Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Численное исследование математических моделей оптимального измерения

Диссертация: Численное исследование математических моделей оптимального измерения
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

С развитием математической теории разрабатываются и совершенствуются численные методы решения задач, в том числе и во многих направлениях прикладных исследований,. Первые результаты ио численным методам решения задачи Коши для систем леонтьевского типа были получены в работах Г. А. Свиридюка и C.B. Брычева, по численным решениям задачи оптимального управления для систем леонтьевского тина… Читать ещё >

Содержание

  • Обозначения и соглашения
  • 1. Предварительные сведения
    • 1. 1. Относительно р-ограниченные операторы
    • 1. 2. Относительно р-радиальные операторы
    • 1. 3. Относительно р-регулярные матрицы
    • 1. 4. Задача Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа
    • 1. 5. Задача жесткого управления для систем леонтьевского типа
  • 2. Математические модели динамических измерений
    • 2. 1. Математическая модель измерительного устройства
    • 2. 2. Численные исследования модели измерительного устройства
    • 2. 3. Устойчивость модели измерительного устройства
    • 2. 4. Модель оптимального измерения с учетом инерционности
    • 2. 5. Модель оптимального измерения покупательского поведения
  • 3. Численный метод и алгоритм программы решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности измерительного устройства
    • 3. 1. Алгоритм численного метода решения задачи оптимального измерения
    • 3. 2. Сходимость приближенных решений задачи оптимального измерения
    • 3. 3. Описание программы «Optimal measuring problem»
    • 3. 4. Результаты вычислительного эксперимента

Численное исследование математических моделей оптимального измерения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Постановка задачи.

Пусть Ь и М — квадратные матрицы порядка п, причем, быть может, = 0, матрица М — (Ь, р)-регулярна, р Е {0} и N [115], и: [0, т] —> М? г. Рассмотрим систему уравнений, описывающую измерительное устройство (ИУ) [86].

Ьх = Мх + Ви, (0.1.1) где х = (ж1,., хп) и х = (±1,., хп) — вектор-функции состояния и скорости изменения состояния ИУ соответственноЬ и М — матрицы, представляющие собой взаимовлияние скоростей состояния и состояния ИУ соответственнои — (щ,., ип) — вектор-функция измеренийп — число параметров состояний системыВ — квадратная матрица порядка п, характеризующая взаимовлияние параметров измерения.

Одной из основных задач теории динамических измерений является задача восстановления измеряемого сигнала и = и (£) по наблюдаемому у = у (Ь) [18], [20], [26]. Эффективность применяемых методов решения данной задачи основывается на оценке близости значений сигнала на выходе от датчика и модели датчика, т.к. в этом случае значения на входе также будут мало различаться, при этом имеет место соотношение между значениями наблюдаемого сигнала и состоянием ИУ.

У = Сх, 6 где у = (у1,., уп) ~ вектор-функция наблюденийС — квадратная матрицы порядка п, характеризующая связь между состоянием системы и наблюдением.

Зафиксируем т 6 и введем в рассмотрение пространство состояний х — ^ ½ ((0, г), Еп): х? ((0, т), М? г)}, пространство измерений 11={ие ((0, г), М71): € Ь2 ((0, г), К")} и пространство наблюдений — Сх}- Отметим, что не всегда 2) = X) н0 всегда 2} изоморфно некоторому подпространству в х-Выделим в И компактное выпуклое подмножество — множество допустимых измерений. В качестве допустимых измерений рассматриваются такие, что р+1 т.

Е [ ||"(«м n J 2 dt < d, q=Q 0 где d — const — предельно допустимое значение вектор-функции измерений. Поставим задачу оптимального измерения с учетом инерционности ИУ: требуется найти вектор-функцию г» 6 Да, минимизирующую значение функционала.

1 Т.

J{u) =? / \Cx®(u, t) -^?V (0.1.2) q=o{ т. е.

J{v) = min J {и), (0.1.3) ueila причем x (v) 6 x почти всюду на (0, т) удовлетворяет системе (0.1.1) и при некоторых х0 € М&trade-, а 6 рь (М) — условию Шоуолтера-Сидорова [58].

1 п р+1 аЬ — М) Ь (я (0) — х0) = 0, (0.1.4) здесь г/о (?) = (ЗАп^)" • • • > УоЛ^)) ~ наблюдение, полученное в ходе натурного эксперимента, т. е. снятое с ИУ в некоторые моменты времени ?, || ¦ || - евклидова норма пространства Мп.

Задача оптимального измерения (0.1.1)—(0.1.4) является математической моделью задачи восстановления динамически искаженного сигнала [124]. Заметим, что рассматриваемый подход к задаче восстановления входящего сигнала с использованием методов теории оптимального управления учитывает требование близости не только значений сигнала на выходе от датчика и модели датчика, но и скоростей изменения этих значений.

