(ai, а&)-7г | a" G Aut (T), 7 Г e Sk, ща¹ € Inn (T), i, j e < Aut (T)wrSkТогда представление группы W левыми сдвигами на множестве левых смежных классов W по Wx = {(a, ., а) ж | a G Aut (T), тг? Sk} является примитивным представлением степени |T|fc1. Конечная примитивная группа G имеет тип Ш (а), если soc (W^).

111(b) (product action). Пусть Sm симметрическая группа степени m > 2 и Н — примитивная группа типа II или Ш (а) на конечном множестве Y. Положим W = HwrSm. Группа W естественным образом действует на X = Ym. Конечная примитивная группа G имеет тип Ш (Ь), если Кт < G < W, где К = soc (Н), и G транзитивно переставляет т множителей группы Кт.

II 1© (twisted wreath action). Конечная примитивная группа G имеет тип Ш©, если она обладает единственной неабелевой регулярной нормальной подгруппой.

Более детальное описание типов конечных примитивных групп подстановок, а также формулировки используемых в диссертации результатов о конечных группах даются в главе 1 диссертации.

Пусть G — группа подстановок на конечном множестве X и R С X. Через будем обозначать глобальный стабилизатор подмножества R в группе G, т. е. G{#} = {д? G | g® — R}. Через Gr будем обозначать поточечный стабилизатор подмножества R в группе (?, т. е. Gr = {g € G g® = г для любого г? R}. Для х? X через Gx будем обозначать стабилизатор точки х в группе G. Симметрическая (соотв. знакопеременная) группа на множестве X обозначается через Sym (X) (соотв. Alt (X)).

В [7] доказано, что (с точностью до подстановочного изоморфизма) существует лишь конечное число примитивных групп подстановок G на конечных множествах X таких, что Alt (X) ^ G и глобальный стабилизатор любого подмножества R множества X в группе G нетривиален (т.е. G{rу 1). Описание примитивных групп подстановок G на конечных множествах X таких, что G{i?> 1 для любого R С X было получено в [22]. При этом остался открытым вопрос построения множеств с тривиальными глобальными стабилизаторами в случаях, когда такие множества существуют. В связи с этим актуальным является явное указание таких множеств.

Пусть G — группа подстановок на конечном множестве X. Различительным числом (distinguishing number) D{G) группы G называется минимальное натуральное число п, для которого существует функция х X —> {1, ., п} такая, что из условий д? G и х (#(#)) = х (х) Для всех х € X следует д = 1 (см. [23], [8]). Разбиение 7 г = множества X будем называть асимметрическимI, если из д? G и д (Х{) = Xi для всех 1 < г < к следует <7 = 1. Минимальным асимметрическим разбиением множества X будем называть асимметрическое разбиение мощности D (G).

Для неединичной группы подстановок G на конечном множестве X справедливость равенства D{G) = 2 эквивалентна существованию подмножества R множества X со свойством G^j = 1. Таким образом, результат [22] дает описание класса конечных примитивных групп подстановок G с D (G) > 3.

Глава 2 диссертации посвящена построению минимальных асимметрических разбиений для конечных примитивных групп подстановок и нахождению различительных чисел для конечных примитивных групп подстановок и вершинно-примитивных графов. В параграфе 2.1 доказываются предварительные результаты. В параграфах 2.2−2.4 диссертации строятся минимальные асимметрические разбиения для всех конечных примитивных не почти простых групп подстановок: в параграфе 2.2 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа I (см. предложение 2.14), в параграфе 2.3 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа Ш (а) (см. предложения 2.15−2.17), в параграфе 2.4 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа Н1(Ь) и Ш© (см. предложение 2.18).

В параграфе 2.5 доказывается следующая теорема, в которой получены значения D (G) для всех конечных примитивных групп подстановок G.

