Краевые задачи для смешанных уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа

Хорошо известно, что теория уравнений смешанного типа, получившая интенсивное развитие за последние десятилетия, в силу се связи с проблемами теории сингулярных уравнений, интегральных преобразований, специальных функций и прикладными задачами механики, математической физики, описываемых такими уравнениями, стала одной из важнейших разделов современной теории уравнений в частных производных.

Скорее всего на проблему уравнений смешанного типа впервые обратил внимание в 1902 г. A.C. Чаплыгин в своей диссертации «О газовых струях» [37,38], который при математическом моделировании движения газа от дозвуковой к сверхзвуковой скорости получил уравнение смешанного типа, в последующем названное уравнением Чаплыгина.

Однако систематическая разработка теории краевых задач для уравнений смешанного типа началась только в 20 — 30 годы прошлого столетия, с основополагающих результатов Трикоми [33,34] и Геллерстедта [8].

В последующем в развитии теории уравнений смешанного типа и их приложений существенную роль сыграли всемирно известные отечественные математики как Ф. И. Франкль, М. А. Лаврентьев, А. В. Бицадзе и их многочисленные ученики и сотрудники, чьи работы нашли отражение или ссылки в монографиях и учебных пособиях: А. В. Бицадзе [1,2,3], А. М. Нахушев [25,26,27], М. С. Салахитдинов [29], А. П. Солдатов [30], Е. И. Моисеев [24], М. М. Смирнов [31], Ю. М. Крикунов [22], Ф. И. Франкль [35], Л. Берс [5].

В этих же работах отмечены основные результаты зарубежных исследований по проблемам уравнений смешанного типа и их приложений.

Как близкие к исследованиям предлагаемой диссертации и использованные при ее написании, следует отметить работу А. В. Бицадзе [4], в которой впервые поднят вопрос о корректной постановке задач для смешанных уравнений с вырождением порядка па линии изменения типа, работу А. М. Нахушева [28], посвященная краевым задачам со смещением, названные за рубежом задачами (проблемами) Нахушева [32], работы В. А. Елеева [10,11] и М. М. Зайнулабидова [12−10], посвященные исследованиям краевых задач для модельных уравнений смешанного типа с перпендикулярными линиями изменения при отсутствии вырождения порядка.

Естественно, в математической литературе имеются многочисленные работы, как отечественных так и зарубежных авторов, посвященных проблемам краевых задач для уравнений смешанного типа, само перечисление которых становится проблематичным, в связи с чем автор ограничивается ссылкой только на работы, имеющие то или иное отношение к полученным в диссертации результатам.

Настоящая диссертация посвящена постановке и доказательству теоремы существования и единственности решения локальных и нелокальных краевых задач для смешанных уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа.

В качестве модельного рассматривается уравнение ти* = о, (I) где п, га — натуральные, а, ?3 — произвольные действительные числа, которое является аналогом уравнения, рассмотренного в [4] для случая вырождения порядка на одной линии изменения типа.

Уравнение (I) рассмотрено в конечной смешанной области, ограниченной в первой и третьей четвертях линиями Жордана, а во второй и четвертой четвертях характеристическими линиями.

Работа состоит из введения и трех глав, в каждой из которых своя нумерация формул.

В первой главе, состоящей из двух параграфов, рассмотрены вспомогательные задачи, названные видоизмененными задачами Коши и Хольмгрена со специальными, зависящими от параметров га, п, а, (3 краевыми условиями на линиях вырождения порядка уравнения (I). Получены явные представления решений этих задач, соответственно, в гиперболических и эллиптических частях смешанной области, причем в эллиптических частях области это представление получено через соответствующую краевым условиям функцию Грина.

Результаты этой главы опубликованы в [17].

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, исследованы корректно поставленные краевые задачи в смешанных областях, граница которых проходит через начало координат, т. е. через точку пересечения линий изменения типа.

В первых трех параграфах методом интегральных уравнений доказана однозначная разрешимость трех, названных задачами Сп, (^2, С? з, краевых задач, являющихся аналогами задач, изученных в работе [12] для уравнений без вырождения порядка.

В четвертом параграфе рассмотрен нелокальный вариант задач Сг, С2, (задачи С?), аналогично тому, как сделано в [15].

При редукции этих задач к интегральным уравнениям Фредголь-мовского типа, существование которых вытекает из единственности решения, использованы методы, разработанные в работе [16].

Основные результаты этой главы опубликованы в [17−21].