Целью работы является разработка численного метода и алгоритма программы для решения задач оптимального измерения с учетом инерционности на основе математических моделей динамических систем.

Для достижения данной цели в диссертационной работе были поставлены следующие задачи:

1. Численное исследование математической модели ИУ с учетом его инерционности как модели леонтьевского типа.

2. Разработка численного метода решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ, доказательство сходимости приближенных решений к точному.

3. Программная реализация предложенного алгоритма решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ, проведение вычислительного эксперимента.

4. Построение математической модели задачи изучения покупательского поведения на основе задачи оптимального измерения, адаптация численного алгоритма к решению задачи оптимального измерения покупательского поведения.

Методы исследования.

В работе используются методы математического моделирования, теории динамических измерений, теории вырожденных (полу)групп и оптимального управления для уравнений соболевского типа, численный метод решения задачи жесткого управления для систем леон-тьевского типа.

В теории динамических измерений можно выделить два подхода к решению задачи восстановления динамически искаженного сигнала. В одном случае определяются динамические характеристики для выбора средств измерений и оценка погрешности измерений с целью определения их влияния на искажение сигнала [18], [20], [38], [102] и решаются вопросы управления динамическими системами [95]. В другом случае, посредством изменения структуры модели измерительного устройства или применения различных режимов ее исследования [5], [26], [67], добиваются близости значений исходящих сигналов модели и датчика, а затем определяют значение входящего сигнала модели, близкое к значению входящего сигнала датчика.

Впервые в измерительных системах А. Л. Шестаковым [84] при решении задачи восстановления динамически искаженного сигнала в качестве динамической модели ИУ было предложено рассматривать систему х = Ах + Вй,.

0.2.1).

У = Сх, где х — col (х i,., хп) их = col (х,., хп) — вектор-функции состояния и скорости изменения состояния ИУ соответственно, причем ж (0) = со/(0,., 0) — u = col (щ,., um) и у = col (уг,., y?) -вектор-функции входного (измеряемого) и выходного (наблюдаемого) сигналов соответственноматрицы ИУ А, датчика В и выхода С размерности соответственно [n х n], [п х m], [I х п].

Представимость (0.2.1) в виде модели леонтьевского типа [86].

Lz = Mz + D% (0.2.2) i 1Р+1 aL — M) L (¿-(О) — г0) = 0, (0.2.3) где z = (xi,., xn, yi,., yi), u = (ub., um, 0,., 0), матрицы L, M и D строятся по А, В и С, позволила для исследования математической модели ИУ применить результаты численного исследования задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа [116], [118], [123]. Поскольку (0.2.2) является частным, конечномерным случаем линейного неоднородного уравнения соболевского типа.

Lx = Mx + f, (0.2.3) в банаховых пространствах X и гДе операторы L G С (Х, М ЕС1(Х,$), f — некоторая вектор-функция [60], то в основе исследования как математической модели ИУ, так и задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ лежат методы теории вырожденных (нолу)групп, разработанной Г. А. Свиридюком [112] и активно развиваемой его учениками [21], [28], [32], [37], [71], [72], [46], [59]. Заметим, что работы по исследованию уравнения вида (0.2.3) проводятся как в России [19], [53], [64], [65], [66], [73], [99] так и за рубежом [91], [92], [93], [94], [96], [97], [100], [101], вследствие широкого практического его приложения [3], [27], [68], [31], [109], [121].

Предпосылкой для представленного исследования, стала работа A.JI. Шестакова и Г. А. Свиридюка, в которой впервые была сформулирована задача определения входа динамических систем как задача оптимального управления уравнениями леонтьевского типа [87]. Что же касается применения методов теории оптимального управления для уравнений соболевского типа, то впервые в работах Г. А. Свиридюка и A.A. Ефремова была рассмотрена задача оптимального управления для уравнения (0.2.3) с начальным условием Коши ж (0) = х0 (0.2.4) в гильбертовых пространствах [23], [55]. Дальнейшее развитие данное направление исследований получило в работах Н. А. Манако-вой [47], [46], В. Е. Федорова, М. В. Плехановой [74]. В. Е. Федоров и О. А. Рузакова рассмотрели вопросы управляемости уравнениями соболевского типа [50]. В [49] доказано существование единственного решения в гильбертовых пространствах задач стартового, жесткого, стартового жесткого управления для уравнений соболевского тина с начальным условием Шоуолтера-Сидорова.

Начальная задача.

L (x (0) — жо) — 0, (0.2.5) для (0.2.3) была поставлена и изучена независимо друг от друга Р. Е. Шоуолтером [107], [108] и Н. А. Сидоровым [61], [62], [63], поэтому была названа задачей Шоуолтпера — Сидорова [54], [58]. Отметим, что постановка задачи Шоуолтера-Сидорова является значимой, т.к. позволяет исследовать модели без дополнительных ограничений на начальные условия и размерность исходных данных.

