Потребности практики привели к необходимости изучения некорректно поставленных задачтем самым была опровергнута высказанная в начале XX века Ж. Адамаром гипотеза о нефизичности некорректных задач. Часто абстрактной моделью этих задач служит линейное операторное уравнение.
Ах = у (0.1) с непрерывным оператором А, действующим между гильбертовыми пространствами X и Y, для которого нарушены условия существования и единственности решения.
По уравнению (1) требуется найти нормальное псевдорешение х* (или псевдорешение нормальное относительно заданного элемента xq € X) из множества всех псевдорешений уравнения (1):
ХА = {хеХ:\Ах-у\ = Ы \Аи-у\}. иЕХ.
Если А+ - псевдообратный к оператору А, то нормальное псевдорешение уравнения (1) А+у, (0.2) а нормальное относительно xq пссвдорешение.
Ж* = X* + PN (A)X о, где Pn (a) ~ ортопроектор на ядро N (A) оператора А. Поэтому задачу отыскания нормальных нсевдорешений уравнения (1) называют задачей псевдообращения.
Известно, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации А. Н. Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (2) семейством, а > 0, экстремалей функционала.
Фа (х) = \Ах-у\2 + а\х\2. (0.3).
Теория и методы решения некорректно поставленных задач нашли отражение в известных монографиях А. Н. Тихонова и В. Я. Арсепина [39], В. К. Иванова, В. В. Васина и В. П. Тананы [23], М. М. Лаврентьева [27J, Ф. П. Васильева [17], Г. М. Вайникко и А. Ю. Веретенпикова [16],.
А.Б.Бакушинского и А. В. Гончарского [8], В. В. Васина и А. Л. Агеева [19] и многих других.
Начиная с 1970 года, стали исследовать практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), когда решение уравнения подчинено дополнительным линейным связям в виде линейного операторного уравнения.
Вх = (0.4) где В — непрерывный оператор с нетривиальным ядром N (B), действующий между гильбертовыми пространствами X и Z. По уравнениям (1) и (4) требуется найти ближайший к заданному элементу хо? X элемент ж* (при жо = 0 — элемент а-*), принадлежащий множеству всех связанных псевдорешений уравнения (1):
Хл = {х е Хх: \Ах — у\ = inf \Аи — </||}, (0.5) ueXi где Xi = {х G X: ||Вх — z\ = inf ||Ви — z\}. uGX.
Задача нахождения нормального и нормального относительно жо, связанных псевдорсшений х* и ж* называется задачей связанного псевдообращения. Для простоты эту задачу будем называть основной задачей, а ж* и х* соответственно решением и нормальным решением основной задачи.
При xq = 0 основная задача поставлена независимо в работах N. Minamide, К. Nakamura [52] и В. А. Морозова, Н. Н. Кирсановой [32]. Японские математики ввели понятие суженного псевдообратного оператора и записали точный вид нормального решения х* основной задачи: x* = B+z + (APN{B))+(y-AB+z), где Pn (b) ~ ортопроектор на ядро оператора В.
В.А.Морозов, заменив в функционале А. Н. Тихонова (3) стабилизирующую часть на \Вх — z||2, показал, что семейство экстремалей этого одпопараметрического функционала является регуляризирующим алгоритмом решения основной задачи.
В дальнейшем этот вариационный однопараметрический метод регуляризации и его операторный аналог рассматривались в работах других авторов [28], [22], [2], [48], [47], [50], но во всех этих работах, в том числе и В. А. Морозова [31], предполагается, что операторы, А и В обладают так называемым свойством дополнительности:
37 > 0: \Ах\2 + ||Бж||2 > 72||ж||2 Vz е X, (0.6) из которого в частности следует, что множество Ха одноэлементно.
При условии дополнительности (6) характер неустойчивости основной задачи подобен свойству неустойчивости задачи псевдообращения уравнения (1), когда образ оператора, А замкнут. Поэтому важно было освободиться от предположения (6) и рассмотреть основную задачу в существенно некорректном случае. Это сделано в работах Р. А. Шафиева [41], [42] (см. также его монографию [43]).
Р.А.Шафиев предложил регуляризирующий алгоритм решения задачи (5), основанный на построении экстремалей двупараметрического функционала.
Фга (ж) = r\Bx — z||2 + \Ах — у\2 + а||я||2, г, а > 0.
Этот вариационный метод регуляризации исследовали также его ученики М. Я. Кугель [26] и И. Ю. Ястребова [46].
Основная задача, когда заданный элемент xq ф 0, впервые рассмотрена в диссертационной работе Е. В. Архарова [5]. Двупараметрические методы регуляризации основной задачи в [5] построены путем применения известных итерационных методов к решению параметрического операторного уравнения rr*(i>-?r)=:o, г>о,.
0.7) где.
Гг = y/fB, А rz У eG.