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, доказана однозначная разрешимость краевой задачи, названной основной, когда точка пересечения линий изменения типа находится внутри смешанной области и сама область симметрично относительно этой точки.

В первом параграфе исследована сама основная краевая задача, во втором параграфе рассмотрен ее простой в смысле доказательства единственности решения вариант, который имеет свою специфику при ее редукции к системе сингулярных интегральных уравнений, а в третьем параграфе изучен нелокальный вариант этой задачи.

Исследования снова проводятся методами интегральных уравнений и при доказательстве Фредгольмовости получаемых при этом систем сингулярных интегральных уравнений использованы методы работы [16], измененные применительно к исследуемой задаче.

Основные результаты этой главы опубликованы в [20,21].

Приведем краткое содержание проведенных в диссертации исследований.

В характеристических координатах уравнение (1) может быть представлено в виде.

ТТ 4- 2ГС-1 + 2ОД + Ц, 2т-1 + 2аЩ-Ц1].

2(2п + 1)? + 2(2ш+1) ?-77 [) где? = х6* + (~у)6 7] = х61 — (-у)6'2 при х > 0, у < 0-? = (-я)5' + у*2, г/ = (-хУ1 — у6* при х < 0, у > 0-? = + г², т/ =? = х*1 — Цу6'2 при ху > 0 (1—мнимая единица).

При исследовании уравнения (2), а следовательно и (1), в диссертации ограничиваемся случаем, когда л 2п — 1 + 2(3 2 т — 1 + 2а п.

0 < ——- = ——-— = 2 Т < 1, 3) 2п + 1 2 т + 1 ' w что достаточно для выяснения общей картины изучаемой проблемы. Допускается также возможность обращения в нуль одного из коэффициентов уравнения (2), при условии, что другой коэффициент меняется в промежутке [0,1).

В первой главе, являющейся вспомогательной, в гиперболической и эллиптической частях уравнения (1) исследованы видоизмененные задачи Коши и Хольмгрена.

Пусть ^1(^2)—конечная односвязная область плоскости переменных х, у, ограниченная прямой у = 0 (х = 0) и характеристиками ОИ: х6' - (-у)62 = 0, БА: ж* + (-уУ2 = 1, {ОС:(-хУ1 -у6* = 0, СВ: (-хУ1 + у82 = 1) уравнения (1).

В областях корректно поставленными для (1) являются видоизмененные задачи Коши соответственно с начальными данными и (х, 0) = п (х), Дш (~у)аиу = и{(х), 0 < ж < 1- и{0, у) = т2(у), 1ипо (-хУих = 1У2(у), 0 < у < 1, (4) причем решение этих задач при условии (3) могут быть выписаны в явном виде и в обозначениях и (х, у) = Щ (х, ?/), (х, у) (Е г = 1,2, когда 7 = 0 имеет вид (формула (1.11*) диссер.).

1 1 Щх, у) = о & У> °)) + ъ У> х))1 ~ А / У' (5).

2 о где д (х, у, 5) = + |т/|(2-^2(1 — 2″)]*, А[(г-1)й+.

2 — г) ?2] = М^^'Ы^"^2- а когда 0 < 27 < 1 имеет вид (формула (1.17) дисс.).

Щх, у) = /ъЫЯ'У'^Ы1 ~ з)]7−1^.

Р (1−7)(1−27)^.

X /2/, 2/, *)][(*(1 — (б) о где д (х, у, з) = [А®-!*1 — у**2)2 + |т/|гав]5г', Г (7)—гамма функция Эйлера, г, ^ = 1,2- г ф 3.

Пусть^о —конечная односвязная область плоскости переменных ж, у, ограниченная прямыми х = 0, у = 0 и расположенной в первой четверти линией Жордана, а с концами в точках А (1, 0) и В (0, 1).

В области для уравнения (1) однозначно разрешима следующая видоизмененная задача Хольмгрена: найти регулярное в Г^о решение [/(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям и (х, у) = <�р{х, у), (х, у) е сг- \туаиу = щ{х), 0 < х < 1;

Итх0их = и2(у), 0 < у < 1- где (р[х, у), щ (х), и2(у)—заданные достаточно гладкие функции, причем ее решение 1/(х, у) можно представить в явном виде (формула (1.47) дисс.).

