Последние десятилетия оказались очень плодотворными для развития области механики, посвященной исследованию движений систем с соударениями [1−8]. Особый интерес в системах с неудерживающей связью представляют периодические режимы движения. Многие авторы интересуются именно построением таких режимов и исследованием их устойчивости [9−15] (Рис.В.1).
Отличительной чертой систем с неудерживающей связью является отсутствие гладкости их решений, связанное с наличием ударов о связь, вызывающих скачкообразное изменение скорости точек системы в моменты ударов. Это существенно усложняет исследование динамики системы, поэтому особый интерес представляют движения в существенно негладких системах, где выход на связь происходит без удара.
Возможность безударного выхода на связь (т.е., когда относительная скорость сближения тела со связью в момент выхода на связь равна нулю), а также возможность построения периодических безударных режимов, на которых система ненулевое время находится на связи, многими авторами не отрицается (см. например [16]), однако таким типам движения в литературе уделено значительно меньше внимания [17−20]. А ведь именно на этих режимах можно избежать часто нежелательных эффектов, таких, как ударные деформации, потери энергии, разрушение материалов и т. п. Более того, следует отметить, что фазовые траектории на безударных периодических движениях остаются непрерывными и дифференцируемыми, несмотря на существенную негладкость системы.
Среди множества различных периодических режимов движения в системах с обобщенными координатами (<?ъ (?2> с неудерживающей связью > 0 безударные режимы выделяются тем, что они являются вырождеными, т. е. в момент приземления не только скорость должна обращаться в ноль, но и величина ^ также должна быть нулевой, что является необходимым для дальнейшего пребыва.
Рис.В.1. Типы периодических режимов: а — траектории с ударами о связь, б — траектории с участками движения на связи (пластический удар), в — траектории с участками движения на связи (квазипластический удар), з — безударные периодические режимы движения.
Рис.В.2. Периодические безударные режимы в механических системах: а — шарик на вибрирующем основании,.
6- движение осесимметричного колеса, но поверхности синусоидального профиля. ния системы на связи, в противном случае, произойдет лишь касание связи и мгновенный сход с нее. Поэтому в ряде систем безударные режимы возможны лишь при особом выборе начальных условий или конструкционных параметров системы. Именно эта вырожденность, возможно, стала причиной отсутствия интереса авторов к данным периодическим режимам. На рис.В.2 приведены примеры исследованных механических систем, в которых периодические безударные режимы существуют и изображены, но остались неизученными.
Помимо многочисленных упоминаний о движениях негладких систем с касанием ограничителя, пожалуй, впервые периодические безударные движения были выделены и оговаривались особо Журавлевым В. Ф. в [21]. Несколько раньше безударные периодические режимы были обнаружены В. В. Белецким в конкретной системе связка спутников на круговой орбите [25], [26]. В [22] построены безударные движения на примере системы «двухмассовый прыгун». Фундаментальная база для исследования безударных движений была заложена в работе А. П. Иванова [17], в которой приводятся условия существования безударных перелетов, а также исследована устойчивость периодических безударных движений для систем с потенциальными силами с двумя степенями свободы и неудерживющей связью. В данной работе ограничимся исследованием безударных движений именно в таких системах.
Будем рассматривать системы с обобщеными координатами (д1, <72) и неудерживающей связью <71 > 0. Особенностью фазового портрета таких систем является то, что в случае, когда система находится на связи и = 0, = 0, она имеет одну степень свободы, и ее движение можно исследовать на фазовой плоскости вплоть до момента схода. Движение на связи имеет место до тех пор, пока реакция связи положительна или равна нулю. Обозначим эту область через и.
Сход со связи происходит в момент, когда изображающая точка пересекает кривую, на которой реакция связи меняет знакназовем ее кривой схода и обозначим /. С момента схода до момента выхода на связь фазовое пространство системы четырехмерно. Примем гипотезу абсолютно неупругого удара, тогда после удара система окажется в плоскости <71 = 0, ??1 = 0. Для исследования динамики системы составим отображение Е, ставящее в соответствие каждой точке фазовой плоскости в момент схода точку фазовой плоскости непосредственно после удара. После приземления, в случае попадания изображающей точки в область </", система продолжит движение на фазовой плоскости, однако может случиться так, что изображающая точка окажется вне области J~ и которую обозначим </+ и назовем областью схода. Тогда произойдет мгновенный сход со связи. Отметим, что система может неоднократно подряд попадать в область схода.
