О локализации и стабилизации решений задачи Коши для дифференциальных уравнений в классах обобщенных функций

Диссертация посвящена исследованию свойств /локализации и стабилизации/ решений задачи Коши для параболических систем дифференциальных уравнений, а также полиномиальному представлению решений дифференциально-операторных уравнений.

I. Для рядов Фурье суммируемых на [о, 2L3C] функций хорошо известен принцип локализации Римана [25]: сходимость или расходимость ряда Фурье в точке зависит только от поведения функции в окрестности этой точки. Другими словами, если ^^еЦоДХ) совпадают на интервале (а, 8) с [о, 2. Х] «то во всяком отрезке [оь+?, 8-е] 1т>0, разность их рядов Фурье равномерно сходится к нулю. Для обобщенных функций этот принцип, вообще говоря, не выполняется.

Например, <5-функция Дирака совпадает с нулем на любом промежутков. j ке, не содержащем точку 0, но ее ряд Фурье не сходится равномерно к нулю на любом таком промежутке. Если перейти к функциям многих переменных, то принцип локализации уже не имеет места и для суммируемых функций. Для его выполнения надо накладывать дополнительные условия гладкости /см. [i] /. Однако, во многих задачах математической физики, где пользуются представлением функции в виде ряда Фурье, более естественным является выполнение этого принципа не для самих рядов Фурье, а для рядов Фурье, просуммированных некоторым методом. Так, например, принцип локализации для ряда Фурье функции |, просуммированного методом Абеля-Пуассона, эквивалентен принципу локализации для решения задачи Дирихле .для уравнения Лапласа в единичном круге с граничной функ.

О II О II о о циеи +, заданной на окружности: если i на какой-то открытой части окружности совпадает с непрерывной функцией, то при подходе к границе круга по некасательным направлениям решение задачи Дирихле сходится к | равномерно на любом компакте этого участка. В. И. Горбачук и М. Л. Горбачуком [l3] показано, что для преобразования Абеля-Пуассона ряда Фурье принцип локализации имеет место в классе ультрараспределений Жевре.

Естественно поставить следующую задачу: пусть в области С о границейUG рассматривается уравнение Ltt=0 и граничная задача ВЦвд®lj), где L и Ь — дифференциальные операторы, действующие в области G и на границе 'BG соответственно, а ^ - обобщенная функция, заданная Ha^G — если известно, что ij) на каком-то участке границы достаточно гладка, то будет ли решение рассматриваемой граничной задачи сходиться к ф равномерно при подходе к этому участку?

В данной работе этот вопрос изучен для задачи Коши в случае, когда L порождается системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, т. е. системой вида.

ПИ Дм.

PT]xeftH, N, /0.1/ j=m 1к|*р в достаточно широких классах обобщенных начальных данных.

2. Вопрос о стабилизации решений задачи Коши для систем вида /0.1/ /т.е. существование у решения 1t (t, 3?.) при t->+"*> определенного предела, понимаемого в том или ином смысле/ в классе обычных начальных функций рассматривался М. Кжижанским, С. Д. Эй. дельманом, Ф. О. Порпером, А. М. Ильиным, Ю. Н. Дрожжиновым, В. Д. Репниковым, А. К. Гущиным, В. П. Михайловым, Е. Б. Сандаковым, Ю. Н. Валицким, В. В. Жиковым, В. Н. Денисовым и др. В классах обобщенных функций конечного порядка он изучался Ю. Н. Дрожжиновым, С. Д. Эйдельманом, Ю. Н. Валицким, Б. И. Завьяловым в случае уравнения теплопроводности. Обзор работ, относящихся к этому вопросу, см. в [17] - [18], [21] - [22] .

В диссертационной работе исследуется стабилизация решений задачи Коши для параболических в смысле Петровского в каждой полосе ГЦ-=С0ГГ] систем вида /0.1/ /р = 2. В / с непрерывными и ограниченными при t ?0 коэффициентами (Х^^х) = в классах обобщенных функций бесконечного порядка.

3. Многие задачи математической физики для уравнений с частными производными могут быть представлены в виде абстрактной задачи Коши для I/ эволюционного уравнения параболического типа и'0:)+А^Ш=О, 1с[о7ГХа (0)=1 — эволюционного уравнения гиперболического типа с вырождением у^оД е[о,~Т] «!Л (р)-|, tL1 Со)=0 — 3/ в виде уравнения, где Д^О — неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве /в 3/ предполагается, что Е, J>>0, Е — тождественный оператор/.

