Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Приближенные алгебры Ли малых размерностей, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром

Диссертация: Приближенные алгебры Ли малых размерностей, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Целью настоящей работы является развитие pi применение методов теории приближенных групп преобразований для построения инвариантных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром. А именно, классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, построение реализации таких приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами
  • 1. Приближенная алгебра Ли
  • 2. Приближенная алгебра Ли с двумя существенными векторами
  • 3. Приближенная алгебра Ли с тремя существенными векторами
    • 3. 1. Шестимерная приближенная алгебра Ли
    • 3. 2. Пятимерная приближенная алгебра Ли
    • 3. 3. Четырехмерная приближенная алгебра Ли
  • 2. Подобие приближенных групп преобразований
  • 4. Реализация приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка
  • 5. Система дифференциальных уравнений для преобразования подобия
  • 6. Условие полноты системы
  • 7. Условие совместности системы
    • 7. 1. Случай линейно несвязных операторов
    • 7. 2. Случай линейно связных операторов
  • 3. Классификация неподобных приближенных алгебр Ли дифференциальных операторов в К2 и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром
  • 8. Реализация приближенных алгебр Ли с двумя существенными векторами
  • 9. Реализация приближенных алгебр Ли с тремя существенными векторами
    • 9. 1. Неподобные шестимерные алгебры Ли
    • 9. 2. Неподобные пятимерные приближенные алгебры Ли
    • 9. 3. Неподобные четырехмерные приближенные алгебры Ли
  • 10. Дифференциальные уравнения с малым параметром, допускающие приближенные алгебры Ли
  • 11. Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с двумя существенными приближенными симметриями
  • 12. Общий вид дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром с тремя существенными приближенными симметриями

Приближенные алгебры Ли малых размерностей, допускаемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Групповой, анализ дифференциальных уравнений возник в середине XIX века в работах выдающегося норвежского математика Софуса Ли. Основная цель его трудов — перенос теории Абеля-Галуа о разрешимости алгебраических уравнений на обыкновенные’дифференциальные уравнения. Исследования в этом направлении привели С. Ли к созданию теории непрерывных групп преобразований, названных впоследствии группами Ли преобразований.

Благодаря доказанным С. Ли теоремам, группам Ли могут быть поставлены в соответствие алгебраические объекты — алгебры Ли. С. Ли был предложен ряд методов, которые с использованием алгебры Ли операторов, допускаемой обыкновенным дифференциальным уравнением, позволяют понизить порядок уравнения и найти его решение. В частности, им разработан метод канонических переменных, позволяющий проинтегрировать в квадратурах обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее двумерную алгебру Ли операторов. В случае, когда такое уравнение допускает трехмерную алгебру Ли, им был предложен метод нахождения интегралов.

Построение классов дифференциальных уравнений, допускающих двух-и трехмерные алгебры Ли операторов, базируется на классификациях неизоморфных структур алгебр Ли и неподобных алгебр Ли операторов. Задача классификации неизоморфных двумерных и трехмерных алгебр Ли была решена в работах С. Ли (см., например, [19], [34]), Л. Бианки (см., например, [19]). Для алгебр Ли более высоких размерностей такая задача рассматривалась в работах Г. М. Мубаракзянова [28],[29], А. В. Аминовой [1] и их коллег. Подобие алгебр Ли операторов, а также его использование для анализа симметрийных свойств дифференциальных уравнений, рассматривалось в работах С. Ли (см., например, [19]), Л. П. Эйзенхарта [46], Л. В. Овсянникова [31], П. Винтернитца [65], Н. Х. Ибрагимова, М. К. Нучи [54], П. Лича [61],.

Ф. Махомеда [63], [69], С. В. Хабирова [58] и др.

Исследование симметрий дифференциальных уравнений показало, что добавление в уравнение слагаемых с малым параметром чаще всего приводит к разрушению допускаемой им* «точной» группы преобразований. Одним из возможных способов решения этой проблемы является использование концепцииприближенных групп преобразований, предложенной в работах В. А. Байкова, Р. К. Газизова и Н. Х. Ибрагимова [3], [5], [43]. Другой подход к исследованию дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривался в работах В. И. Фущича и его коллег [47], [37]. В этих работах под приближенной симметрией уравнения с малым параметром понимается точная симметрия системы уравнений, которая получается расщеплением исходного уравнения по степеням малого параметра в предположении, что решение разлагается в ряд по малому параметру. Дальнейшее развитие этого метода можно найти в работе [64].

