Геометрический подход к решению задачи оптимального синтеза стационарных гладких систем управления

Актуальность темы

.

Проблема синтеза оптимальной обратной связи для широкого класса систем является фундаментальной, важной, до конца не решенной проблемой. Сложность решения проблемы связана с тем, что управляющие воздействия, являясь функцией состояния системы, удовлетворяют обычно сложной системе дифференциальных уравнений с нестандартными граничными условиями. Автор предлагает новые концепции и методы разрешения существующих сложностей для стационарных гладких конечномерных систем управления.

Идея обратной связи, четко сформулированная Н. Винером, очертившим понятие кибернетической системы, является одной из наиболее фундаментальных и плодотворных идей современного теоретико-системного взгляда на мир. Смысл петли обратной связи заключается в создании автономной системы, корректирующей свое собственное состояние, исходя из этого же состояния, в соответствии с теми или иными признаками. Обратная связь является фундаментальным свойством, обеспечивающим автономное существование системы в рамках определенного качества. Ввиду разнообразия встречающихся систем, точная теория обратной связи в значительной мере не унифицирована. Более того, даже для отдельных хорошо математически определенных классов систем, где такая теория могла бы иметь место, она всё ещё отсутствует. Таким широким классом, описывающим многие физико-технические объекты, является класс стационарных гладких конечномерных систем. До некоторых пор почти единственными применявшимися на практике методами синтеза оптимальной обратной связи для гладких нелинейных объектов были: метод линеаризации системы в окрестности положения равновесия и метод синтеза оптимальной обратной связи заданной структуры. Представляет интерес создание более современных методов решения задачи синтеза, в том числе получение точных аналитических решений для некоторых типов систем. В данной работе выполнены исследования по применению инвариантных геометрических методов для решения проблемы синтеза оптимальных стационарных гладких систем. Развитый здесь геометрический подход является конструктивным и перспективным для синтеза оптимальных систем широкого класса. Цель исследования на основе хорошо развитого, ранее не применявшегося в данной области, аппарата гамильтоновой механики, дифференциально-алгебраической геометрии, групп Ли преобразований разработка теории геометрических объектов, связанных с задачей оптимальной стабилизацииразработка математического аппарата, непосредственно используемого при решении задачи синтезасоздание новых эффективных численно-аналитических методов синтеза оптимальной и субоптимальной обратной связиобъединение всех предложенных методов в общую концепцию геометрического анализа и формализация вычислительных средств, что позволит по-новому и более глубоко подойти к решению известных проблемвыявление соответствия: (тип системы) -н- (наиболее адекватные способы решения).

Методы исследования: методы гамильтоновой механикидифференциально-алгебраическая геометрияалгебрагруппы Ли преобразованийтеория инвариантов геометрических объектов.

Новые научные результаты: развита геометрическая теория синтеза оптимальной обратной связи для стационарных гладких конечномерных систем управленияразработан инструментарий для решения задачи синтеза оптимальной стабилизациипредставлены новые методы синтеза оптимальной обратной связи, допускающие эффективную численно-аналитическую реализацию (метод бихарактеристик для уравнения Гамильтона-Якоби восстановления лагранжева многообразия с заданными начальными условиямиметод первых интегралов и эволюционных симметрий для вычисления сепаратрис гамильтоновой системыметод разложения аналитической функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора в окрестности начала координатметод деформации алгебраического решения уравнения Гамильтона-Якоби в голономноеметод дифференцирования вдоль гамиль-тонова векторного поляописаны системы с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпуноваописана алгебраическая структура первых интегралов гамильтоновой системы в задаче оптимальной стабилизацииразработаны алгоритмы синтеза оптимальной и субоптимальной обратной связи для гладких нелинейных системпредложен ряд приёмов аналитического интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби) — представлена классификация систем оптимального управления по типам, для каждого из которых предложены наиболее адекватные методы решения задачи синтеза.