Теорема 1. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Тогда D (G) = 2 или выполняются одно из следующих утверэюдений:

1) D (G) — 3 uG — одна из групп подстановок: Дю, AGLi (5) степени 5- PSL2(5) степени 6- AGLiil) степени 7- ATLi (8), PSL2(7), PGL2{7) степени 8- З2: Д$, ATLi{9), ASL2{3), AGL2{3), PSL2(8), PTL2{8) степени 9- S5i PSL2(9), PGL2{9), S6, M10, PVL2{9) степени 10- PSL2(11) степени 11- Mn, PGL2(11) степени 12- PSL3(3) степени 13- PGL2(1S) степени 14- PSL^{2) степени 15- 24: PSLa (2), ЛГЬ2(4), 24: 56, 24: A6, 24: A7 степени 16- PSL2{ 16): 2, PTL2(16) степени 17- PTLz{4) степени 21- M22, M22: 2 степени 22- М2з степени 23- М24 степени 24- ASLb (2) степени 32;

2) D (G) = 4 и G — одна из групп подстановок: PGL2(b) степени 6- PSLs (2) степени 7- ASL$(2) степени 8- Мц степени 11- М2 степени 12;

3) G = Alt (X), Х > 3 и D (G) = Х — 1;

4) G = Sym (X) и D{G) = Х.

При доказательстве теоремы 1 используется указанный выше результат из [22].

Пусть Г — конечный неориентированный граф без петель и кратных ребер, V® — множество вершин графа Г. Следуя [2], положим D (T) = D (Aut®) (Aut® рассматривается как группа подстановок на множестве У (Г)). Значения D (T) для отдельных графов были получены, например, в [2], [23], [9].

В параграфе 2.6 главы 2 с использованием теоремы 1 доказывается следующая теорема, в которой получены значения D (T) для всех конечных графов Г с вершинно-примитивной группой автоморфизмов.

Теорема 2. Пусть Г — конечный связный неориентированный граф без петель и кратных ребер, допускающий вершинно-примитивную группу автоморфизмов. Тогда D® = 2 или выполняется одно из следующих утверждений:

1) Г — пол’ный граф;

2) D (T) = 3 и Г изоморфен одному из следующих четырех графов: цикл длины 5- граф Петерсенадополнительный граф к графу Петерсеиаграф с мноэюеством вершин {(i, j) | € {1,2,3}}, причем вершина (i, j) смежна с вершиной (ijr), если г = г' или j = f.

Глава 3 диссертации посвящена следующему вопросу П. Камерона (см. [6] и [1, вопрос 9.69]). Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X, х 6 X, у € Х {ж} и Gx действует регулярно на орбите Gx (y) (т.е. индуцирует на Gx (y) регулярную группу подстановок). Верно ли, что это действие точное, т. е., что GX = | Gx{y)l.

Можно показать (см. предложение 3.3), что регулярность действия группы Gx на Gx (y) эквивалентна свойству Gx, y <3 Gx, а равенство GX = Gx (y), при условии Gx>y < Gx, эквивалентно свойству Gx^y = 1. Таким образом, вопрос П. Камерона эквивалентен вопросу о выполнении для произвольной примитивной группы подстановок G на конечном множестве X следующего свойства:

Рг) если х 6 Х: у е X {ж}, то Gx%y < Gx влечет GXt1J = 1.

Очевидно, вопрос П. Камерона эквивалентен также вопросу о выполнении для произвольной абстрактной конечной группы G следующего свойства:

Рг*) если Mi и Мг — различные сопряженные максимальные подгруппы группы G, то Mi П M< М влечет М П М2 < G..

Вопрос о точности действия стабилизатора Gx на регулярной по-дорбите Gx (y) изучался давно. В отдельных частных случаях положительный ответ был получен в работах [21], [25] и [26]. Заметим, что для транзитивной группы подстановок ответ на аналогичный вопрос, вообще говоря, отрицательный..

В главе 3 диссертации доказываются следующие теоремы..