1 1 Л 1 и (х, у) = —- ^(27+1№" 1|/1(0С?7К, 0- я, уЩ-М 25 ?25 т ж> у)^, (8) где (?7—функция Грина, определяемая краевыми условиями (7), Д,[<3] = -5 ?2п1+/У + оператор, называемый конормальной производной функции (7 по дуге сг, заданной параметрически уравнениями? = ?(.$), 7] = //(з), 0 < «<? от параметра длины дуги в,.

Во второй главе в смешанной области О = Г^иОхи^иОЛиОВ, где Сь О2—области определенные выше, О А—интервал 0 < х < 1 прямой у = 0, ОВ—интервал 0 < у < 1 прямой х = 0, исследована краевая задача (? в ее трех вариантах, которая заключается в нахождении функций и (х, у) е С (Г2)пС2(Г^ои^1и²)? являющейся регулярным решением (1) в областях г = 0,1,2- на О, А и ОВ подчинена условиям склеивания lim yaUv = lim (-y)aUv, 0 < ж < 1- ?/—>+0 ?y t/—о ' lim x? Ux = lim (-x)?UT, 0 < у < 1- на дуге, а удовлетворяет краевому условию и (х, ?/) = ip (x, у), (х, у) <Е, а а на характеристиках гиперболических частей удовлетворяет одному из следующих трех условий:

Uod = 0 < x < 2-^Гиос = Ыу)> 0 < У < (Gi) (9i) UDA = Ф1(®-), < х < 1- t/lc? = Ф2Ы, < у < 1 (.

Доказана однозначная разрешимость задачи G. Единственность решений задач Gi и Gз установлена на основе доказываемого с помощью принципа Зарембо-Жиро следующего аналога принципа экстремума Бицадзе A.B.: решение задачи G или при Фх'= Ф2 = 0 положительный максимум и отрицательный минимум принимает на дуге а.

В случае задачи G2, угловая точка 0(0,0) границы области Q0, в которой, принцип Зарембо-Жиро не работает, не охвачена краевым условием и поэтому для доказательства единственности решения этой задачи применяется другой метод, основанный на применении формулы Грина и оценках некоторых интегралов, который по существу является переработанным применительно к рассматриваемому случаю методом, использованным ранее в работах Франкля, Бицадзе, Нахуше-ва, Зайнулабидова и других авторов вошедших в список цитированной в диссертации литературы.

Доказательство существования решения проводится по обычной схеме.

Очевидно в обозначениях II (ж, у) = т (х), и (0, у) = Т2{у), Кт упиу = Р (х), Нт хРих — Р2(у) решение и (х, у) задачи в областях^х, в силу (4), представимо формулами (5), (6), а в области Г2о, в силу (7), представимо формулой (8).

Удовлетворяя (5) и (б) любому из условий (9&), к = 1, 2, 3 имеем два соотношения между тх, и 72, Полагая же поочередно х = 0 и у = О в (8), имеем еще два соотношения, связывающие функции тх, 72, щ, 1>2 между собой. Таким образом задача С? оказывается эквивалентно редуцированной к системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными 7*1, 72, г’ь у2- Операциями дифференцирования или обращения интегрального уравнения типа Абеля, из этой системы удается исключить неизвестные т и 72, тем самым эквивалентно сводя ее к системе двух линейных сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных и и г^, причем полученная система при нулевых краевых условиях, то есть, когда = Фх = Ф2 — О, является однородной.

Следовательно, имея теорему единственности решения задачи С к, к — 1, 2,3, для доказательства разрешимости полученной относительно и У2 системы остается показать ее фредгольмовость. В случае, когда, а — дуга нормального контура х+7/2<*2 = 1, функцию Грина видоизмененной задачи Хольмгрена при условии (3) можно построить явно и система уравнений относительно неизвестных г^х, при 7 = 0 для задач к = 1,2 имеет вид (см. формулы (2.23), (2.69) дисс.) гЬ-гУ^-*'^ (10) а для задачи £?з имеет вид.

— 1).

— 1 1.

7 Г — X вх,.

7 Г ^ + X 1 —SxJ 3.

И) где ~ 1, 2-г ф у, 1у-(х) = 0 < х < 1.

В случае 0 < 27 < 1, системы, аналогичные (10) соответственно для задач (^1, (^2, имеют вид (см. формулы (2.57), (2.89) дисс.) +А.

Л/.

X,.

1−2Т 1 Ж.

1 — й +? 1 + БХ.

У^йв = Фг (х).

12) I.

Ж/ 1 л.

