Определение нормальности распределения методом Колмогорова

Оглавление Введение

1. Методы проверки нормальности результатов измерений

1.1 Проверка с использованием критерия Пирсона

1.2 Проверка с помощью составного критерия

1.3 Применение коэффициентов асимметрии и эксцесса для проверки нормальности распределения результатов измерений

1.4 Метод Колмогорова

1.5 Непараметрический метод оценки

2. Расчеты

2.1 Грубая оценка нормальности распределения периода калибровочной решетки «TGZ2» непараметрическим методом

2.2 Оценка нормальности распределения периода калибровочной решетки «TGZ2» методом Колмогорова

3. Результаты и обсуждение Заключение Список использованных источников

Введение

пирсон асимметрия эксцесса решетка Метрология — наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Метрология занимает особое место среди технических наук, поскольку, с одной стороны, она использует последние научные достижения и это выражается в совершенствовании ее эталонной базы и способов обработки результатов измерений, а с другой — она способствует развитию технических наук, так как совершенствование измерений в метрологии приводит к появлению более достоверных научных результатов.

В этой курсовой работе будет рассмотрен один из главных вопросов метрологии — проверка нормальности распределения результатов измерений.

Важность этой темы заключается в том, что почти все оценки результатов измерений, многие метрологические формулы, различного рода критерии справедливы, если имеет место нормальное распределение.

Данный вопрос будет рассматриваться на примере периода калибровочной решетки «TGZ2» с использованием метода Колмогорова.

1. Методы проверки нормальности результатов измерений

1.1 Проверка с использованием критерия Пирсона А) Весь диапазон полученных результатов измерений от максимального х_max до минимального значения х_min разбивают на r интервалов шириной? х_i (i=1,2,3,…, r) и подсчитывают частоты m_i, равные числу результатов в i — м интервале

;

где n — общее число измерений.

Распределение частоты по интервалам образует статистическое распределение результатов измерений. Рекомендуется число интервалов r выбирать в зависимости от числа измерений по таблице 1:

Таблица 1

Б) Строят ступенчатое распределение результатов измерений, откладывая по оси ординат среднее значение плотности распределения в интервале? х_i (рисунок 1).

Площадь под гистограммой, являющейся экспериментальной функцией плотности распределения вероятности результатов измерений, должна ровняться единице.

Рисунок 1 — Гистограмма теоретическое (нормальное) распределение результатов измерений.

В) По виду гистограммы подбирается теоретическая кривая распределения. Если гистограмма подобна нормальному распределению, то, вычисляя среднее арифметическое и дисперсию результатов измерений, строят теоретическую кривую (рисунок 1)

;

Г) Проверяют выдвинутую гипотезу о нормальности распределения результатов измерения, используя метод Пирсона. Расхождение между экспериментальной гистограммой и выбранной теоретической кривой в этом методе оценивается с помощью величины:

;

где — коэффициент весов разрядов, выбранных для усиления веса составляющих с малой вероятностью в виде ;

— значение вероятности в i-м интервале экспериментальной гистограммы;

— значение вероятности i-м интервале, определенное по теоретической кривой как площадь под i-м интервалом:

;

Мера расхождения — величина случайная, и плотность вероятности распределения этой величины подчиняется распределению Пирсона при и (реально при).

Заметим, что число степеней свободы здесь k=r-3, поскольку результаты измерений использованы для вычисления среднего, дисперсии и общей площади под гистограммой.

Задаваясь уровнем значимости, находят по таблице 2 значение, соответствующее значению q или вероятности P. Если, то распределение результатов измерений принимают нормальным и гипотеза о нормальности распределения считается верной. При этом возможны ошибки. В соответствии с математической статистикой, если отвергается правильная гипотеза, то имеют дело с ошибкой 1-го рода, а если принимается неверная гипотеза (распределение нормально, но это отвергается в результате исследований), то имеет место ошибка 2-го рода.

Таблица 2 — Интегральная функция распределения Пирсона. Значения для различных k и P

1.2 Проверка с помощью составного критерия Вычисляется статистика:

;

квантили (квантиль — абсцисса, соответствующая определенной вероятности) распределение которых приведены в таблице 3.

Таблица 3 — Квантили распределения статистики d

Если при данном числе измерений n и выбранном уровне значимости q₁ соблюдается условие d_1−0,5q< d? d_0,5q то гипотеза о нормальности распределения на основании первого критерия принимается, если — нет, то отвергается. Гипотеза по второму критерию принимается, если не более m разностей измерений превышают уровень z_0,5(1+P)S_x, где S_x — оценка СКО результатов измерений, z_0,5(1+P) — квантиль интегральной функции нормированного нормального распределения, определяемая по таблице 4 или таблице 5 при Ф (z_0,5(1+P)) = 0,5(1+Р).

Таблица 4 — Интегральная функция нормированного нормального распределения

Таблица 5 — Интегральная функция нормированного нормального распределения. Значение z для различных Ф (z)

Величина Р находится при заданном уровне значимости q₂ по данным таблицы 6.

Таблица 6 — Значения n и a, соответствующие различным m и q

Распределение результатов измерений считается отличным от нормального, если не выполняется хотя бы один из рассмотренных критериев. Уровень значимости составного критерия q? q₁ +q₂ или вероятность того, что распределение результатов измерений нормально, P = 1 — q.