В данной диссертационной работе этот способ построения двупараметрических методов регуляризации основной задачи не только нашел применение, но и получил дальнейшее развитие.
В диссертации к уравнению (7) применяется нестационарный метод решения — метод задачи Коши [20]: + Г*Ггхт = Ггдг, 0 < +оо, г > 0, ?r (0) — Xq.
0.8).
Построенный метод решения основной задачи называется методом установления или методом задачи Коши. Он также двупараметрическийпараметрами являются г и аргумент t.
Заметим, что явная и неявная схемы конечноразностной аппроксимации дифференциального уравнения (8) приводят к итерационным методам, рассмотренным в [5].
Для вывода нестационарных методов регуляризации основной задачи другого вида в диссертации используется алгоритм А. Н. Тихонова решения уравнения (7): -дг) = 0. (0.9).
К этому уравнению применяется непрерывный метод регуляризации Я. И. Альбера [3]: «(')"(*) + rryrr (t)"(f) — дт) = 0, (оло) u (t0) = Щ, t > to, где роль параметров регуляризации выполняют положительные функции a (t), r (t), определенные при t > to, щ — произвольный элемент из X.
Применяя к уравнению (9) метод тяжелого шарика [9], получаем следующий вариант регуляризованнного метода тяжелого шарика: + ^ + (3(t) [a (t)u (t) + rr{t)(Tr{t)u (t) — gr{t)) и (*о) = u0i и’Ы = и’о, t> to,.
0.11) где ц > 0, а /3(?) — положительная функция, определенная при t > to, а щ, и’о — произвольные элементы.
Задача Коши (10) называется непрерывным методом регуляризации основной задачи первого порядка, а задача Коши (11) непрерывным методом регуляризации второго порядка (по порядку дифференциальных уравнений).
В каждом из методов (8), (10), (И) нормальное решение (просто решение в методе (8)) основной задачи ищется как предел решения соответствующей задачи Коши при стремлении аргумента к бесконечности.
Различие методов (10), (11) и метода (8) прежде всего в том, что в первом случае мы имеем дело с одним дифференциальным уравнением, а во втором — с семейством дифференциальных уравнений, зависящим от параметра г. Поэтому в методе (8) регуляризованные решения основной задачи находятся при различных фиксированных значениях г, каждый раз путем полного решения задачи Коши.
В методах (10), (И) вопрос сводится к нахождению решения соответствующей задачи Коши для достаточно большого значения аргумента t. Ясно, что для этого можно воспользоваться хорошо разработанным аппаратом численного интегрирования дифференциальных уравнений. Кроме того, конечноразностная аппроксимация непрерывных методов (10), (11) приводит к новым более эффективным итерационным методам (см. работы И. П. Рязанцевой и ее учеников [34], [36], [15]). Что касается непрерывных методов первого и второго порядков для решения задач минимизации, то в работе [4] предпочтение отдается методам второго порядка.
Таким образом, исследование построенных нестационарных методов решения основной задачи представляет интерес.
В первой главе диссертации приводятся известные результаты из теории псевдообратных операторов и теории некорректных уравнений (пункт 1.1 и пункт 1.2), которые используются для вывода аппроксимирующей задачи и установления ее связи с уравнениями (7) и (9) (пункт 1.3). Кроме того в пункте 1.3 устанавливаются нужные в дальнейшем оценки для регуляризованных решений основной задачи.
Вторая глава посвящена исследованию метода установления (8). При условии разрешимости основной задачи и выполнении условия в пункте II. 1 рассматривается сходимость метода при точных данных, а в пункте II.2 — когда данные задачи известны приближенно:
At-A\<�т, \zs-z\<6. (0.13).
В основной теореме (теорема II.2.3) установлена сходимость решения xr (t) возмущенной задачи Коши (8) к ж*: \xr (t) — х*|| 0, если параметры регуляризации удовлетворяют условиям.
А*(Ах*-у) eD{B*+).
0.12) t ->• +оо, г -" +оо,—> О,.
0.14) г и при h, I, 8, т 0 выполнены условия согласования rt (82 + h) 0, t (r2 + l)-> 0.
0.15).
Если начальная погрешность ж0 — х* лежит в образе оператора Г*, то удается оценить ||жг (0 — ж*||.
По этой оценке предложен вариант априорного выбора параметров регуляризации, основанный на принципе минимума мажорантных оценок. При выборе г=(т + 1с)~р,? = ^(т + /с)~ з получена асимптотическая оценка погрешности: lim——г- < const, r + /c)§-3 ~ где | < р < с > ||х*||, q — константа, которая выражается через данные задачи и величину К = (5 + hc)/(rf lc)1+p.
В пункте II.3 к предыдущим условиям добавляется предположение, что операторы, А и В обобщенно дополнительные, т. е. неравенство (6) выполняется при всех х Е {N (A) П М (В))1.