1 + 1.

Ж 1.

1 — вх.

13) в + X 1 + 52- и, а система же аналогичная (11), соответствующая задаче Сз, состоит из первого уравнения (12) и второго уравнения (13) и имеет более сложную несимметричную структуру.

Обращаем еще раз внимание на то, что во всех системах (10)-(13) правые части при нулевых краевых условиях обращаются в нуль.

В диссертации показано как в результате ряда преобразований системы (10)-(13) и система соответствующая задаче С3 при 0 < 27 < 1 могут быть сведены к сингулярным интегральным уравнениям кар-лемановского типа, к которым применима теория Фредгольма, чем, в силу единственности решения и завершается доказательство однозначной разрешимости задач при указанных случаях. Следует отметить, что в этом процессе соответствующая задаче Сз система требует более гибкого подхода.

В четвертом параграфе второй главы для случая 7 = 0 исследован нелокальный вариант задачи С, который отличается от нее только тем, что вместо краевых условий {9к), к = 1,2,3 рассматриваются краевые условия кще{) + рки (е,) = Фифлкщев) + яки{вг) = ъ2к (*), где 0 < х < 1, ак, (Зк,^к, Як—заданные действительные числа, ф.

0- \ + ф 0- строчная матрица {1,3, в, г) индексов точек Оп{хп, Уп), п= 1,2,3,4 с координатами х = 2″ 1/Й1 (1 + х*1)1/г', ух = —2~1/<*2(1 — х6^, х2 = 2~1>^х, у2 = х3 = - х6>) у3 = 2~1^{1 + а^)1/*2, х4 = г/4 = 2~х^2х совпадает со строчными матрицами (1, 2, 3, 4) — (1, 3, 2, 4);

1, 4, 2, 3) соответственно при к — 1,2,3.

Следует отметить, что нелокальный вариант задачи С, из постановки которой при определенных значениях постоянных ак, /Зк, Хк, Як вытекут локальные варианты этой задачи, в общем случае при доказательстве теоремы существования и единственности решения вносит определенные трудности.

Третья глава посвящена исследованию краевых задач для уравнения (1), когда точка пересечения линий изменения типа и вырождения порядка 0(0, 0) находится внутри смешанной области.

Исследованы два варианта постановки краевой задачи, названной задачей А, которая на наш взгляд, является основной для уравнений класса (1). Изучен также нелокальный вариант задачи А.

Пусть —конечная односвязная область плоскости переменных х, у, ограниченная расположенными соответственно в первой и третьей четвертях, линиями Жордана и и а* с концами в точках А (1, 0), В (0, 1) и Л*(-1,0), В*{0,-1) и характеристиками В*А: х6> + (-у)62 = 1, А*В: (-х)61 +у62 = 1,'уравнения (1).

Пусть далее ОС: {-х)8> - у6* = 0- ОБ: х* - {-у)6* = 0, а А*0(0А),.

А* А—отрезки — 1<�ж<0(0<�ж<1), — 1 < ж < 1 прямой у = 0- В*0(0В), В* В—отрезки -1<�т/<0(0<�г/<1),-1<�г/<1 прямой х = 0.

Описанные выше области £7о, Г2ь 1² удобно обозначать символами Пои Пп,²¹ и в соответствии с этим принять обозначения Ооо>^нь ^20 Для симметричных им относительно начала координат областей.

Тогда будет объединением областей Г^о и к = 0,1,2, характеристик ОС, ОВ и отрезков прямых А* А, В*В.

В области О для уравнения (1) корректно поставлена краевая задача (задача А): найти функцию и (х, у) е С{ЩГ)С2{ПСОиА*АиВ*В), которая является регулярным в^л-ъ А- = 0,1,2 решением уравнения (1), на Л*0, О А, В*0, ОВ подчинена условиям склеивания.

Шоуаиу = ппо (-уГигл -1<х<1, И тУих= И т (-х)риХ1 -1 < у < 1, уф 0- а:-«+0 ж-*—0 на дугах сг, сг* и характеристиках В* В, С В удовлетворяет краевым условиям иа = ??(«), 0 < 8 < ?¦ иа* = 0 < 5 < ГЩв-б = Му), -1 < У < - Му), 2 <У< 1, где 5—параметр длины дуги, </?, (/?*, ?/>1, заданные достаточно гладкие функции, СВ — ОС и ОИ.