Теорема 3. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Предположим, что-либо G — группа типа I, Ш (а) или Ш©, либо G — группа типа II с цоколем, не являющимся исключительной группой лиева типа или спорадической простой группой. Тогда для G имеет место свойство (Рг). В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П. Камерона полоэюителен..

Теорема 4. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Предположим, что G < HwTSm — группа типа Ш (Ь), т > 2 и soc (Н) не является исключительной группой лиева типа или спорадической простой группой. Тогда для G имеет место свойство (Рг). В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П. Камерона положителен..

При доказательстве теорем 3 и 4 используется описание максимальных подгрупп конечных классических групп, полученное в [4] и усовершенствованное в [16]..

1. Fong, P. A characterization of the finite simple groups PSp (4,q), G2(q), D%(q), I / P. Fong, W.J. Wong // Nagoya Math. J. 1969. Vol. 36. P. 143−184..

2. Gorenstein, D. The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, I / D. Gorenstein, J.H. Walter //J. Algebra. 1965. Vol. 2. P. 119−151..

3. Kleidman, P. The maximal subgroups of the finite 8-dimensional orthogonal groups PQ^(q) and their automorphism groups / P. Kleidman // J. Algebra. 1987. Vol. 110. № 1. P. 173−242..

4. Kleidman, P. The subgroup structure of the finite classical groups / P. Kleidman, M. Liebeck // Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., 129 Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.

5. Liebeck, M.W. A classification of the maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups / M.W. Liebeck, Ch.E. Praeger, J. Saxl // J. Algebra. 1987. Vol. 111. P. 365−383..

6. Liebeck, M.W. On the O’Nan — Scott theorem for finite primitive permutation groups / M.W. Liebeck, Ch.E. Praeger, J. Saxl // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1988. Vol. 44. P. 389−396..

7. Liebeck, M.W. A survey of maximal subgroups of exceptional groups of Lie type / M.W. Liebeck, G.M. Seitz // Groups, combinatorics and geometry (Durham, 2001), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003, P. 139−146..

8. Malle, G. Generation for classical groups / G. Malle, J. Saxl, Th. Weigel // Geom. Dedicate. 1994. Vol. 49. P. 85−116..

9. Reitz, H.L. On primitive groups of odd order /H.L. Reitz // Amer. J. Math. 1904. Vol. 26. P. 1−30..

10. Seress, A. Primitive groups with no regular orbits on the sets of subsets /А. Seress // Bull. London. Math. Soc. 1997. Vol. 29. P. 697 704..

11. Tymoczko, J. Distinguishing numbers for graphs and groups /J. Tymoczko// Electron. J. Combin. 2004. Vol. 11. #R63..

12. Weigel, Th. Generation of exceptional groups of Lie-type / Th. Weigel // Geom. Dedicate. 1992. Vol. 41. P. 63−87..

13. Weiss, M. J. On simply transitive groups / M.J. Weiss // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 401−405.26j Wielandt, H. Finite permutation groups / H. Wielandt // New York: Acad. Press, 1964..

14. ATLAS of finite group representations. Version 3.004 (http://brauer.maths.qmul.ac.uk)..

15. The GAP Group. GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.6, Aachen, St Andrews, 2007 (http://www.gap-system.org).Работы автора по теме диссертации.

16. Коныгин, А. В. Множества с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных групп подстановок, не являющихся почти простыми / А. В. Коныгин // Труды ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13. т. С. 115−131..

17. Коныгин, А.В. О примитивных группах подстановок с нетривиальными глобальными стабилизаторами / А. В. Коныгин // Труды ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13. № 3. С. 61−64..

18. Коныгин, А.В. О множествах с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных групп подстановок / А. В. Коныгин // Международная конференция &bdquo-Алгебра и ее приложения": Тезисы докладов. Красноярск. 2007. С. 74−75..

19. Коньтгин, А.В. О примитивных группах подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них / А. В. Коныгин // Сиб. электронные мат. известия. 2008. Т. 5. С. 387−406..