В работах А. В. Бабина [2] - [б] методами теории весового приближения функций на полупрямой получены представления решений задач I/, 3/ и задачи 2/ с у = о в виде U — tuft СМ? ¦ где РпАЙ ~ полином степени ц переменной X /при фиксированном i в случае I/, 2/ /. В качестве весовой функции берется «гДе R>0 — такое число, что < 00 /1| || - норма в Ц /. Полиномы строятся в явном виде, при этом дается оценка скорости сходимости: погрешность |tl-убывает в стационарном случае как П.», в параболическом — как 11, в гиперболическом — как.

В диссертационной работе предложен иной способ построения полиномов, основанный на приближении функций на полуоси частными суммами их рядов Фурье по обобщенным многочленам Лагерра, образующим ортонормированный базис в пространстве Lj. do,'"),?^/^), где JL > -^, а Д>0 — число, зависящее от начального вектора^ /предполагается, что | принадлежит к множеству аналитических векторов оператора, А /. При этом ju — РДЭДЦ < с? ц,, где с-=:c (J)>0. а равно: у1 /0 < l <00 / - в гиперболическом случае, tlT^ /кб / - в стационарном случае. Решена также и обратная задача: если выполняется неравенство ||и — Р^(МЦ i С Сц., то | принадлежит к множеству аналитических векторов оператора, А. Предложенный метод дает более точную оценку отклонения чем в [2] - [б], но в более узком классе начальных данных.

Кратко изложим основные результаты диссертации.

Прежде чем сформулировать результаты первой главы, напомним, что символами (Г). S>1'->A (Г) > W) означаются пространства типа S «введенные И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым в [ю]. Векторные пространства SB'(l*1) «определяются как прямая сумма аналогичных скалярных пространств.

Через S^,.,^), S’K-h (Г). (Г) Обозначим пространства всех линейных непрерывных функционалов над соответствующими основными пространствами, а их элементы будем называть обобщенными функциями. Соответственно элементы пространств S’ib.,!* (М • i’b-'J* (Г), (Г) называются ododщенными вектор-функциями.

Если для системы вида /0.1/ задано начальное условие.

U^gc-bf /0.2/ где f *^, CD /е (Г) /, то под решением задачи Коши /0.1/-/0.2/ будем понимать вектор-функцию /(i, DC,)€.

ФИ" ]*!*1 /" дифференцируемую по 4 и р-раз дифференцируемую по х, удовлетворяющую системе /0.1/ и равенству /0.2/ в том смысле, чтои (1д)-«| при-I-«0 в топологии пространстваS’jl i (I11) site&m /¦ ,.

В § 2 рассматривается система вида /0.1/ с (Х.^, параболическая в смысле Шилова, с показателем параболичности ft, приведенным порядком р&bdquoи родом ул /опр. (l, р0, ji см. в гл. 1, § I, п.4/. Задача Коши для такой системы однозначно разрешима в пространстве начальных данных S’j'^'" ']^ (RM «гДе f^lK. b-vMl.^o.

Ее решение дифференцируемо по t, бесконечно дифференцируемо по х и дается формулой aft,*)=&(W"М"(Г), /оз/ где G-(l, ac.) < Сг•) > /По:." оператор сдвига в пространстве s^. — фундаментальная матрица решений /ф.м.р./ системы /при каждом 4 е (о,~[~] элементы матрицы, рассматриваемые как функции ос, принадлежат пространству SlV^^HUl") /•.

Основной результат этого параграфа составляет Теорема 1.2.2 /принцип локализации/. Если обобщенная вектор-функция I совпадает в области (^сЦ^ с непрерывной вектор-функцией С|(х), то -—равномерно на произвольном компакте KcQ. е.

В § 3 рассматривается система дифференциальных уравнений вида /0.1/ /р=2.В / с переменными коэффициентами, равномерно параболическая в смысле Петровского в области f| = [.0JT] * fvrL в предположении, что коэффициенты непрерывны по {. /при этом непрерывность по 1 старших коэффициентов равномерна относительно хе¹/, бесконечно дифференцируемы по х и ограничены вместе со всеми своими производными в П •.

Задача Коши для такой системы однозначно разрешима в пространстве S'^.^ (IP/1) «где = 2.8/(2.8-l) • Ее решение дифференцируемо по t, бесконечно дифференцируемо по ос. и имеет вид где >0 / - ф.м.р. системы /0.1/ /при каждом t € (о,~Г] иэс-еК^ элементы матрицы, рассматриваемые как функции^, принадлежат пространству ^ ((К» -) /.

Имеет место.

Теорема 1.3.2 /принцип локализации/. Если обобщенная вектор-функция S’lf <{,. 7lj (J, (Л*1) совпадает в области Q с Д1*1 с непрерывной вектор-функцией (jCx), то -—>

Если 0 $ (i at) в, то задача Коши для систем такого вида однозначно разрешима в пространстве (Д*1) • Принцип локализации справедлив уже в пространстве S'^'" ''J^ (Ц*1) '.