С развитием математической теории разрабатываются и совершенствуются численные методы решения задач [70], [98], [102], [110], в том числе и во многих направлениях прикладных исследований [27], [51], [52]. Первые результаты ио численным методам решения задачи Коши для систем леонтьевского типа были получены в работах Г. А. Свиридюка и C.B. Брычева [8], [56], по численным решениям задачи оптимального управления для систем леонтьевского тина с начальным условием (0.2.4) — в работах Г. А. Свиридюка и И. В. Бурлачко [13], [57]. В основе численного метода исследования математической модели ИУ и решения задач оптимального измерения с учетом инерционности лежат алгоритмы численного решения систем леонтьевского типа и класса задач оптимального управления для систем леонтьевского типа с начальными условиями Шоуолтера, — Сидорова, разработанные А. В. Келлер [29], [30].

Так, поиск измерения осуществляется в виде вектор-функции многочленов что позволяет выразить вектор-функцию состояний ИУ, а значит, и функционал качества задачи оптимального измерения, через коэффициенты г = 1, п, ] — 0,1 многочленов и дает возможность применить алгоритмы минимизации функции нескольких переменных относительно данных коэффициентов при поиске наименьшего значения функционала качества [121]. Кроме того, представление (0.2.6) обеспечивает плотность множества многочленов в пространстве измерений и сходимость приближенных решений к точному.

Актуальность темы

диссертации.

Динамические измерения, в общем случае, это измерение величин быстро меняющихся с течением времени. Повышение требований, предъявляемых к качеству измерений в различных сферах практической и научной деятельности (метрологии [84], энергетике [22], геофизике [35] и др.), определяет необходимость развития математического аппарата для решения основных задач динамики при измерениях, не зависящих от физической природы измеряемых величин.

Первоначально теория динамических измерений возникла и развивалась в рамках теории некорректных задач, впоследствии, уже в теории автоматического управления (ТАУ), стали появляться новые методы решения задач динамических измерений. Структурное.

0.2.6) отличие систем автоматического управления от измерительных систем состоит в том, что последние имеют на входе первичный преобразователь (датчик), входной сигнал которого недоступен ни для непосредственного измерения, ни для коррекции. Измерительные системы, в целом, не содержат возможности охватить себя обратными связями с выхода на вход. Поэтому невозможно непосредственное использование результатов модального управления (управление, при котором достигается требуемый характер переходных процессов за счет обеспечения необходимого расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости) и других методов ТАУ в измерительных системах, но возможно создать специфические структуры корректирующих устройств, в которых идея модального управления может быть реализована. К такому виду относится измерительная система с модальным управлением динамическими характеристиками на основе модели датчика, предложенная профессором А. Л. Шестаковым [84] и исследуемая его учениками [5], [25], [67], [85]. Разработанные методы позволяют находить измеряемый сигнал по наблюдаемому (применение скользящего режима, адаптация параметров измерительной системы и т. д.), однако, решают с математической точки зрения некорректную задачу.

Методы теории динамических измерений нашли применение и в экономической кибернетике при построении динамических моделей экономических систем [78]. В этом случае ставится прямая задача, состоящая в определении выхода по известному входу системы при наличии обратных связей. Предлагаемая в диссертационной работе математическая модель задачи оценки покупательского и потребительского поведения решает ранее не рассматривавшуюся обратную задачу: по задаваемым плановым показателям необходимо оценить, какое количество покупателей различных сегментов требуется привлечь в экономическую систему.

В работах С. А. Аникина [1], [2] рассматриваются задачи идентификации входов динамических систем на основе методов регуляризации и оценивается погрешность применяемых методов. Однако, основополагающим является требование невырожденности матриц при производных, что существенно сужает круг рассматриваемых задач. Отличие представленной работы состоит в том, что разработанные методы решения могут быть применены также в случае вырожденности матрицы при производной.

В работах А. В. Ильина, С. К. Коровина и В. В. Фомичева [24] решаются вопросы робастного обращения динамических систем (устойчивость алгоритмов обращения к различным факторам неопределенности: погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических возмущений, неидеальностям в работе элементов системы обращения (например, релейных элементов) и т. д.). Методы исследования связаны с приведением систем к специальным каноническим видам (с выделением нулевой динамики). При этом на начальных этапах решения определяются точки спектра матриц, что в общем случае является сложной математической задачей. В данной работе предлагается метод, не требующий нахождения точек спектра, что повышает точность решения поставленных задач.

А. Л. Шестаковым и Г. А. Свиридюком был предложен новый подход к восстановлению динамически искаженных средствами измерения сигналов [86], согласно которому система (0.2.1) записывается в виде системы уравнений леоитьевского типа с условиями Шоуолтера-Сидорова. Тогда, применяя методы теории вырожденных (полу)груип, возможно найти наблюдение по входному сигналу. Основываясь на этом подходе и алгоритме решения задачи Шоуолтера-Сидорова. для систем леоитьевского типа, разработанного А. В. Келлер [29], в диссертационной работе была решена задача определения влияния рассматриваемой модели на сигнал: степень искажения и запаздывания исходящего сигнала.