Динамику таких систем можно проследить методом припасовыва-ния, или что суть одно и то же — методом точечных отображений.
В случае, когда силы, действующие на систему, потенциальны, энергия системы полностью определяет координаты изображающей точки в момент схода со связи, а, следовательно, и в момент выхода на связь. В этом случае последовательность отображений энергии из одной фазы движения на связи в следущую полностью описывает движение системы. Построим кривую зависимости энергии в следующей фазе на связи после одного или серии ударов от энергии в предыдущей фазе движения на связи, тогда эволюцию по энергетической кривой можно проследить с помощью построения диаграммы Ламерея для энергетической кривой.
Поскольку энергия при ударах теряется, то энергия после удара меньше энергии до удара, поэтому энергетическая кривая лежит ниже биссектрисы первого и третьего координатных углов. Значениям энергии на кривой энергии, лежащим на биссектрисе первого и третьего координатных углов (если такие значения существуют), отвечают безударные периодические режимы движения. На безударных движениях скорость ^ в момент выхода на связь равна нулю, и ударных энергетических потерь нет, поэтому таким режимам отвечает постоянное значение энергии безударного движения. На фазовой плоскости безударным движениям отвечают те точки кривой схода </, которые при отображении Г попадают на нее же.
Замечательным является тот факт, что безударные периодические режимы полуустойчивы. Возьмем энергию системы несколько большей чем энергия безударного движения, тогда выход на связь будет сопровождаться ударом, но энергетические потери при ударе окажутся малыми настолько, что энергия системы останется больше безударной и со временем будет асимптотически приближаться к энергии безударного движения, а фазовая траектория, оставаясь разрывной, будет стремиться к траектории безударного движения.
Темой данной работы является построение безударных режимов движения в различных системах, и исследование размеров областей устойчивости периодических безударных движений.
В первой главе приведены теоретические сведения, являющиеся базовыми для нахождения безударных движений [17].
В первом и втором параграфах первой главы дается определение безударного выхода на связь, приводятся необходимые и достаточные условия схода со связи и безударного выхода на связь. Показано, что для схода и безударного выхода на связь д > 0 необходимо, чтобы изображающая точка попала на кривую схода (? = 0. В третьем параграфе приводится теорема о свойствах отображения Е — отображения изображающей точки в момент схода со связи в фазовую плоскость в момент выхода на связь. При безударных приземлениях Р теряет свою дифферендируемость.
В четвертом параграфе первой главы исследуется устойчивость безударных периодических режимов в системах с потенциальными силами. Оказывается, что если в такой системе с неудерживающей связью существует периодический режим, то он с необходимостью безударный. Приведено доказательство полуустойчивости безударных движений для ньютоновского коэффициента восстановления Л, не превышающего ½- Я — ½ — предельное значение коэффициента восстановления при ударах, гарантирующее монотонное затухание ударов при заданной прижимающей силе. В доказательстве используется метод оценки областей устойчивости по первому приближению, который применяется при исследовании конкретных примеров в главах 3 и 4.
Во второй главе исследуется затухание ударов в неавтономой системе с одной степенью свободы, неудерживающей связью и прижимающей к связи силойв терминах [23] исследуется квазипластический удар. Показано, что в дополнение к приведенным в первой главе результатам, затухание ударов имеет место и в том случае, когда ½ < Я < 1, однако оно не является монотонным. Это не мешает существованию областей притяжения и в случае «больших» Я. Тем самым результат о существовании областей притяжения распространяется на случай ½ < Я < 1. Ценность данного результата возрастает при учете того, что в окрестности касательного удара коэффициент восстановления близок к единице [18].