В настоящее время приближенные группы преобразований стали хорошо зарекомендовавшим себя аппаратом современного группового анализа, используемым специалистами в области математической физики и механики. Так, например, в работах [35], [36], [45] проводится групповая классификация различных уравнений математической физики с малым параметром. Аналог теоремы Нетер для приближенных симметрий, используемый для построения законов сохранения, был получен в работе [4]. Вариационная формулировка законов сохранения с использованием приближенных симметрий приведена в работах [56], [55]. В работах [66], [67], [68] показано применение приближенного аналога теоремы Нетер для полученния первых интегралов и приближенного решения различных уравнений математической физики. В [22], [57], [62] представлен метод вычисления условных приближенных симметрий. В работах [6], [44], [60] использована комбинация методов теории приближенных групп преобразований и метода многих масштабов для построения приближенных инвариантных решений дифференциальных уравнений. В работах [59], [21], [53] развит метод ренормгруппо-вых приближенных симметрий в краевых задачах математической физики. В работе Н. Х. Ибрагимова [52]'построен аналог метода последовательного понижения порядка для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием двух приближенных симметрий. В работе Ю. Ю. Багдериной [41] доказано утверждение о понижении порядка обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром, допускающего приближенную алгебру Ли, существенные операторы которой удовлетворяют условиям разрешимости.

Данная работа посвящена построению классов дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, которые допускают приближенные алгебры Ли с двумя и тремя существенными операторами, что позволяет их приближенно интегрировать. Одновременно решаются вопросы изоморфизма и подобия приближенных групп преобразований.

Целью настоящей работы является развитие pi применение методов теории приближенных групп преобразований для построения инвариантных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром. А именно, классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, построение реализации таких приближенных алгебр Ли в пространстве дифференциальных операторов первого порядка с двумя переменными и выделение представителей их неподобных классов, построение инвариантных уравнений второго порядка с малым параметром.

При решении поставленной задачи были использованы методы классического группового анализа дифференциальных уравнений, теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, а также аппарат теории приближенных групп преобразований.

В работе впервые проведена классификация приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами, сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли, выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными операторами в пространстве 1R2, построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами. В работе используются следующие обозначения: е — малый параметрравенство /(эс, е) = о{е) означает, что lim-'— = 0- под приближенным.

0? равенством f ~ д понимается f (x, e) = д (х, е) + В выражениях вида — предполагается суммирование по повторяющемуся индексу. Все.

UJb рассматриваемые функций! предполагаются дифференцируемыми достаточное количество раз и разложимыми в ряд по степеням е.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 12 параграфов, и заключения.

Заключение

.

1. Решена задача классификации приближенных алгебр Ли с двумя и тремя существенными векторами. Найдено семь типов неизоморфных приближенных алгебр Ли, базис которых определяется двумя существенными векторами. Приведен алгоритм нахождения неизоморфных приближенных алгебр Ли, который был использован для классификации шести-, пятии четырехмерных приближенных алгебр с тремя существенными векторами. В результате получено 36 типов шестимерных, 24 типа пятимерных и 10 типов четырехмерных неизоморфных приближенных алгебр Ли.

2. Сформулированы и доказаны теоремы о подобии приближенных алгебр Ли операторов. Доказательство теорем основано на анализе систем полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром, для которых получены условия полноты и совместности.

3. Выполнена классификация неподобных приближенных алгебр Ли дифференциальных операторов в пространстве IR2. В случае приближенных алгебр Ли с двумя существенными операторами найдено 9 видов четырехмерных и 6 видов трехмерных неподобных алгебр Ли операторов. В случае приближенных алгебр Ли с тремя существенными операторами найдено 62 вида шестимерных, 47 видов пятимерных и 35 видов четырехмерных неподобных алгебр Ли операторов.