Практическая ценность полученных результатов предложен гибкий, широкого спектра действия, целостный аппарат решения задачи АКОРразработаны методы аналитического конструирования оптимальных и субоптимальных регуляторов для нелинейных конечномерных системдля систем с квадратичным гамильтонианом предложен комплекс методов решения задачи синтеза (метод первых интегралов, метод дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, метод дифференциальных продолжений уравнения Гамильтона-Якоби) — для систем с гамильтонианом, близким к квадратичному, предложен метод малого параметра восстановления потенциальной функциидля систем с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова предложен метод отыскания точного решения задачи оптимальной стабилизациипредложен метод решения задачи оптимальной стабилизации для систем с вырожденной функцией Беллмана-Ляпуноваразработан универсальный численно-аналитический алгоритм синтеза оптимальной обратной связи для систем с невырожденной потенциальной функцией (метод бихарактеристик) — предложен ряд аналитических методов интегрирования уравнений Беллмана и Гамильтона-Якоби (метод отыскания инволю-тивной системы дифференцированийметод первых интегралов и эволюционных симметрийметод приведения к вполне интегрируемой системе внешних дифференциальных уравненийметод продолжения функции Беллмана-Ляпунова на пространство большей размерности) — формализован метод Колесникова А. А. синтеза оптимальной обратной связи для систем с функционалом специального вида.

Результаты, выносимые на защиту: теория геометрических объектов, связанных с задачей оптимальной стабилизацииаппарат исследования систем оптимального управления и синтеза оптимальной обратной связиметоды синтеза оптимальной обратной связи для предложенных в работе типов систем.

Апробация работы и публикации По материалам диссертации были сделаны сообщения на V Всесоюзном Совещании по управлению многосвязными системами (г.Тбилиси, 1984 г.) — на V Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (г.Казань, 1985 г.) — на VII Всесоюзном Совещании-семинаре школы молодых ученых и специалистов по современным проблемам автоматического управления (г.Минск, 1987 г.) — на X Всесоюзном Совещании-семинаре школы молодых ученых и специалистов по современным проблемам автоматического управления (г.Омск, 1989 г.) — на IX научной конференции молодых ученых и специалистов Волго-Вятского региона (г.Горький, 1989 г.) — на IX Всесоюзном Совещании по проблемам управления (г.Ташкент, 1989 г.) — на VI Международном Симпозиуме по автоматическому управлению и информатике SACCS'98 (Румыния, г. Яссы, 1998 г.). Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1−20].

Содержание работы В главе 1 дается обзор состояния проблемы оптимального управления конечномерными системами и ставится задача оптимальной стабилизации для стационарных гладких конечномерных систем.

В главе 2 приводятся сведения из теории гладких многобразий, необходимые для проводимых в работе описаний и вычислений (тензорные расслоения, пучки векторных полей и форм, внешние дифференциальные системы, связности).

В главе 3 излагаются теория и приложения геометрии фазового пространства (анализируется алгебраическая структура первых интегралов и сепаратрис гамильтоновой системы, на основании чего формулируется способ вычисления лагранжева многообразия потенциальной функциирассматривается метод первых интегралов и эволюционных симметрийописывается метод бихарактеристик для восстановления лагранжева многообразия потенциальной функциипоказывается возможность разложения аналитической функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора и эффективного вычисления коэффициентов ряда в окрестности особой точкирассматривается внешняя дифференциальная система, связанная с задачей оптимальной стабилизацииприводятся алгоритмы синтеза оптимального и субоптимального управления) — далее излагается концепция поля экстремалей и метод Колесникова А. А. синтеза оптимальной обратной связи, а также способы вычисления дифференциальных инвариантов потенциальной функции в некоторых частных случаях (вычисляются дифференциальные инварианты функции Беллмана-Ляпунова линейно-квадратичной задачидается определение невырожденной потенциальной функции, как эквидистантной функции евклидова пространстварассматривается способ получения дифференциальных инвариантов с помощью подходящего изоморфизма дифференциальных алгебр).

В главе 4 приводятся различные типы систем оптимального управления, классифицированные по определенным признакам (классы систем с квадратичным гамильтонианом, с гамильтонианом, близким к квадратичному, с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова, гладких систем общего вида с невырожденой функцией Беллмана-Ляпунова, с аналитической функцией Беллмана-Ляпунова, с вырожденной потенциальной функцией, с известными (или легко выделяемыми) первыми интегралами или эволюционными симметриями, с функционалом Колесникова).

В главе 5 рассматриваются некоторые обобщения геометрического подхода к задаче синтеза на случай бесконечномерных пространств состояния и управления.

Изложение теоретического материала сопровождается примерами конструирования систем оптимального управления.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ.