В настоящее время активно развиваются численные методы решения как начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, так и задач оптимального управления для этих систем. В этом направлении исследований отметим работы Ю. Е. Бояринцева [6], В. Ф. Чистякова [80], [81], М. В. Булатова [9], [10], [11], А. А. Щегловой [88], [89], [90]. В монографии Ю. Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [7] изучаются алгебро-диффе-ренциальные неоднородные системы вида (0.2.3) с прямоугольной или вырожденной при всех? Е [0, X1] матрицей Ь (Ь). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для (0.2.3) с регулярной и сингулярной парой постоянных (т х п)-матриц Ь и.

М. В работах В. Ф. Чистякова [79], [82], [83], посвященых исследованию решений задачи.

Щх = /(х,$, х (Ь0)=х0 (0.3.2) отмечено, что задача (0.3.2) имеет решения не для любого начального вектора жо, вследствие чего вводится понятие допустимого для системы (0.3.2) начального условия жо и критерий «ранг-степень» (ненулевой многочлен 6еЬ (ХЬ — М) удовлетворяет критерию «ранг-степень», если степень многочлена равна рангу матрицы Ь). На основе этого доказываются теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (0.3.2) и задачи Коши для системы (0.2.3) в предположении, что индекс пучка матриц не превышает двух.

Г. А. Куриной и X. А. Овезовым рассмотрена оптимизация квадратичного критерия качества [39] т о на траекториях дескрипторной системы.

А + = С{Ь)х (Ь) + £(*М£), х{0) = х°.

СЬб.

Для решения данной задачи используется прямая схема метода пограничных функций, которая заключается в подстановке в условиях задачи постулируемого асимптотического разложения и построении серии задач оптимального управления.

В работе [40] Г. А. Куриной приведены достаточные условия существования ограниченного обратного оператора для линейного оператора, появляющегося в теории оптимального управления линейными системами в гильбертовом пространстве. Обратимость исследуемого оператора используется для доказательства однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи, возникающей из условий оптимальности управления. Схожая проблема рассматривается в статье [41], [42].

В [103], [104] P.C. Muller рассматривает дескрипторную линейную систему уравнений.

Ex (t) = Ax (t) + Bu{t) y (t) = Cx (t) + Du{t) где x — вектор размерности n, и — n-мерный вектор управления, у — вектор наблюдения размерности т. Матрицы Е, А размерности п х п, а матрицы В, С, D имеют размерность пхг, тхпптхг соответственно. Основное свойство системы заключается в том, что гапкЕ < п.

Для данной системы уравнений определен функционал качества.

•ч о гТ г- -1.

X QZ X dt — min и ZTR и и где.

R > 0,.

QZ ZTR 0.

Алгоритм решения сформулированной задачи основан на приведении матричного пучка (вЕ — А) к канонической форме Кронекера-Вейерштрасса.

Работы Ж.-Д. Лионса [44], [45] и А. В. Фурсикова [75], [76] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем — так называемое условие компактности.

Функционал качества поставленной в диссертационной работе задачи оптимального измерения с учетом инерционности учитывает основной критерий эффективности применяемых методов решения задачи восстановления сигнала — близость исходящих значений сигналов модели и датчика, а также близость скоростей изменения этих сигналов. Кроме того, в предложенном методе решения задачи функция состояния выражается через функцию управления, что и дает возможность определить минимум функционала (0.1.2) [87] относительно коэффициентов полиномов в (0.2.6) как минимум функции нескольких переменных. Таким образом, задача оптимального управления сводится к задаче выпуклого программирования.

Работы Г. А. Свиридюка, C.B. Брычева и И. В. Бурлачко явились предпосылкой для представленного в работе численного исследования. В [8], [56] основные результаты теории относительно р-ограниченных операторов и вырожденных аналитических групп операторов были адаптированы к конечномерной ситуации и был построен алгоритм для численного решения задачи Коши для системы (0.1.2) в случае, когда свободный член у — постоянный вектор. В [13], [57] исследовано численное решение одной задачи оптимального управления для системы леонтьевского типа с начальным условием Коши. Численные эксперименты, проведенные с использованием предложенного в работе алгоритма показали хорошую согласованность не только с точным решением, которое в некоторых случаях удается получить аналитическим путем, но и с натурными экспериментами, что подтверждает как эвристическую ценность модели, так и правильность выбора метода ее численного анализа [122].

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в решении актуальных задач измерений с применением современного математического аппарата. Задача оптимального измерения покупательского поведения, впервые поставленная в диссертации, является основой для моделирования экономических систем, не содержащих обратных связей. Полученные результаты развивают теории динамических измерений и балансовых моделей, расширяют применимость численных методов решения задач оптимального управления и создают основу для дальнейшего развития моделирования в технике и экономике.