В § 4 рассматривается система /0.1/ /р*2.1! / с непрерывными и ограниченными при { коэффициентами = d^ft)' паРа болическая в смысле Петровского в каждой полосе Ц,= [Ь,~Т] * Ц*1 • Предполагается, что ф.м.р. системы удовлетворяет условию: при каждом t >0 lltGlUl /0.4/ где ф = ч), 01 > 0, &(i) — непрерывная монотонно возрастающая функция аргумента I, Ct (o)= 0, t^" 4. В^т^/.% 1^, где 0 <. J>, С, 6^>0, L=4,., It , — некоторые постоянные /условие /0.4/ впервые было введено С. Д. Эйдельманом в [31] /. Условию /0.4/ с J>=l/2.& удовлетворяет, например, ф.м.р. параболической в смысле Петровского системы вида /0.1/ с постоянными коэффициентами, содержащей только группу старших членов.

Из /0.4/ следует, что при каждом L>0 элементы матрицы рассматриваемые как функции ос., принадлежат пространству. (IRk) • Задача Коши в полупространстве i >0 для такой системы однозначно разрешима в пространстве V^j^CR^)" при этом ее решение имеет тот же вид, что и в формуле /0.3/.

Будем говорить, еле, дуя работе ^19] /см. также [в] /, что | е имеет обобщенное шаровое предельное среднее, равное I /Ь = / и писать М (|)Л, если о ^ mask Ы ^ ш 1% где — шар радиуса К с центром в т. х0, [ties ^ЦФо) — С. Д11его объем, (?*vf)(oa) = <|, X-ot > $ (}) «'Т-®- - опеРа» тор сдвига в пространстве S^ (IR*1) • 0&trade-етим> что MQ) не зависит от того, в какой точке сс0 выбрать центр шара.

Обобщенная вектор-функция ^^(Щ11) называется положительной ^ 0 /, если для любой положительной основной вектор-функции ij) .

Справедлива следующая.

Теорема 1.4.2. Если е ОН, f? o, МДО-0. то.

0 при { + <*> для любой положительной вектор-функции у е Sfc^^Cr).

Для тех уравнений /систем/, у которых ф.р. /ф.м.р./ как функция ас. зависит от |х|, теорема 1.4.2 справедлива при более слабых ограничениях, а именно: если ^ € «'(JJ1) /| € lli^t¹¹) / и М (|Ьо «то для любой основной функции /вектор-функции/. Для уравнений специального вида условие М (|)-0 является не только достаточным, но и необходимым для стабилизации решения задачи Коши к нулю в обобщенном смысле. Перейдем к изложению результатов второй главы. Пусть t — неотрицательный самосопряженный оператор в сепара-бельном гильбертовом пространстве ^ со всюду плотной областью определения. Рассмотрим I/ задачу Коши параболического типа.

Ш + А<�ц {{) = о, -U [о, т], гцСоЬ f •.

2/ задачу Коши гиперболического типа с вырождением Ш + - 0, t 6 [о J] J 0, 1Ll (P) = I ui Co) * 0•.

3/ уравнение, A>J>E" J>>0, E — тождественный оператор. Решения этих задач можно представить в виде.

00 о J где А^О / - разложение единицы оператора Д.

I >0, CtU. X'i = ^^)/(rti)snrt г = iffri),.

ГС') — гамма-функция, функция Бесселя первого рода, С^Сх)2.

Обозначим через Р^-ДМ 'Р^ЦцМ • соответственно частные суммы рядов Фурье функций, 1=<, jL по шо" гочленам образующим ортонормированный базис в L^CCo, 00^ К^в/^" ^) /<�Л>Н yi>0 — фиксированные параметры/:

W-^Cu^tC-t/tt^L.CM, h.

Pit iW -" «twtzwmM+ishuftt a M где S-t^Ofil)1) ,.

Предполагается, что в последней формуле параметр Л € •.

Пусть Hoo~ff бН’n^C^ft «На — множество аналитических.

А } векторов оператора ft, т. е.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Если 1^(0)= | б На., то для любого Т>0 существуют постоянные C1-t^(|)>0 «ji=yti (f)>0, 0 =J>(X)M такие, что.

Щ KW-PJtnCMflhqp^^ /0.5/ b[0,T] г ' J.

Обратно, если для некоторого" Г > 0 существуют постоянные С^>0, /Л > 0, о <4 такие, что для * [о, Т] / 0 (о) = € выполняется /0.5/, то^еНа. •.

Теорема 2.3.1. Если U.3L (o)=|" то^ля любого*Х>0 существуют постоянные Cjl=:CjL (|)>0, Jl-jL{)>0 «L=L (T)><) такие, что.

Обратно, если для некоторого~|~>о существуют постоянные Сд>0, JUL>0,L>0 такие, что для t € [о, Т] / 0 UjlG>) = f е Н выполняется/0.6/, то|еНа. •.