Интересно отметить, что условие обобщенной дополнительности операторов А, В является необходимым и достаточным условием того, что образ оператора Г* замкнут, и, следовательно, совпадает с подпространством N (Г)1. Таким образом, при выполнении этого условия начальная погрешность — ж* лежит в образе оператора Г*.
Установлено (теорема II.3.6, следствие II.3.7), что если возмущенные операторы из (13) принадлежат классу устойчивого вычисления псевдообратиого оператора Г+, то сходимость ||жг — 0 имеет место при t +оо, г +00 и у/г5 + rh 0 (сравни с (14), (15)), и при этом получена оценка погрешности метода.
В последующих главах основная задача рассматривается в случае, когда хо = 0, т. е. ищется нормальное решение задачи.
В третьей главе исследуется непрерывный метод регуляризации первого порядка (10). Исследование непрерывных методов базируется на некоторых линейных дифференциальных неравенствах, формулировка которых приводится в пункте III. 1. Кроме того, в пункте III. 1. устанавливаются теоремы существования и единственности решения задач Коши (10), (11), и их возмущенных вариантов на полуоси +оо).
В пункте III.2 предполагается, что основная задача разрешима и выполнены условие (12) и х* € Д (Г*). Установлено (теорема III.2.3), что решение u (t) задачи Коши (10) при любом щ стабилизируется к х*, если a (t), r (t) удовлетворяют условиям: lim a (t) = 0, lim r (t) = +00, lim (a (i)r (t)) = 0, (0.16) t->+00 v y t—^+00 x ' t^+00 v w wy v ' t f lim J a (t)dt = +00, (0.17) to lim Ц^ = 0, lim ЦЦ1 = const. 0.18.
В отличие от (13) в пункте III.2 приближенные данные основной задачи, удовлетворяют неравенствам:
A (t)-A\ to..
В случае, когда известны приближенные данные основной задачи, доказано (теорема III.2.4), что решение v (t) возмущенной задачи Коши (10) при любом щ стабилизируется к х*, если помимо условий (16) — (18), выполняются условия согласования: lim 44(ОД + ОД) = lim = о. (0.20) f-«+00 a (t) / t->+00 a (t) v.
В качестве параметров метода (10) и уровней возмущений (19), удовлетворяющих условиям (16) — (18) и (20), можно, например, взять функции: к > о, ф) = i r (t) = f, од — ад = i /(О = 1/(0 = i (0.21) где положительные числа а, г, /г, I удовлетворяют соотношениям: о- < -, г — — 2а+1, /г>о- + г = 1 —а, / > си. 3.
В пункте III.3 предполагается, что операторы А, В обобщенно дополнительные и основная задача имеет решение..
В этом случае (теорема III.3.2) сходимость метода (10) имеет место, если выполнены условия (16) без последнего предельного соотношения, условие (17), а вместо (18) — соотношения lim |a'mi=0, limtM = 0..
-> + 00 1 ?-> + 00 wV (t).
Если к условиям сходимости добавить условия согласования (20), то в этих условиях имеет место устойчивость метода (теорема III.3.4)..
В этом случае набор функций (21) должен удовлетворять соотношениям: 0 < а < 1, 0 a + r, I > а..
При дополнительных условиях на возмущенные данные условие согласования (20) ослабляется: lim r{t)(h (t) + 6(t)) = О,.
->+oo и, значит, в (21) достаточно взять h > г, I > 0..
В пункте III.3 показано также, что если операторы А, В дополнительные, т. е. удовлетворяют условию (6), то в методе (10) можно положить a (t) = 0 и рассмотреть однопараметрический непрерывный метод регуляризации первого порядка..
Сходимость этого метода (теорема III.3.3) имеет место, если ir’mi lim r (t) = +оо, lim = О,.
-> + 00 ?-4 + 00 Wr (t) устойчивость (теорема III.3.8) — если lim r{t){h{t) + 5{t)) = 0..
->+oo.
В четвертой главе рассматривается непрерывный метод регуляризации второго порядка (11). Исследование этого метода использует технику исследования, предложенную в книге Ф. П. Васильева [17]..
В задаче Коши (И) коэффициенты дифференциального уравнения замораживаются в точке t = г, и рассматривается зависящее от г > to семейство задач Коши, дифференциальные уравнения которых имеют постоянные коэффициенты. Предполагается, что решение u (t, г) этого вспомогательного семейства задач Коши ограничено по совокупности (t, T)..
В пункте IV.1 найдены условия на коэффициенты a (t), r (t), j3(t) и уровни возмущений l (t), h (t), 6(t), v (t) из (19), при которых ||и (т, г) — хга (т)|| 0, г +оо (лемма IV.1.1), и ||w® — ->¦ 0, г +оо, где v (t) — решение возмущенной задачи Коши (11) (теорема IV.1.2)..
