Анализ параметрических колебаний в элементах машин и конструкций при неконсервативном нагружении

Среди различных видов механических колебаний отдельное место занимают параметрические колебания, как колебания, вызванные и поддерживаемые параметрическим возбуждением [48]. В свою очередь, параметрическое возбуждение колебаний механической системы определяется изменением во времени одного или нескольких её параметров (массы, момента инерции, коэффициента жесткости и др.). Термины «параметрически возбуждаемые колебания» или просто «параметрические колебания» были предложены А. А. Андроновым и М. А. Леонтовичем [8]. Параметрические колебания описываются дифференциальными уравнениями с переменными (обычно периодическими) коэффициентами. В отличие от вынужденных колебаний, параметрические колебания поддерживаются внешними силами косвенно — через изменения параметров системы. Простейшим классическим примером в механике являются параметрические колебания маятника, возбуждаемые путем периодического перемещения точки подвеса в направлении силы тяжести. Для упругих систем распространенными являются задачи о колебаниях прямолинейного стержня, на который действует периодическая продольная сила. Круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной нагрузкой, периодически меняющейся во времени, при определенных соотношениях частот может испытывать интенсивные изгибные колебания. Продольные силы, действующие в срединной плоскости пластины, могут вызывать поперечные колебания. Периодические силы, действующие на балку узкого поперечного сечения в плоскости ее наибольшей жесткости, при определенных условиях вызывают изгибно-крутильные колебания из этой плоскости и т. д.

Для всех этих задач общим является то, что причиной колебаний является периодическое изменение внешних сил такого вида, что, будучи приложены статически, они могут вызвать статическую потерю устойчивости равновесия упругой системы. Такие силы называются параметрическими. Периодическое изменение параметрических сил вызывает периодическое изменение жесткости системы по отношению к другим силам. Параметрические колебания встречаются также при изучении динамики валов, роторов и более сложных механизмов. Так вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости, при вращении может испытывать интенсивные поперечные колебания даже в том случае, если он полностью уравновешен и если его ось параллельна ускорению сил тяжести. Непосредственной причиной возбуждения колебаний в этом случае является периодическое изменение жесткости вала во времени относительно неподвижных осей. Примером системы, в которой периодически изменяется некоторая приведенная масса, служит шатунно-кривошипный механизм. Другие примеры можно найти в [1−3, 5, 8, 9, 18, 24, 25, 43, 46−48, 51−53, 62, 65, 72].

Впервые параметрические колебания жидкости в сосуде наблюдались Фарадеем в 1831 г., а параметрические колебания струны исследовались в 1859 г. Мельде, последние были теоретически объяснены Стреттом (1883 г.) [67]. В 1924 г. Н. М. Беляевым были рассмотрены изгибные колебания прямого стержня, нагруженного периодической продольной силой [11]. Далее большой вклад в разработку методов исследования параметрических колебаний внесли А. А. Андронов и М. А. Леонтович [8], Н. Е. Кочин [40], Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов [42], В. А. Боднер [13], В. Н. Чаломей [65] и другие. Основополагающий характер в области развития методов исследования параметрических колебаний имеют работы В. В. Болотина, обобщенные и систематизированные в монографии [14].

Среди задач о параметрических колебаниях механических систем наибольший интерес представляют задачи, связанные с исследованием устойчивости положений равновесия или установившихся периодических движений. Для линейных систем при периодических параметрических воздействиях основная задача состоит в отыскании областей неустойчивости на плоскости или в пространстве параметров, и установлении условий наступления параметрических резонансов. В качестве таких параметров, обычно принимаются амплитуда и частота параметрического воздействия. Внутри областей неустойчивости линейных параметрических систем установившиеся периодические движения отсутствуют. При этом добавление линейных диссипативных сил сужает и смещает области неустойчивости, не налагая ограничений на амплитуды колебаний внутри этих областей. В этом состоит одно из отличий параметрических колебаний от установившихся вынужденных колебаний, где добавление диссипативных сил приводит к конечным амплитудам при резонансных отношениях частот. Ограниченные амплитуды в областях параметрического резонанса имеют место для нелинейных систем.