Основное внимание в работе было уделено точному решению задачи оптимальной стабилизации и исследованию инвариантных свойств потенциальной функции. На основе этих свойств был разработан ряд методов восстановления функции Беллмана-Ляпунова и, следовательно, закона оптимальной обратной связи. Все методы являются общими, применимыми к произвольным гладким системам управления и доведены до уровня практического использования. В работе: представлена теория геометрических объектов, связанных с задачей оптимальной стабилизации (теория фазового пространства, поля экстремалей в задаче на безусловный экстремум, совместимый с уравнениями связей, дифференциальных инвариантов функции Беллмана-Ляпунова) — разработан определенный инструментарий исследования систем оптимального управления и синтеза оптимальной обратной связиописаны инвариантные свойства функции Беллмана-Ляпунова, используемые для отыскания точных решений задачи оптимальной стабилизации: топологические (функция Беллмана-Ляпунова является почти изолированным корнем уравнения Гамильтона-Якоби в пространстве всех решений данного уравнения, определенных в окрестности начала координат, позволяющее эффективно восстанавливать эту функцию с помощью достаточного числа симметрий уравнения Гамильтона-Якобилагранжево многообразие функции Беллмана-Ляпунова представляет сепаратрису устойчивых точек гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей оптимальной стабилизации) — алгебро-геометрические (идеал n-мерного лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова является свободнопорожденным ранга п, инвариантным относительно дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, ассоциированного с задачей оптимальной стабилизации, и содержащим некоторые отмеченные элементы алгебры гладких функций на фазовом пространстведля систем с квадратичным гамильтонианом образующие идеала лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова являются линейными однородными определенного вида, что позволяет их эффективно вычислятьдля систем с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова и систем с вырожденной функцией Беллмана-Ляпунова получены последовательности внешних дифференциальных форм, содержащиеся в дифференциальном идеале лагранжева многообразия и позволяющие эффективно восстанавливать его) — аналитические (имеется эффективный алгоритм вычисления коэффициентов разложения аналитической функции Беллмана-Ляпунова в ряд Тейлора в начале координат пространства состоянийграфик градиента функции Беллмана-Ляпунова однозначно восстанавливается интегрированием гамильтоновой системы с подходящими начальными условиями) — сформулированы прикладные методы синтеза оптимальной обратной связи, такие как метод бихарактеристик восстановления лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова, метод первых интегралов и обобщенных симметрий, метод дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, метод деформации алгебраического решения уравнения Гамильтона-Якоби в голономное на полубесконечном отрезке, алгебраический метод синтеза субоптимального управления заданной структуры, метод приведения уравнения Гамильтона-Якоби к вполне интегрируемой системе внешних дифференциальных уравнений, формализм поля экстремалей в задаче на безусловный экстремум, совместимый с уравнениями связей, метод дифференциальных инвариантов потенциальной функцииполучена серия явных первых интегралов для систем с квадратичным гамильтонианом, определяющая уравнения лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпуноваприведена классификация систем оптимального управления по типам, для каждого из которых предложены адекватные методы решения задачи синтеза (системы с квадратичным гамильтонианом, решаемые методом дифференцирования вдоль га-мильтонова векторного полясистемы с гамильтонианом, близким к квадратичному, с использованием метода малого параметрасистемы с инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова и вырожденной функцией Беллмана-Ляпунова, решаемые методом конструирования внешних дифференциальных уравнений, описывающих лагранжево многообразие потенциальной функциигладкие системы общего вида с невырожденной функцией Беллмана-Ляпунова, рассчитываемые методом бихарактеристик для уравнения Гамильтона-Якобисистемы с аналитической потенциальной функцией, допускающей эффективное разложение в ряд Тейлорасистемы с легко выделяемыми первыми интегралами или эволюционными симметриямисистемы с функционалом Колесникова, решаемые методом отыскания достаточного числа первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа в задаче на безусловный экстремум) — выделено свойство гиперболичности гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей синтеза оптимального регуляторапредложен регулярный алгоритм синтеза для классической задачи оптимальной стабилизации с ассоциированным гиперболическим гамильтонианом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Работа относится к классу исследований по применению инвариантных геометрических методов в теории оптимального управления.

Полученные результаты, как индивидуально, так и в сочетании, могут быть полезны при решении задачи оптимальной стабилизации движения.

Геометрический подход, проясняя изучаемую ситуацию, является конструктивным и перспективен для дальнейшего использования в гладких задачах оптимального управления (описание полного набора дифференциальных инвариантов потенциальной функцииклассификация систем оптимального управления по топологическому типу фазового портрета гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей оптимальной стабилизацииконструкция симплектических связностей, инвариантных относительно гамильтонова векторного поляэффективные методы вычисления сепаратрис гамильтоновой системы и конструирования эволюционных симметрий уравнения Гамильтона-Якоби и т. д.).