Схема исследования задачи, А такая же, как и для задачи О. Сначала, в обозначениях Гц (яг), О < X < 1, у х21(у), о < у < 1, кт|уг^ = (~1<�х<�л° шли= ~1<у<" .

У 1^п (^), 0 < Ж < 1,^О1 1 У21{у)л 0<у<1, выписывают решения задач Коши и Хольмгрена во всех 4- гиперболических и 2- эллиптических частях смешанной области, как это сделано в главе 1.

Затем, удовлетворяя решение заданным двум краевым условиям на характеристиках и требуя непрерывности решения на ОС и OD получаем четыре соотношения, связывающие восемь функций тщ, тц, т2о, 721 j^ю, v\, V2Q, «21? к которым присоединяют еще четыре соотношения, получаемые нахождением значений решений задач Хольмгрена в областях Qoo5^oi на отрезках А*0, О А, В*0, ОВ.

Таким образом, задача, А оказывается эквивалентной, в смысле разрешимости, системе восьми уравнений с восемью неизвестными функциями. В результате исключения тю, Гц, Т20, t2i последнюю систему удается свести к системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными 1/ю, fu, «20> «21 и исследование задачи, А завершается доказательством однозначной разрешимости этой системы.

В случае, когда сг и а* — дуги нормального контура х201 + y2S'2 = 1 эта система при 7 = 0 имеет вид (см. форм. (3.37) дисс.).

2щ + vi + kii/i + k2v2 = fi, 2i/2 + «з + &-1» з + &2″ 4 = /2,.

— i/2 + + kv2 = /3, -" 4 + &2″ 3 + A? ii/4 = /4- (14) где.

W*) = Vl (xll5% = «2l (^1/<52),.

2″ 3 = Vwi-X1^), SiP4 = «20(-Z1/?2);

II 1 .s2 1 Vi (s)ds я2—х2 1—s2x2 0 1 S2 • Vi (s)d fi2+X2 +Я2Х2 правые части Д, & = 1,2,3,4 зависят только от заданных в краевых условиях функций и, когда они равны нулю, тождественно обращаются в нуль.

При 0 < 2у < 1 задача, А сводится к системе.

Щ — + кАщ =^з, г/4 — к:]щ + = (15) где ?21/1 — ?1² — .т27−½²¹(^½″ 2), о = Л / (тй)12т ~ нЫ К5)^- + 8Ш7Г7) = С08 7Г7, а правые части А- = 1,2,3,4 также, как и в (14) обращаются в тождественные нули при нулевых краевых условиях (см. форм. (3.65)-(3.68) дисс.).

Доказательством однозначной разрешимости систем (14) и (15) заканчивается первый параграф третьей главы диссертации.

При доказательстве единственности решения задачи А, применен метод несколько отличный от ранее известных.

Во втором и третьих параграфах третьей главы доказана однозначная разрешимость задачи, А в ее простом и нелокальном вариантах постановок.

Простой вариант задачи, А заключается в том, что одно из краевых условий на частях характеристик уравнения заменяют условием на части характеристики другого семейства: или условие на В*И заменяют условием Щов = 0 < х < 2−1/'*1, оставляя условие на СВ или, наоборот, оставляя условие на В*И задают условие иос = Ф2(у),.

О <у<

Такая постановка задачи проще только тем, что единственность ее решения сразу вытекает из единственности решения задачи С? з, хотя доказательство существования решения, вернее доказательство фред-гольмовости эквивалентной ей системы интегральных уравнений, в силу ее несимметричности, в определенной степени труднее, чем в первом случае.

Нелокальный вариант задачи, А исследован только для случая 7 = 0. Следует отметить, что в нелокальном варианте задачи, А участвует 6 точек и число различных вариантов краевых условий достигает 17, в отличии от задачи С, где в краевых условиях участвуют 4 точки и имеется только 3 различных вариантов краевых условий.

По теме диссертации опубликованы пять работ [17−21].

Результаты работы доложены и обсуждены на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры математического анализа Даг-госпедуниверситета (рук.д.ф.м.н., профессор Шарапудинов И.И.), доложены на четвертой Северо-Кавказской региональной конференции «ФДУ и их приложения» (Махачкала, ДГУ, 1997 г.), на годичных научных сессиях преподавателей и сотрудников Даггоспедуниверситета в 2001 и в 2003 годах, на первой Международной научной конференции «ФДУ и их приложения» (Махачкала, ДГУ, 2003 г.).