Исследованиям устойчивости линейных и нелинейных параметрических систем посвящена обширная литература (см., например, [1 — 32, 34 — 38, 42 — 53, 57 — 60, 62, 63, 65 — 75]). Менее изученными до настоящего времени пока остаются вопросы параметрических колебаний в системах, находящихся под действием сочетания потенциальных и неконсервативных сил. Кроме перечисленных выше задач здесь возникают вопросы о параметрической стабилизации статической и динамической неустойчивости системы. На возможность стабилизации посредством параметрического возбуждения систем, находящихся под действием постоянных позиционных неконсервативных сил, указывалось в работах [3, 4, 5, 25, 26, 27].

Развитие методов и алгоритмов вычислительной математики и создание мощной вычислительной техники открывает новые возможности при рассмотрении сложных задач параметрических колебаний, представляющих большой интерес в связи с развитием объектов новой техники. Данная работа посвящена численному исследованию параметрических колебаний в системах при периодических изменениях потенциальных и неконсервативных позиционных сил. В первой главе дается краткий обзор методов исследования устойчивости решений уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь же методом матриц монодромии, который используется во всей работе, с целью верификации алгоритмов и программ проводится построение границ областей неустойчивости для уравнений с периодическими коэффициентами, вошедшими в основное справочное издание по теории колебаний [27]. Во второй главе исследуется устойчивость двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил. Рассматриваются случаи периодического изменения одной из сил при постоянной по величине другой, а также случай синфазного периодического изменения нагрузок. Анализируется возможность стабилизации статической и динамической неустойчивости системы. Аналогичные вопросы анализируются в третьей главе работы для консольного стержня с распределенной массой.

Четвертая глава посвящена исследованию влияния сил внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала. На плоскости параметров системы строятся границы областей параметрического резонанса и динамической неустойчивости. Для нелинейной системы изучается динамическое поведение вала в области параметрического резонанса при вращении с закри-тической частотой.

В пятой главе рассматривается устойчивость участка гибкого трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Скорость жидкости представляется в виде некоторой постоянной величины с наложением флуктуаций, изменяющихся по гармоническому закону. На плоскости параметров задачи строятся области параметрического резонанса.

1. Агафонов С. А. О неустойчивости свободного упругого стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы,// Изв. РАН. МТТ.2006. № 2. С. 104−110:

2. Агафонов С. А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного ¦ маятника с упругими элементами, находящегося под действием следящей силы //Изв. РАН. МТТ. 1992. № 5. С. 185−190.

3. Агафонов С. А. Эффект стабилизации равновесия маятника Цтглера параметрическим возбуждением // Изв. АН. МТТ. 1997. № 6. С. 36−40.

4. Агафонов-С.А. Стабилизация движения неконсервативных систем с помощью параметрического возбуждения // Изв. АН. МТТ. 1998. № 2. С 199 202.

5. Агафонов С. А., Щеглов Е. А. О стабилизации двойного маятника, находящегося под действием следящей силы, посредством параметрического возбуждения // Изв. АН. МТТ. 2003. № 3. С. 38−47.

6. Акуленко Л. Д:' Собственные поперечные колебания неоднородногостержня // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 179−192.

7. Акуленко Л. Д. Собственные поперечные колебания вращающегося стержня // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 1. С. 3−14.

8. Андронов А. А., Леонтович М. А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами // Ж. русс, физ.-хим. общ. (физ.), № 59, 1927. С. 429 443.й.

9. Боголюбов Н. Н'., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы, в теориинелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

10. Боднер В. А. Устойчивость пластин под действием продольных периодических сил // Прикладная-математика-и механика1, 1938, т. 6, вып. 2. С. 87 -104.

11. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиз-дат, 1956. 600 с.

12. Болотин В'.В. Конечные деформации гибких трубопроводов. Труды-Московского энергетического института, вып. XIX. М.!: Госэнергоиздат, 1956. С.

13. Болотин В. В: Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

14. Болотин^ В.В. О колебаниях и устойчивости стержней, нагруженных неконсервативными силами //Колебания в турбомашинах. М.: Изд. АН1 СССР- 1959. С. 23−42.

15. Болотин В. В: Устойчивость консольного, стержня с упругой связью при< непотенциальном нагружении//Изв. РАН. МТТ. 2006. № 2. С. 84−92.

16. Болотин В В., Васина В. Н., Радин В. П., Чирков В. П. Параметрические колебания в неконсервативных системах // «Проблемы прикладной механики, динамики и прочности машин». Сборник статей. Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. С. 22−31.

17. Болотин В. В., Гришко А. А. Устойчивость и послекритическое поведение аэроупругих систем с учётом дополнительного демпфирования // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 5. С. 164−174.

18. Болотин В. В., Жинжер Н. И. Устойчивость линейных систем / Энциклопедический справочник по машиностроению. Т. Г 3. М.: Машиностроение. 1994. Т. 2. С. 462−472.

19. Борук И. Г., Лобас Л. Г., Патрицио Л. Д. О состояниях равновесия перевернутого двойного маятника со следящей силой на упругозаделанном верхнем конце // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 5 С. 16 22.

20. Болотин В В., Петровский А. В., Радин В. П. Устойчивость и послекритическое поведение многоступенчатой системы твёрдых тел при непотенциальном нагружении // Изв. АН. МТТ. 2005. № 1. С. 174−187.

21. Борук И. Г., Лобас Л. Г., Патрицио Л. Д. Осостояниях равновесия-перевёрнутого двойного маятника со следящей силой на упругозаделанном верхнем? конце // Изв. АН., МТТ. 2004. № 5. С. 121−127.

22. Васина В. Н. Параметрические колебания участка трубопровода. с протекающей жидкостью // Вестник Московского энергетического института, 2007. № 1. С. 5−12.

23. Васина В. Н., Окопный, Ю.А., Радин В. П. Исследование влияния внутреннего трения на’параметрические колебания вращающегося, вала // Инженерный журнал. Справочник. Машиностроение, 2005, № 11. С. 19 24.

24. Гольденблат Г. Ю. Устойчивость упругих систем^ при динамических нагрузках. Сб. «Проблемы устойчивости в строительной механике». Стройиздат. 1965. с.

25. Гришко А. А., Дубовских Ю. А., Петровский А. В. О послекритическом поведении диссипативных нелинейных систем // прикладная механика. 1998. Т. 34. № 6. С. 92−98.

26. Гришко А. А., Петровский А. В., Радин В. П. О влиянии внутреннего трения на устойчивость панели в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН1. МТТ. 1998. № 1. С. 173 181.

27. Гром А. А., Левченко И. Н., Лизунов П. П. Колебания и устойчивость ротора при сложном движении // прикладная механика. 1999. Т. 35. № 7. С. 104−107.

28. Гультяев А. К. Matlab5.3. Имитационное моделирование в среде Windows. Санкт Петербург: Изд-во «Корона принт», 2001. 400 с.

29. Денисов Г. Г. К проблеме гироскопической стабилизации механических систем // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 3. С. 11−15.

30. Детинко Ф. М. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 118−125.

31. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

32. Жаркова Н. В. Прикладные задачи динамики упругих стержней // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 80−98.

33. Кочин Н. Е. О крутильных колебаниях коленчатых валов // Прикладная математика и механика, 1934, т. 2, вып. 1. С. 3 28.

34. Кошляков В. Н. О переходе к уравнениям прецессионной теории в неконсервативных гироскопических системах // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 4. С. 43−51.