В первом параграфе второй главы формулируется постановка задачи. Во втором параграфе приводятся необходимые оценки времени полета и изменения модуля скорости в промежутке между ударами.
Третий параграф посвящен исследованию затухания ударов при невозрастающей по модулу прижимающей силе. Показано, что в случае, когда сила не ограничена снизу положительным числом, удары могут затухать бесконечное время.
В четвертом параграфе разобран случай возрастающей силы. В этом случае затухание может носить немонотонный характер. Ключевой причиной затухания ударов является тот факт, что сила в промежутках между ударами растет быстрее модуля скорости, что обуславливает уменьшение временных промежутков между ударами, и, в результате, приводит к затуханию их за конечное время. В случае, если сила имеет неограниченную производную (случай исключительный), ньютоновская гипотеза удара приводит к следующему результату: за конечное время и сила, и скорость точки, на которую действует сила, могут достигать неограниченных значений.
Пятый параграф второй главы формулирует и доказывает теорему о затухании ударов при произвольной силе. Показывается, что затухание ударов имеет место при малых начальных скоростях для любой прижимающей силы, имеющей в окрестности начала координат конечное число экстремумов и ограниченную производную, для любого коэффициента восстановления 0 < Л < 1.
В шестом параграфе приведена оценка ударных энергетических потерь в результате затухания ударов. Проведена сравнительная оценка потерь энергии при пластическом и квазипластическом ударе.
Применение полученных теоретических результатов в конкретных механических системах дается в третьей и четвертой главах.
В главе 3 исследуется механическая система «двухмассовый прыгун». Изучаются все возможные режимы движения такой системы, условия, при которых происходит эволюция системы, результаты эволюции — предельные режимы движения, характер изменения эволюции при изменении конструкционных параметров системы.
В первых трех параграфах приведено определение системы двухмассовый прыгун, выписаны уравнения движения, и исследуются отдельно фаза движения, когда система находится на опоре, и фаза свободного движения системы. Показано, что переход в фазу полета происходит при пересечении фазовой точкой кривой схода, благодаря чему константа энергии полностью определяет движение системы с момента нахождения на связи до момента удара. Поэтому становится возможным исследовать систему с помощью энергетической кривой.
В четвертом параграфе построена энергетическая кривая.
Пятый параграф раскрывает поведение фазовых траекторий, попавших после удара в область схода. Исследуются свойства отображения Г, построены кривые потери непрерывности Е, которая происходит именно на траекториях с безударным приземлением в области Оказывается, что безударные периодические движения можно определить из точек пересечения данных кривых и кривой схода.
В шестом параграфе третьей главы построены периодические безударные режимы, которых счетное число, исследуется их устойчивость, дана оценка областей притяжения.
Далее изучаются размеры областей притяжения в зависимости от конструкционных параметров системы — соотношения масс, жесткости пружины. При определенных значениях конструкционных параметров области притяжения к безударным движениям неограниченно возрастают.
В восьмом параграфе исследуется характер изменения размеров областей притяжения при возрастании ньютоновского коэффициента восстановления К. Для всех 0 < Я < 1, согласно теореме главы 2, области притяжения не пусты.
В девятом параграфе найдены дополнительные компоненты областей притяжения. Показано, что безударные движения являются финальными состояниями для данной системы и играют в ней существенную роль именно благодаря наличию непустых областей притяжения, размеры которых зависят от конструкционных параметров системы.
Четвертая глава посвящена исследованию движений асимптотических к периодическим безударным движениям в системе «связка двух тел на круговой орбите», моделирующей движение двухсекционного спутника, спутника и зонда, соединенных тросом, и так далее.
Эта система была первоначально была исследована В. В. Белецким [25], [26]. Были найдены безударные периодические режимы и сделан вывод об их неустойчивости на основе численного анализа. Необнаружение областей устойчивости безударных режимов связано с их чрезвычайной малостью: размеры областей асимптотических движений минимум на семь порядков меньше значений энергий безударных движений. Лишь на основе теоретических исследований был сделан вывод об их наличии и были найдены эти области.