•. Автор выражает искреннюю благодарность и признательность * -учным руководителям профессору, д.ф.-м.н. И. И. Шарапудинову, профессору, к.ф.-м.н. М. М. Зайнулабидову за постановку проблемы, поддержку и постоянное внимание.

1. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа. Труды ма-тем. ин-та АН СССР, т.41, 1953. — 58с.

2. Бицадзе A.B. Уравнение смешанного типа. Москва. Итоги науки 2. Физ-мат.науки, 1959. 164с.

3. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука. 1981. 448с.

4. Бицадзе A.B. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линий изменения типа. В кн.: Механика сплош. среды и родств. пробл. анализа. М.: 1972. С. 47 52.

5. Берс JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Издательство иностр. лит. 1961. 208с.

6. Веку, а Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука 1970. 379с.

7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640с.

8. Gellerstedt S. Sur un problem aux limites pour une eguation lineaire aux derivees partielles du seccond ordre de type mikte.- Thesis, Uppsala, 1935.

9. Darboux G. Theorie generale des surfaces. Paris, 1894, t.3.

10. Елеео В.A. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа // Диф. ур. Т.13, № 1, 1977. С.56−63.

11. Елеев В.A., Jlecee В. Н. Нелокальная краевая задача для уравнения параболо гиперболического типа с перпендикулярными линиями изменения типа .// Матем., моделирование и краевые задачи. Труды (межвузовской конференции). Самара: 2000, ч.З. — 62−64с.

12. Зайиулабидов М. М. О некоторых краевых задачах для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырожденияДиф. ур. Т.5, № 1, 1969. С.91−99.

13. Зайнулабидов М. М. Об одной краевой задаче для модельного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // ДАН СССР. Т.188,№ 5.1969. С.986−989.

14. Зайнулабидов М. М. Краевая задача для уравнений смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения. // Диф. ур. Т.6,1. 1970. С.99−108.

15. Зайнулабидов М. М. О задаче с нелокальными краевыми условиями, когда линия изменения типа смешанной области перпендикулярны // Диф. ур. Т. ЗО, № 5. 1994. С.832−837.

16. Зайнулабидов М. М. Об одном способе регуляризации сингулярных интегральных уравнений с ядрами Геллерстедта // ДАН Т.389, № 6. 2003. С.739−741.

17. Зайнулабидова З. М. О краевой задаче для уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа // Будущее науки: методология и образовательные технологии (естественные науки). ДГПУ.Вып.6, ч. 2. 2001. С.33−34.

18. Зайнулабидова З. М. О краевой задаче для уравнений порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа // Диф. ур. Т.40, № 8. 2004. С. 1−5.

19. Зайнулабидова З. М. Основная краевая задача для уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа // Интеграция науки и образования, важнейший фактор развития высшей школы. ДГПУ 2003. Вып.8, ч.2. С. 35−36.

20. Зайнулабидова З. М. О краевой задаче со смешением для уравнения, порядок которого вырождается вдоль перпендикулярныхлиний изменения типа // Доклады Адыгейской международной Академии наук. Т.6, № 2. 2003. С.53−54.

21. Крикунов Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Изд-во Казанского университета. 198G.- 148с.

22. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 511с.

23. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. Изд-во Московского университета. 1988. 150с.

24. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии.М.: Высшая школа, 1995. 301с.

25. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: изд-во КБНЦ РАН. 2000. 299с.

26. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик, 1992. 155с.

27. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Диф. ур.Т.5, № 1. 1969. С.44−59.

28. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно составного типа. Ташкент.: ФАН. 1974. — 156с.

29. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высшая школа, 1991. 207с.

30. Смирнов М. М Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304с.

31. Saigo М. A certain boundary value problem for the Enler Darboux equation// Math Iaponica, 1979. Vol. 24, l-p.377−385.

32. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа (пер. с италь-янс. Ф.И. Франкля) M. JL: Гостехиздат. 1947. 192с.

33. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных М.:ил, 1957. 443с.

34. Фрапклъ Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, • 1973. 711с.

35. Holmgren Е. Sur un probleme aux limites pour l’equation ymzxx + zyy = 0 -Arkivf.M.A.O.F., 19B, 1927, t. l4,pl-3.

36. Чаплыгин С. A. О газовых струях. Диссертация. M.: 1902.

37. Чаплыгин С. А. О газовых струях. М.Л.: Собр. соч.Т.2.: АН СССР, 1933. 64−67с.