Практическая значимость работы заключается в применении результатов исследования к решению проблем восстановления и изучения динамически искаженных сигналов. Представленные вычислительные эксперименты показывают адекватность проведенного математического моделирования и эффективность выбранного численного метода решения задач оптимального измерения с учетом инерционности, что создает основу для дальнейшего развития численных исследований моделей динамических систем. Реализация алгоритма в виде программы, написанной на языке программирования С++ [120], позволяет в дальнейшем провести распараллеливание процессов для увеличения скорости вычислений.

Апробация.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2009) — Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (Воронеж, 2010) — XI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2010) — Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики», посвященном 65-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (Якутск, 2010) — Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики» (Новосибирск, 2010) — Международной конференциии «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В. К. Иванова (Екатеринбург, 2011), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011), Международной научно-практической конференции «Измерения: состояние, перспективы развития» (Челябинск, 2012).

Результаты докладывались на семинарах «Уравнения соболевского типа» профессора Г. А. Свиридюка в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск), на семинаре под руководством профессора С. И. Кадченко в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск) и семинаре кафедры математического моделирования факультета математики и естественных наук Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой (г. Стерлитамак).

Краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержащего 125 наименований, и приложения.

Заключение

.

В диссертационной работе проведено численное исследование математических моделей оптимального измерения с учетом инерционности. Основываясь на представленных материалах аналитических методов решения и вычислительных экспериментов, сформулируем следующие ее результаты:

— реализованы аналитические методы исследования математической модели ИУ;

— разработан метод численного исследования математической модели ИУ и метод численного решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности ИУ;

— доказана сходимость по норме получаемых приближенных решений задачи оптимального измерения с учетом инерционности к точному;

— построены математические модели задач оптимального измерения в экономике при изучении покупательского и потребительского поведения и технике при восстановлении динамически искаженных сигналов;

— реализован эффективный численный метод и алгоритм в виде программы, написанной на языке программирования С++, для проведения вычислительного эксперимента, показавшего адекватность проведенного моделирования.

Таким образом, в работе решены все поставленные выше задачи и достигнута цель исследования, что позволяет говорить о соответствии диссертационной работы следующим областям исследования паспорта специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Показать весь текст