В первых пяти параграфах четвертой главы, подобно исследованию двухмассового прыгуна в главе 3, даны уравнения движения системы, разобрано движение системы в свободном и в связанном состояниях, обсуждается энергетическая кривая, а также найдены периодические безударные режимы.
В шестом параграфе получены оценки областей притяжения. Отдельно, численно найдены размеры области притяжения для безударной энергии /го, поскольку для энергий больших /го система после первого удара попадает в область схода, и получить аналитическую оценку оказывается сложно. Согласно теоремам об устойчивости из глав 1,2, данные области, тем не менее, существуют и были найдены.
Особенно интересную структуру образуют дополнительные компоненты областей притяжения, обсуждаемые в седьмом параграфе. Кстати, данная система интервалов дополнительных компонент не является исключительной — качественно ту же структуру имеют дополнительные компоненты областей притяжения для системы двух-массовый прыгун.
В заключении кратко сформулированны основные результаты диссертации.
Результаты диссертации докладывались на семинаре в МГУ под рук. акад. Румянцева В. В. (13.10.98), на ХП-ом симпозиуме по динамике виброударных систем (Москва — Звенигород 1998), международном симпозиуме по динамике виброударных систем (Лавборо, Великобритания, 15−18.09.98), на всероссийской конференции с международным участием по проблемам небесной механики (Санкт-Петербург 3−6.06.97), на втором симпозиуме по классической и небесной механике (Москва — Великие Луки 1996), на второй крымской математической школе по методу функций Ляпунова и его приложениям (Алушта 1−7.10.95), на Х1-ом симпозиуме по динамике виброударных систем (Москва — Звенигород 1995).
Заключение
.
В диссертации исследованы безударные периодические режимы движения в системах с двумя степенями свободы и неудерживающей связью. На безударных траекториях относительная скорость сближения системы со связью в момент выхода на связь равна нулю, что позволяет избежать таких нежелательных эффектов как ударные энергетические потери, ударные деформации и т. д. Данные периодические режимы найдены и исследованы на устойчивость в механических системах «двухмассовый прыгун» и «связка спутников на круговой орбите» .
Цель работы заключалась в том, чтобы показать, что столь ценные в смысле энергетической экономичности периодические безударные движения отнюдь не являются исключительными, а существуют в целом классе систем. С помощью аналитических и численных методов было доказано, что данные движения имеют непустые области притяжения, и тем самым увеличивают привлекательность их использования в реальных системах.
Основными результатами диссертации являются:
1). Доказательство наличия непустых областей притяжения к безударным периодическим движениям в системах с потенциальными силами для любого, не превышающего единицы, коэффициента восстановления при ударах. Попутно получены условия затухания ударов в неавтономной системе с одной степенью свободы, с прижимающей к связи силой, оценены энергетические потери в затухающей серии ударов.
2). Исчерпывающе исследована система «двухмассовый прыгун». Показано, что безударные периодические движения являются финальными для данной системы, благодаря наличию непустых областей притяжения к безударным движениям.
3). На примере системы «двухмассовый прыгун» исследована структура отображения Г области схода на фазовую плоскость. Впервые показано, что безударные движения существуют, если кривые потери непрерывности Е пересекаются с кривой схода на фазовой плоскости.
4). Обнаружено, что в системе «двухмассовый прыгун» области притяжения к безударным движениям могут неограниченно возрастать при определенном выборе конструкционных параметров системы.
5). В системе «связка спутников на круговой орбите» найдены и исследованы области притяжения к безударным движениям, факт существования которых был установлен благодаря теоретическим сведениям. Необнаружение данных областей другими авторами на основе численных методов можно объяснить недостаточной точностью вычислений.
Полученные в диссертации результаты дают возможность использовать их для построения безударных периодических движений и нахождения областей их притяжения в реальных системах, где явление удара является нежелательным эффектом. В частности, на основе модели двухмассового прыгуна возможно создание экономичных прыгающих систем. Модель связка спутников также может быть использована в задачах о движении орбитальных систем. Орбитальный зонд, соединенный тросом с летательным аппаратом, — один из простейших примеров подобных динамических систем.