Теорема 2.4.1. Если На «т0 Д-ля произвольно фиксированного <1 €{11,5,6,.} существуют постоянные 6 = такие, что h-f^MU^r* /0−7/.

Обратно, если для некоторого Л б {^5,6,-} существуют постоянные >О такие, что для U^A" *! с |еНоо выполняется /0.7/,.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14] — [1б], докладывались на седьмой совместной сессии семинара имени И. Г. Петровского и Московского математического общества /1984 г./, на конференциях молодых математиков, проводимых в.

Институте математики АН УССР /1982, 1984 гг./, на семинарах по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в частных производных в Институте математики АН УССР.

Пользуясь случаем, автор вьцэажает глубокую благодарность своему научному руководителю Мирославу Львовичу Горбачуку за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Алимов Ш. А., Ильин В. А., Никишин Е. М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. -Успехи мат. наук, 1976, т.31, № 6, с. 28−83.

2. Бабин А. В. Представление решений дифференциальных уравнений в полиномиальной форме. Успехи мат. наук, 1983, т.38, № 2, с. 228−229.

3. Бабин А. В. О полиномиальной разрешимости дифференциальных уравнений с коэффициентами из классов бесконечно дифференцируемых функций. Мат. заметки, 1983, т.34, № 2, с. 249−260.

4. Бабин А. В. Решение задачи Коши при помощи весовых приближений экспонент многочленами. Функ. анализ и его прил., 1983, т.17, №. 4, с. 75−76.

5. Бабин А. В. Построение и исследование решений дифференциальных уравнений методами теории приближения функций. Мат. сб., 1984, т.123, В 2, с. 147−174.

6. Березанский 10.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965. — 800 с.

7. Вайнерман Л. И. Гиперболические уравнения с вырождением в гильбертовом пространстве. Сиб. мат. журн., 1977, т.18, JS 4, с. 736−746.

8. Валицкий Ю. Н., Эйдельман ОД. Необходимое и достаточное условие стабилизации положительных решений уравнения теплопроводности. Сиб. мат. журн., 1976, т. 17, Дз 4, с. 744−756.

9. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. — 440 с.

10. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. М.: Физматгиз, 1958. — 307 с.

11. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. — 274 с.

12. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1977, т. 102, 1Ы, с. 109−133.

13. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Тригонометрические ряды и обобщенные периодические функции. Докл. АН СССР, 1981, т.257, № 4, с. 799−803.

14. Горбачук МЛ., Городецкий В. В. О решениях дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Успехи мат. наук, 1984, т.39, & 4, с. 140.

15. Городецкий В. В., Горбачук М. Л. О полиномиальном приближении решений дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Укр. мат. журн., 1984, т.36, № 4,с. 500−502.

16. Городецкий В. В. Принцип локализации для решений задачи Коши для параболических по Петровскому систем в классе обобщенных функций. Докл. АН УССР. Сер. А, 1984, !Ь 10, с. 5−7.

17. Гущин А. К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения. Мат. сб., 1982, т .119, Я 4, с. 451−503.

18. Денисов В. Н., Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. Дифференц. уравнения, 1984, т.20, IS I, с. 20−40.

19. Дрожжинов Ю. Н. Стабилизация решений обобщенной задачи Коши для ультрапараболического уравнения. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1969, т.33, Л 2, с. 368−379.

20. Житомирский Я. И. Задача Коши для некоторых типов параболических по Г. Е. Шилову систем линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Изв. АН СССР. Сер. мат., т.23, }? 6, с. 925−932.

21. Зеленяк Т. И., Михайлов В. П. Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач математической физики при. В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970, с. 96−118.

22. Ильин A.M., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. Успехи мат. наук, 1962, т.17, В 3, с. 3−146.

23. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. — 464 с.

24. Митягин Б. С., Эскин Г. И. О регуляризации экспоненциально растущих в нуле функций. Вестник МГУ. Сер. мат., мех., 1966, В 2, с. 18−21.

25. Риман Б. Сочинения. М.: Гостехиздат, 1948. — 542 с.

26. Репников В. Д., Эйдельман С. Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши. Докл. АН СССР, 1966, т. 167,)Ь 2, с. 298−301.

27. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. -500 с.

28. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. — 328 с.

29. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2. ГЛ.: Наука, 1970. — 800 с.

30. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. — 427 с.

31. Эйдельман С. Д. Лиувиллевы теоремы и теоремы об устойчивости для решений параболических систем. Мат. сб., 1958, т.44,4, с. 481−509.

32. Эйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. -444 с.

33. Coioft Ш., Ык ?. Laflume pofyruwtois сыъЫ La^&-tcetotyuis.-Ъмк МЛ. Jouwi., MS, v. fc, р. Ж-т.