4. Построен общий вид обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром, допускающих приближенную алгебру Ли с двумя и тремя существенными операторами. Выявлены случаи шестимерных и пятимерных приближенных алгебр Ли, которые не допускаются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, для них выписаны инвариантные уравнения третьего порядка.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий // Изд-во Янус-К: Москва. — 2003. — 619 с.
  2. В.А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. — Т. 29. — № 10. -С. 1712−1732.
  3. В.А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. — Т. 136, вып. 4. — С. 435 — 450.
  4. В.А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром // Препринт № 150 Института прикл. математики АН СССР. 1987. — 28 с.
  5. В.А., Васильев И. В., Хабибуллин Р. А. Сращивание приближенных асимпотических групп для некоторых модельных примеров // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании. Уфа: Изд-во УГАТУ, 1999. — С. 16 — 26.
  6. Р.К. Алгебраические свойства приближенных симметрий уравнений с малым параметром // Межвуз. научн. сборник. Уфа: Изд-во УГАТУ, 1999. — С. 66 — 76.
  7. Р.К., Лукащук В. О. Критерий подобия приближенных групп преобразований // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А. Ф. Леонтьева. Уфа: ИМВЦ, 2007. — Т. 1. — С. 58 — 59.
  8. Р.К., Лукащук В. О. Классификация алгебр Ли с тремя существенными векторами / / Известия ВУЗов. Математика. Казань, 2010-№ 10. — С. 3 — 17.
  9. Р.К., Лукащук В. О. Подобие приближенных групп преобразований // Сибирский математический журнал. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010. — Т. 51, № 1. — С. 3 — 15.
  10. Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных // ОНТИ ГТТИ: Ленинград, Москва, 1934. 360 с.
  11. Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964. — 355 с.
  12. .А., Новиков С. А., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986. — 760 с.
  13. Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. — 48 с.
  14. Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи математических наук 1992. — Т. 47, вып. 4(286). — С. 84 — 144.
  15. Н.Х. Опыты группового анализа // Новое в жизни, науке, технике. Сер."Математика, кибернетика" 1991. — № 7. — 48 с.
  16. В. Ф., Ширков Д. В. Ренормгрупповые симметрии для решений нелинейных краевых задач // Успехи физических наук. 2008. — Т. 178, № 8. — С. 849 — 865.
  17. С.А. Иерархия Кортевега-де Фриза как асимптотический предел системы Буссинеска // Теоретическая и математическая физика. 2008. — Т. 154, № 2. — С. 294 — 304.
  18. В.О. Неподобные шестимерные приближенные алгебры Ли на плоскости и инвариантные дифференциальные уравнения второго порядка с малым параметром // Уфимский математический журнал. -Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009. Т. 1, № 3. — С. 97 — 110.
  19. В.О. Общее решение системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малым параметром // Вестник УГАТУ. Уфа: Изд-во УГАТУ, 2007. — Т. 9, № 3 (21). — С. 145 — 149.
  20. Г. М. О разрешимых алгебрах Ли. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1963. — № 1. — С. 114 — 123.
  21. Г. М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1963. — № 3. — С. 99 — 106.
  22. Л.В. Аналитические группы. Новосибирск, 1972. — 237 с.
  23. Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.
  24. Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО РАН, 1966. — 240 с.
  25. Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. — 520 с.
  26. А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1966. — 496 с.
  27. С.Л. Об уравнениях динамики неньютоновской жидкости, движущейся с проскальзыванием относительно ложа // Изв. вузов. Ма-тем.:Казань. 1997. — № 10. — С. 67 — 74.
  28. С.Л., Эскин Л. Д. О точности приближенных симметрий урав1 нений динамики неньютоновской жидкости и их инвариантных решениях. I // Изв. вузов. Матем.: Казань. 2003. — № 8. — С. 53 — 62.
  29. В.И., Штелен В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1989. — 336 с.
  30. С.В. Методы теории групп Ли-Беклунда в математической физике // Диссертация на соиск. уч.ст. д.ф.-м.н. Уфа: 1990. — С. 116 -122.
  31. Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. — 396 с.