Список литературы

  1. , С. А. Методы регуляризации в задачах идентификации входов динамических систем: дис.. канд. физ.-мат. наук / С. А. Аникин. Екатеринбург, 2002. — 116 с.
  2. , С. А. Идентификация входов квазилинейных систем / С. А. Аникин // Автоматика и телемеханика. 2007. — № 11 -С. 12−30.
  3. , А. А. Задача Штурма Лиувилля на геометрическом графе / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Мат. моделирование и программирование». — 2010. — № 16(192), Вып. 5. — С. 4−9.
  4. , М. Н. Динамические модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов измерительных систем в скользящем режиме: дис.. канд. техн. наук / М. Н. Бизяев. Челябинск, 2004. — 179 с.
  5. , М. Н. Измерительный преобразователь в скользящем режиме с блочной структурой модели датчика / М. Н. Бизяев, А. Л. Шестаков // Информационно-управляющие и радиоэлектронные системы: Тем. сб. научн. тр. Челябинск, 2003. -С. 9−15.
  6. , Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальых уравнений / Ю. Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1988. — 257 с.
  7. , Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.
  8. , С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис.. канд. физ.-мат. наук / С. В. Брычев. Челябинск, 2002. — 124 с.
  9. , М. В. Метод возмущения дифференциально-алгебраических систем / М. В. Булатов // Изв. вузов. Математика. 1997. — № 11. — С. 3−9.
  10. , М. В. Об одном классе разностных схем для численного решения дифференциально-алгебраических систем / М. В. Булатов // ЖВМиМФ. 1998. — Т. 38, № 10. — С. 16 411 650.
  11. , М. В. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений / М. В. Булатов, В. Ф. Чистяков // ЖВМиМФ. 2002. — Т. 42, № 4. — С. 459−470.
  12. , М. В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной / М. В. Булатов // Дифференц. уравнения. 2002. — Т. 38, № 5. — С. 692−697.
  13. , И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа: дис.. канд. физ.-мат. наук / И. В. Бурлачко. Челябинск, 2005. — 1.22 с.
  14. , М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг. М.: Наука, 1972. — 415 с.
  15. , X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. М., 1978. — 336 с.
  16. , Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гаитмахер. М.: Наука, 1966. — 576 с.
  17. , А. Г. Динамические модели народного хозяйства / А. Г. Гранберг. М.: Экономика, 1985. — 239 с.
  18. , В. А. Динамические измерения: Основы метрологического обеспечения / В. А. Грановский. Л.: Энергоиздат. Ленингр. отделение, 1984. — 224 с.
  19. , Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский Новосибирск: Науч. кн., 1998. — 438 с.
  20. , П. Пространство состояний в теории управления / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. М.: Наука, 1970. — 620 с.
  21. , Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис.. канд. физ.-мат. наук / Л. Л. Дудко. Новгород, 1996. — 88 с.
  22. , В. Г. Ультразвуковая система динамических измерений для исследования твердотопливных энергетических установок / В. Г. Ефимов, Ю. Н. Ложкова, А. Г. Митин // Ползу-новский вестник. Барнаул, 2011. — № 3/1. — С. 184−188.
  23. , А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис.. канд. физ.-мат. наук / А. А. Ефремов. Челябинск, 1996. — 102 с.
  24. А. В. Обращение управляемыми динамических систем / А. В. Ильин, С. К. Коровин, В. В. Фомичев // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. -2006. № 3 — С. 49−58.
  25. , Д. Ю. Динамические измерительные системы с измеряемым вектором параметров состояния датчиков / Д. Ю. Иосифов, А. Л. Шестаков // Приборостроение: Тем. сб. научн. тр. Челябинск, 2002. — С.98−102.
  26. , Д. Ю. Динамические модели и алгоритмы восстановления сигналов измерительных систем с наблюдаемым вектором координат состояния: дис.. канд. техн. наук / Д. Ю. Иосифов. Челябинск, 2007. — 162 с.
  27. , В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис.. канд. физ.-мат. наук / В. О. Казак. Челябинск, 2005. — 99 с.
  28. , А. В. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа / А. В. Келлер // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2009. — № 26, Вып. 10. — С. 82−86.
  29. , А. В. Динамическая балансовая модель как задача оптимального управления / А. В. Келлер // Труды Третьей межд. конф. «Мат. моделирование социальной и экономической динамики». М., 2010. — С. 131−133.
  30. , А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис.. канд. физ.-мат. наук /
  31. A. В. Келлер. Челябинск, 1997. — 115 с.
  32. , А. В. Об алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления / А. В. Келлер // Программные продукты и системы. Тверь, 2011. — № 3.- С. 170−174.
  33. , А. В. Численное решение задачи жесткого управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2009. — Т. 16, вып. 4. — С. 666−667.
  34. , В. Н. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред / В. Н. Кризский, И. А. Герасимов, М. Б. Заваруева // Математическое моделирование. -2000. Т. 12, № 3. — С. 32−33.
  35. , В. Ф. Основы теории оптимального управления /
  36. B. Ф. Кротов, Б. А. Лагоша, С. М. Лобанов и др. / под ред. В. Ф. Кротова. М., 1990. — 430 с.
  37. , Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис.. канд. физ.-мат. наук / Г. А. Кузнецов. Челябинск, 1999. — 105 с.
  38. , Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н. Т. Кузовков. М.: Машиностроение, 1976. — 184 с.
  39. , Г. А. Асимптотический анализ матрично сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления / Г. А. Курина, X. А. Овезов // Изв. вузов. Мат. -1996. № 12. — С. 63−74.
  40. , Г. А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами / Г. А. Курина // Мат. заметки. 2001. — 70, № 2. — С. 230−236.
  41. , Г. А. Обратимость неотрицательно гамильтоновых операторов в гильбертовом пространстве / Г. А. Курина // Дифференц. уравнения. 2001. — 37, № 6. — С. 839−841.