Эти условия такого же типа, что и приведенные в случае метода первого порядка условия (16)-(18), (20), но несколько более сложные, и мы их здесь не выписываем. Отметим, что подобно (21) приводится система функций, на которых эти условия реализуются..
В пункте IV.2 те же вопросы исследованы в предположении, что операторы А, В обобщенно дополнительные..
Если операторы, А и В дополнительные, то в методе (11) можно положить a (t) = 0. В теореме IV.2.5 приводятся условия устойчивости этого однопараметрического непрерывного метода регуляризации второго порядка..
Отметим, что для частного случая основной задачи: В = 0, z — 0, т. е. для задачи псевдообращения, из установленных в диссертации теорем об устойчивости методов (8), (10), (И) выводятся следствия, которые для методов, аналогичных методам (8), (10), соответствуют известным результатам, а результат следствия в случае метода, аналогичного методу (11), по-видимому новый..
В V главе рассмотрены задачи оптимального управления, абстрактной моделью которых служит основная задачи. Приводится краткая схема сведения этих задач к основной задаче, и для построения оптимального управления применяются методы решения основной задачи: метод установления и непрерывный метод первого порядка..
Рассматриваются иллюстративные примеры,.
В диссертации принята следующая система нумерации. Формулы в работе занумерованы двумя числами, разделенными точкой. Первое число в номере формулы — помер параграфа, в котором приводится данная формула, второе — номер формулы в параграфе. Во введении номер формул начинается с нуля. При ссылке на формулы внутри параграфа указывается только ее номер в данном параграфепри ссылке на формулы в другом параграфе этой главы указываются оба числа в ее номере. Если же на формулы ссылаемся в другой главе, то перед номером формулы добавляется номер главы, в которой приводится эта формула. Нумерация определений, теорем, следствий, лемм и замечаний единая в параграфе и состоит из двух чисел, разделенных точкой. Первое число — номер параграфа, в котором сформулировано предложение, второе — номер предложения в параграфе. Ссылки на предложения осуществляются также, как и на формулы..
В совместных работах [10, 11], выполненных в соавторстве с Р. А. Шафиевым, личным вкладом диссертанта являются формулировки и доказательства теорем. Р. А. Шафиеву принадлежат постановки задач и общее руководство. Все утверждения, леммы и теоремы, приведенные в диссертациии и опубликованные в совместных статьях [1, 2, 3], сформулированы и доказаны Е. А. Бондарь. И. Ю. Ястребова осуществляла консультации по вопросам, связанным с теорией псевдообратных операторов и теорией некорректных задач..
Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят существенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Они опубликованы в [10] - [14] и докладывались на Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (г. Екатеринбург, 2004 г.), на научном семинаре кафедры высшей математики и теоретической механики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии (2006г.), на научном семинаре НИВЦ Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (руководитель — проф. В.А. Морозов) (2007г.), на научном семинаре «Математическая теория оптимального управления» Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (руководителипроф. В. И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2007г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель — проф. И.П. Рязанцева) (2007г.), на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (2002 — 2007 г. г.), на научных семинарах кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (2002 — 2007 г. г.)..
I. Вывод операторных методов регуляризации.
В данной главе закладываются основы построения нестационарных методов регуляризации задачи связанного псевдообращения. С этой целыо в пункте 1.3 выводятся однопараметрическое и двупараметрическое семейства операторных уравнений, определяющие соответствующие стационарные регуляризирующие алгоритмы. Для вывода этих семейств операторных уравнений используются некоторые понятия и предложения теории псевдообращения операторов и теории связанного псевдообращения операторов, приведенные соответственно в пунктах 1.1 и 1.2..
Заключение.
Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты, выносимые на защиту..
1. Предложен способ построения нестационарных методов решения задачи связанного псевдообращения ограниченных операторов в гильбертовых пространствах, базирующийся на операторном методе регуляризации аппроксимирующей задачи..
2. Построен метод установления и доказана стабилизация решений однопараметрического семейства задач Коши для дифференциальных уравнений первого порядка к решению задачи связанного псевдообращения как при точных, так и при возмущенных входных данных. Найдена оценка погрешности метода установления, и на основе принципа минимума мажорантных оценок решена проблема априорного выбора параметров регуляризации..
3. Построен непрерывный метод регуляризации первого порядка и установлена стабилизация решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка к нормальному решению задачи связанного псевдообращения при точных и возмущенных входных данных..
4. Построен регуляризованный метод тяжелого шарика, представляющий собой задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Найдены условия на коэффициенты дифференциального уравнения, при которых решение возмущенной задачи Коши стабилизируется к нормальному решению задачи связанного псевдообращения. Указана система функций, удовлетворяющих этим условиям..
5. Найдены задачи оптимального управления, к решению которых применены построенные методы регуляризации..