1.3 Применение коэффициентов асимметрии и эксцесса для проверки нормальности распределения результатов измерений Известно, что для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса определяются по формулам:

;

;

Известно также, что дисперсии этих величин равны:

;

;

Зная оценки дисперсий и, можно определить, значимо ли выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса отличаются от нуля. Если

;

;

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.

1.4 Метод Колмогорова Для применения критерия Колмогорова необходимо определить наибольшее абсолютное отклонение выборочной функции распределения от генеральной, то есть экспериментальной функции интегрального распределения результатов измерения от теоретической функции, которая предлагается для сравнения:. Затем вычисляется. Квантили распределения Колмогорова, приведенные в таблице 7, сравниваются со значением л, вычисленным по экспериментальным данным.

Таблица 7

Если, то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения с выборочным не отвергается. Про гипотеза отклоняется (или считается сомнительной). Уровень значимости q при применение критерия Колмогорова выбирают обычно равным 0,2 — 0,3.

1.5 Непараметрический метод оценки При малом числе измерений для быстрой, но грубой оценки нормальности распределения результатов измерений иногда используют так называемый непараметрический метод.

Для проверки нормальности распределения результатов измерений вначале результаты располагают в вариационный ряд в порядке их возрастания, а затем строится статистическая интегральная функция распределения:

;

где; - общее число измерений.

Функция — ступенчатая функция, скачки которой равны. Если в этом ряду имеются одинаковые числа, то скачок возрастает на количество этих чисел.

Затем теоретическую функцию распределения приравнивают к статистической и для каждого по таблице 4 находят соответствующие значения. Поскольку переменные и связаны соотношением, то зависимость при нормальном распределении должна иметь вид прямой линии или, точнее говоря, точки с координатами и должны расположиться вдоль одной прямой линии. Эта прямая по оси абсцисс отсекает отрезок, примерно равный математическому ожиданию, а котангенс угла наклона прямой к оси абсцисс равен примерно СКО ряда измерений. Если расположение точек существенно отличается от прямолинейного, то распределения результатов измерений отличается от нормального[1].

2. Расчеты Рисунок 2 — Сбор данных Таблица 8 — Периоды калибровочной решетки «TGZ2»

2.1 Грубая оценка нормальности распределения периода калибровочной решетки «TGZ2» непараметрическим методом Располагаем в вариационный ряд период калибровочной решетки в порядке их возрастания, а затем строим статистическую интегральную функцию распределения:

;

где; - общее число измерений. Если имеются одинаковые значения, то k возрастает на количество этих чисел.

Затем теоретическую функцию распределения приравнивают к статистической и для каждого по таблице 4 находят соответствующие значения .

Таблица 9

Расчет:

;

;

;

;

;

;

;

.

Для определения нормальности распределения периода калибровочной решетки «TGZ2» непараметрическим методом построим график функции с координатами и .

График 1 — Зависимость от .

2.2 Оценка нормальности распределения периода калибровочной решетки «TGZ2» методом Колмогорова Для применения критерия Колмогорова определяю наибольшее абсолютное отклонение выборочной функции распределения от генеральной, то есть экспериментальной функции интегрального распределения результатов измерения от теоретической функции, которая предлагается для сравнения: .

Затем вычисляю. Квантили распределения Колмогорова, приведенные в таблице 7, сравниваются со значением л, вычисленным по экспериментальным данным.

Таблица 9

Расчет:

А) Определяю? Т:

мкм.

Б) Определяю :

мкм.

В) Определяю S_T:

мкм.

Г) Определяю параметр Ф:

Теперь по таблице 4 определяю значение интегральной функции нормированного нормального распределения:

Ф₁ (-2.4976) = 0.0062

Ф₂ (-1.6212) = 0.0528

Ф₃ (-0.7449) = 0.2284

Ф₄ (0.1320) = 0.5524

Ф₅ (1.0078) = 0.8413

Ф₆ (1.8840) = 0.9702

Д) Определяю вероятность P_i:

;

;

;

;

;

.

И перемножаем вероятность P_i с количеством измерений n:

;

;

;

;

.

E) Определяю значения выборочной функции распределения и генеральной функции распределения .

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

;

.

Ж) Определяю :

;

;

;

;

.

Данные занес в таблицу 9

Для принятия решения по критерию Колмогорова определяю л:

.

По таблице 7 для уровня значимости q = 0.3 определяю л_0.7 = 0.97.

3. Результаты и обсуждение А) В непараметрическом методе для грубой оценки нормальности распределения периода калибровочной решетки «TGZ2"использовался график функции с координатами и .

Из графика 1 видно, что точки этой зависимости довольно близко расположены к прямой линии, поэтому распределение периода калибровочной решетки «TGZ2» можно признать нормальным.

Б) В методе Колмогорова для определения нормальности распределения периода калибровочной решетки «TGZ2» использовался критерий Колмогорова.

По полученным данным можно сказать, что критерий Колмогорова позволяет считать распределение периода калибровочной решетки «TGZ2» нормальным, так как л = 0.634 < л_0.7 = 0.97.

Заключение

В данной курсовой работе была осуществлена проверка нормальности распределения результатов измерений периода калибровочной решетки «TGZ2» с использованием непараметрического метода и метода Колмогорова.

По итогам проверки, можно сказать, что оба метода подтвердили нормальность распределения результатов измерений периода калибровочной решетки «TGZ2».

Список использованных источников

1. Пронкин Н. С., Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям: учеб. пособие для вузов. — М.: Логос, 2007. — 392 с.