35. Лобас Л. Г., Лобас Л. Л. Бифуркации, устойчивость и катастрофы состояний равновесия двойного маятника под воздействием асимметричной следящеё силы // Изв. АН. МТТ. 2004. № 4. С. 139−149.

36. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Гостехиздат, 1951.

37. Малкин И. Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1949.

38. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

39. Мухин О. Н. Динамический критерий устойчивости трубопровода с протекающей жидкостью. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 3. С. 52−61.

40. Механические колебания. Основные понятия. Терминология. Буквенные-обозначения величин. М.: Наука, 1987. 24 с.

41. Пановко Я. Г.

Введение

в теорию механических колебаний. М.: Наука. 1991.255 с.

42. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. — М.: Наука, 1979. 384 с.

43. Пановко Я. Г., Сорокин С. В. О квазиустойчивости упруговязких систем со следящими силами // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 135−139.

44. Петровский А. В* Динамическое поведение обращенного двухзвенного неортогонального маятника при непотенциальном нагружении // Изв. АН. МТТ. 2003. № 5. С. 137−146.

45. Петровский А. В. Устойчивость и послекритическое поведение обращенного пространственного маятника, при непотенциальном нагружении //Изв. РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 165−176.

46. Постнов В. А. Оптимизация по критерию устойчивости консольного стержня, подверженного действию неконсервативной сжимающей силы // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 2. С. 93−103.

47. Потёмкин В. Г. Matlab 5.x. Система инженерных и научных расчётов. М.: «Диалог-Мифи», 1999. Т. 1.368 с.

48. Потёмкин В. Г. Matlab 5.x. Системаинженерных и научных расчётов. М: «Диалог-Мифи», 1999. Т.2.304 с.

49. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 3 // Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 568 с.

50. Самсонов В. А., Селюцкий Ю. Д. О колебаниях пластины в потоке сопротивляющейся среды // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 4. С. 24−31.

51. Светлицкий В. А. Нестационарные колебания стержней при импульсном нагружении // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 2. С. 69−76.

52. Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле. ГТТИ. 1994. с.

53. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. JL: «Энергия», 1971. 388 с.

54. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Изд-во «Наука», 1967. 376 с.бЗ.Челомей В. Н. Динамическая устойчивость авиационных, конструкций. М.: Изд. Аэрофлота, 1939. 250 с.

55. Чеботарев Н. Г., Мейман Н. С. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. Изд-во АН СССР, 1949.

56. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978. 336 с.

57. Bolotin V.Y., Gantes Ch., Grichko A.A., Kounadis A.N. Non-linearpanel flutter inremote post-critical domain // Int. J/ Non-Linear Mechanics,// 1998. V. 33 № 5. P. 753−764.

58. Bolotin V.V., Gantes Ch., Grichko A.A., Kounadis A.N., Roberts J.B. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of nonlinear aeroelastic system// J. Nonlinear Dynamics. 1998. № 15. P. 63−81.

59. Bolotin V.V., Grichko A.A., Petrovsky A.V. Secondary bifurcations and global instability of an aeroelastic nonlinear system’in the divergence domain // J. Sound Yibr. 1996. V. 191. № 3. P. 431−451.

60. Bolotin V.V., Zhinzher N.I. Effects of damping on stability of elastic systems subjected to nonconservative forces // Int. J. Solid Struct. 1969. V.5. № 9. P. 965−989.

61. Jin J.-D. Bifurcation analysis of double pendulum with a follower force // J. Sound Yibr. 1992. V. 154. № 2. P. 191−204.

62. Kounadis A.N. On the failure of static stability analyses of nonconservative systems in regions of divergence instability // Int. J. Solids and Structures. 1994. V. 31. № 15. P. 2099;2120.

63. Ziegler H. Die Stabilititatskriterien der Elastomechanik // Ing.-Arch., 1952, v.20, № 1. P. 49−56.

64. Рошсагё H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 1982.