  32. Bagderina Yu.Yu. Sollution of ordinary differential equation with a large Lie symmetry group // Nonlinear Dynamics. 2002. — Vol. 30. — P. 287 — 294.
  33. Bagderina Yu.Yu. Number of invariants of multi-parameter approximate transformation group // Proceedings of the International Conference «MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium» Ufa: USATU, 2001. — P. 16 — 20.
  34. Baikov V.A., Ibragimov N.H. Continuation of Approximate Transformatior- Groups via Multiple Time Scales Method // Nonlinear Dyn. 2000. -Vol. 22, № 1. — P. 3 — 13.
  35. Bokhari A.H., Kara A.H., Zaman F.D. Exact solutions of some general nonlinear wave equations in elasticity // Nonlinear Dyn. 2007. — № 48. — P. 49 — 54.
  36. Eisenhart L.P. Equivalent continuous groups // Annals of Math. 1932. -ser. 2, 33. — P. 665 — 670.
  37. Pushchich W.I., Shtelen W.N. On approximate symmetry and approximate solution of the non-linear wave equation with a small parameter // J.Phys.A: Math.Gen. 1989. — Vol. 22. — P. 887 — 890.
  38. Gazizov R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups //J. Math. Anal, and Appl. 1997. — Vol. 213, № 1. — P. 202 — 228.
  39. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equation // John Wiley and Sons. 1999. — 348 p.
  40. Ibragimov N.H., Kovalev V.F. Approximate and Renormgroup Symmetries // Higher Education Press, Beijing and Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg. 2009. — 144 p.
  41. Ibragimov N.H., Nucci M.C. Integration of third order differential equastions by Lie’s method equastions admitting three-dimentional Lie algebras // Lie Groups and Their Appl. 1994. — № 1. — P. 49 — 64.
  42. Ibrar Hussain, Mahomed F.M., Asghar Qadir Approximate Noether symmetries of the geodesic equations for the charged-Kerr spacetime and rescaling of energy // Gen Relativ Gravit. 2009. — Vol. 41. — P. 2399 -2414.
  43. Johnpillai A.G., Kara A.H. Variational Formulation of Approximate Symmetries and Conservation Laws // International Journal of Theoretical Physics. 2001. — Vol. 40, №. 8. — P. 1501 — 1509.
  44. Kara A. F., Mahomed F. M., Qu Changzheng Approximate potential symmetries for partial differential equations // J.Phys. A. 2000. — Vol. 33.- P. 6601 6613.
  45. Khabirov S.V. Classification of three-dimentional Lie algebras in И3 and their second-order differential invariants // Lobachevskii Journal of Mathematics: MAIK Nauka. 2010. Vol. 31, № 2. — P. 152 — 156.
  46. Kovalev V.F. Approximate Transformation Groups and Renormgroup Symmetries // Nonlinear Dyn. 2000. — Vol. 22. — P. 73 — 83.
  47. Kordyukova S.A. Approximate Group Analysis and Multiple Time Scales Method for the Approximate Boussinesq Equation // Nonlinear Dyn. 2006.- Vol. 46. P. 73 — 85. .
  48. Leach P.G.L. Equivalence classes of second-order ordinary differential equations with only a three-dimentional Lie algebra of point symmetries and linearisation // J. of Math. An. and Appl. 2003. — Vol. 284. — P. 31 -48.
  49. Mahomed F.M., Changzheng Qu. Approximate conditional symmetries for partial differential equations // J.Phys.A: Math. Gen. 2000. — Vol. 33. -P. 343 — 356.
  50. Mahomed F.M., Leach P.G.L. Lie algebras associated with scalar second-order ordinary differential equations //J. Math. Phys. 1989. — Vol. 30. -P. 2770 — 2777.
  51. Pakdemirli M., Yurusoy M., Dolapci I. T. Comparison of Approximate Symmetry Methods for Differential Equations // Acta Applicandae Mathematicae. 2004. — № 80. — P. 243 — 271.
  52. Patera J., Winternitz P. Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras // J. Math. Phys. 1977. — Vol. 18, № 7. — P. 1449 — 1455.
  53. Unal G. Periodic Solutions and Approximate Symmetries // Nonlinear Dyn.- 2000. Vol. 22. — P. Ill — 120.
  54. Unal G. Approximate First Integrals of Weakly Nonlinear, Damped-Driven Oscillators with One Degree of Freedom // Nonlinear Dyn. 2001. — Vol. 26.- P. 309 329.
  55. Unal G., Gorali G. Approximate First Integrals of a Galaxy Model // Nonlinear Dyn. 2002. — Vol. 28. — P. 195 — 211.
  56. Waho Soh, Mahomed F.M. Reduction of order for systems of ordinary differential equations // J. Nonl. Math. Phys. 2004. — Vol. 11, № 1. -P. 13 — 20.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?