  42. , Г. А. Приводимость одного класса оператор-функций к блочно-диагональной форме / Г. А. Курина, Г. В. Мартынен-ко // Мат. заметки. 2003. — 74, № 5. — С. 789−792.
  43. , В. В. Межотраслевая экономика / В. В. Леонтьев.- М.: Экономика, 1997. 315 с.
  44. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе.- М.: Мир, 1972.-412 с.
  45. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе М.: Наука, 1987 — 456 с.
  46. , Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис.. канд. физ.-мат. наук /H.A. Манакова. Челябинск, 2005. — 124 с.
  47. , H.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера-Сидорова для одного уравнения соболевского типа / H.A. Манакова, Е. А. Богонос // Изв. ИГУ. Сер.: Математика. Иркутск, 2010. — Т. З, № 1. — С.42−50
  48. , JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг. М.: Мир, 1977. — 232 с.
  49. , М. В. Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени: дисканд. ф.-м. наук. / М. В. Плеханова. Челябинск, 2006. — 154 с.
  50. , О. А. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа: дис. .канд. ф.-м. наук. / О. А. Рузакова. Екатеринбург, 2004. — 110 с.
  51. , Ю. И. Конечномерные редукции в экстремальных задачах / Ю. И. Сапронов // Успехи мат. наук, — 1996,-Т.51, № 1.- С. 101−132.
  52. , Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариавционных задачах / Ю. И. Сапронов, С. Л. Царев // Математические заметки 2000 — Т. 200.-С. 745−754.
  53. , Г. А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР. 1989. — Т. 304, № 2. — С. 301−304.
  54. , Г. А. Об одной задаче 31юУо11ег / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. 1989. — Т. 25, № 2. — С. 338−339.
  55. , Г. А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Дифференц. уравнения. 1995. — Т. 31, № 11. — С. 1912−1919.
  56. , Г. А. Численное решение систем уравнений леон-тьевского типа / Г. А. Свиридюк, С. В. Брычев // Изв. вузов. Математика. 2003. — № 8. — С. 46−52.
  57. , Г. А. Задача Шоуолтера-Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г. А. Свиридюк, С. А. Загребина // Изв. ИГУ. Сер.: Математика. Иркутск, 2010. — Т. З, № 1. — С.51−72.
  58. , Г. А. Относительная сг-ограниченность линейных операторов / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева, Л. Л. Дудко // Изв. вузов. Математика. 1997. — № 7, — С. 68−73.
  59. , Г. А. Линейные уравнения соболевского типа: учеб. пособие / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров.- Челябинск: ЧелГУ, 2003. 179 с.
  60. , Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки. 1984. — Т. 25, № 4. — С.569−578.
  61. , Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова //Дифференц. уравнения. -1983. Т. 19, № 9. — С. 1516−1526.
  62. , Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.-1987, — Т. 23, № 4, — С. 726−728.
  63. В. П. Вырожденные линейные системы /
  64. B. П. Скрипник // Изв. вузов. Математика. 1982. — № 31. C. 62−67.
  65. , С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. -Т. 18. — С. 3−50.
  66. С. Л. Применение функционального анализа к математической физике / С. Л. Соболев. Л.: Наука, 1961. — 255 с.
  67. , Е. В. Алгоритмы адаптации параметров измерительной системы к минимуму оценки динамической погрешности: дис.. канд. техн. наук / Е. В. Солдаткина. Челябинск, 2000. — 161 с.
  68. , Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения, — 2000.- Т. 36, № 8.- С. 1106−1112.
  69. , В. И. Измерение эффектов межрегиональных взаимодействий: модели, методы, результаты / В. И. Суслов / отв. ред. А. Г. Гранберг, ИЭОПП СО АН СССР. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1991. — 252 с.
  70. , X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель. -М.: Мир, 1980. 664 с.
  71. , В. Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева: дис.. канд. физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. Челябинск, 1996. — 104 с.
  72. , В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах: дис.. д-ра физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. Челябинск, 2005. — 271 с.
  73. , В. Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. ЮУр-ГУ. 2008. — № 15(115). — С. 89−99.
  74. , В. Е. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Изв.РАН. Теория и системы управления. 2004. -Т.9,2. С. 92−102.
  75. , A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье Стокса и Эйлера / A.B. Фурсиков // Мат. сб.- 1981, — Т.115, № 2, — С.281−307.
  76. , В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим. М.: Мир, 1983. — 432 с.
  77. , В. А. Использование методов теории автоматического управления при построении и анализе динамических моделей экономики производства / В. А. Царьков // Измерения. Контроль. Автоматизация. 1984. — № 4 — С. 66−78.
  78. , В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1996. — 278 с.
  79. , В. Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / В. Ф. Чистяков, О. В. Бормотова // Журн. вычислит, мат. и мат. физики. -2004. Т. 44, № 8. — С. 1380−1387.
  80. , В. Ф. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) / В. Ф. Чистяков, С. В. Гайдомак // Вычислительные технологии 2005, — Т. 10, № 2 — С. 45−59.
  81. , В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.
  82. , В. Ф. О понятии индекса сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Чистяков // Дифференциальные уравнения и численные методы. -Новосибирск, 1986. С. 123−128.
  83. , А.Л. Динамическая точность измерительного преобразователя с корректирующим устройством в виде моделидатчика / А. Л. Шестаков // Метрология. 1987. — № 2. -С. 26−34.
  84. , А.Л. Нейросетевая динамическая модель измерительной системы с фильтрацией восстанавливаемого сигнала / А. Л. Шестаков, A.C. Волосников // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Комп. технологии, управление, радиоэлектроника». 2006. -Л'2 14(69), вып 4 — С. 21−26.
  85. , А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А. Л. Шестаков, Г. А. Свиридюк // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Мат. моделирование и программирование». -2010. № 16(192), вып. 5. — С. 116−120.
  86. , А.Л. Шестаков, А. Л. Оптимальное измерение динамически искаженных сигналов / А. Л. Шестаков, Г. А. Свиридюк // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Мат. моделирование и программирование». 2011. — № 17(234), вып. 8. — С. 70−75.
  87. А. А. Линейные алгебро-дифференциальные системы с переменным отклонением аргумента / А. А. Щеглова // Изв. вузов. Математика. 2002. — № И. — С. 69−77.
  88. А. А. К вопросу об обобщенном решении алгебро-дифференциальных систем / А. А. Щеглова // Сиб. мат. ж. -2002. 43, № 4. — С. 964−973.
  89. А. А. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем / А. А. Щеглова, В. Ф. Чистяков // Дифферент уравнения. 2004. — 40, № 1. — С. 47−57.
  90. Berger М. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. I /М. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // Indiana Univ. Math. J. 1985. -V. 34, № 1.-P. 1−19.
  91. Berger M. S. Folds and cups in Banach spaces, with applications to nonlinear partial differential equations. II /М. S. Berger, P. T. Church, J. G. Timorian // AMS. 1988. — V. 307, № 1. — P. 227−244.
  92. Cahn I. W. Free energy of a nonuniform system. 1. Interfacial free energy /I. W. Cahn, I. E. Hillard // J. Chem. Physics. 1958. -V. 28. — P. 258−267.
  93. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. N. Y.- Basel- Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999. — 236 pp.
  94. Fernandes, B. R. Control of multivariable non-linear systems by the sliding mode method / B. R. Fernandes, K. J. Hedrick // International Journal of Control. 1987. — Vol. 46, № 3 — P. 10 191 040.
  95. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev’s problem. I / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994. — V. 4, № 1. — P. 18−51.
  96. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev’s problem. II / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994. — V. 4, № 2. — P. 16−53.
  97. Hairer E. The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods / E. Hairer, C. Lubich, M. Roche// Rep CH-1211.-Dept. de Mathemat., Universite de Geneve, Switzerland, 1989. -152 pp.
  98. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov.-Utrecht: VSP, 1999 171 p.
  99. Lamour, R. How Floquet-theory applies to differential-algebraic equations / R. Lamour, R. Marz, R. Winkler. Berlin: Institut fur Mathemaatik der Humboldt Universitat zu Berlin, 1996.- (Prepr. № 96−15).
  100. Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl.- 1983,-V. 93, № 2, — P. 328−337.
  101. Litvinov, G. L. Error auto-correction in rational approximation / G.L. Litvinov // Interval Computations. 1992. — № 4(6). — P. 1418.
  102. P. С. Linear control design of linear descriptor systems / P. C. Muller // 14th Triennial world congress, Beijing, P.R. China, 1999.
  103. Miiller, P. C. Stability and optimal control of nonlinear descriptor systems: A survey / P. C. Muller // Appl. Math, and Сотр. Sci.- 1998. Vol. 8, № 2. — P. 269−286.
  104. Pyatkov, S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov. Utrecht, Boston, Tokyo: VSP, 2002.
  105. Rheinboldt W. C. Differential-algebraic systems an differential equation on manifolds / W.C. Rheinboldt // Math. Сотр. 1984.- Vol.43, № 168. P. 473−482.
  106. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math. 1963. — V. 31, № 3. -P. 787−794.
  107. Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter. Pitman, London, San Francisco, Melbourne, 1977. — 152 pp.
  108. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. -Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 pp.
  109. Silverman, L. M. Optimal approximation of linear systems / L. M. Silverman, M. Bettayeb // JACC, San Francisco. 1980.
  110. Stefany G. Asymptotic behavior of a phase-field system with dynamic boundary conditions / G. Stefany, A. Miranville // Differential Equations Inverse and Direct Problems. Ser. Lect. Notes Pure Appl. Math. 2006. — P. 149−170.
  111. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. -Utrecht Boston — Tokyo — Koln: VSP, 2003. — 216 pp.
  112. Whithey, H. Mappings of the plane into the plane / H. Whithey // Ann. Math. 1955. — V. 62. — P. 374−410.
  113. , А. В. Численное решение задачи жесткого стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2009. — Т. 16, вып. 6. — С. 1099−1100.
  114. , А. В. Об устойчивости решений систем леонтьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна-2010: тез. докл. Воронеж, 2010. — С. 78−79.
  115. , А. В. Свойство регуляризуемости и численное решение задачи динамического измерения / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Вестн. Юж-Урал. гос. ун-та.
  116. Сер. «Мат. моделирование и программирование». 2010. -№ 16(192), вып. 5. — С. 32−38.
  117. , А. В. Исследование устойчивости решений в моделях леонтьевского типа / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А. И. Кожанова. Новосибирск, 2010. — С. 129−135.
  118. , Е. И. Об алгоритме решения задачи оптимального измерения / Е. И. Назарова //XI Всероссийская конференция молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям: тез. докл. Красноярск, 2010. — С. 33−34.
  119. , А. В. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы / А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.: Математика. 2011. — Т. 4, № 3. — С. 74−82.
  120. , Е. И. Численное решение одной задачи оптимальных измерений / Е. И. Назарова // СамДиф-2011: конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 26−30 июня 2011 г.: тез. докл. Самара, 2011. — С. 79−80.
  121. , А. Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А. Л. Шестаков, А. В. Келлер, Е. И. Назарова // Автоматика и телемеханика. 2012. — № 1. — С. 107−115.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?