Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Нелинейные гиперболические системы уравнений, интегрируемые по Дарбу

Диссертация: Нелинейные гиперболические системы уравнений, интегрируемые по Дарбу
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

C) kujvk + фЛ Уу = dk-iujvl + d) u г = 1, 2,., 7 г, к = 1, 2,., п обладают не одной, а двумя характеристическими алгебрами и эти алгебры естественным образом &bdquo-склеиваются" в единую алгебру на основе так называемых соотношений нулевой кривизны. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Все теоремы, леммы и формулы занумерованы двумя цифрами, первая… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Критерий интегрируемости по Дарбу
    • 1. X— и у—интегралы нелинейных гиперболических систем уравнений
    • 2. Условие конечномерности характеристического кольца Ли
    • 3. Необходимое условие интегрируемости по Дарбу
  • Глава 2. Классификация систем уравнений с конечномерными кольцами Ли
    • 4. Система уравнений иху = /(и, г>), уху = ф (и, у)
    • 5. Линеаризации гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью
    • 6. ЛГ—компонентные системы уравнений с интегралами первого порядка
    • 7. Двухкомпонентные системы уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго
  • Глава 3. Двухкомпонентные системы уравнений с двумя интегралами первого порядка и двумя второго
    • 8. Условия существования интегралов
    • 9. Классификация систем уравнений
    • 10. X— и у—интегралы
    • 11. Построение точных решений
    • 12. Задача Гурса

Нелинейные гиперболические системы уравнений, интегрируемые по Дарбу (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Работа посвящена исследованию проблемы интегрируемости нелинейных гиперболических систем уравнений вида иху = У, и, их, иу), Ъ = 1, 2,., п, и = (и1, и2,., ип). (0.1).

Последние описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики.

Изучаемые системы (0.1) обладают нетривиальной группой внутренних симметрий, генерируемой алгеброй Ли — Беклунда, что позволяет для их классификации использовать «симметрийный» подход (см. [2, б, 29, 30, 31, 41, 42]). Симметрийный метод классификации очень эффективен в случае эволюционных уравнений. Однако, как показано в работах [7, 28], при симметрийной классификации гиперболических уравнений возникают серьезные технические трудности даже в простейшей ситуации. Поэтому для эффективного исследования интегрируемости гиперболических систем уравнений необходимо применять иные подходы. Один из таких подходов, обсуждаемый в статьях [1, 25, 27, 43, 46, 47], связан с инвариантами Лапласа.

В данной работе для решения классификационной задачи используется метод, основанный на изучении структуры характеристических алгебр (колец) системы. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в классических работах Дарбу, Гурса, Вессио и других авторов (см., например, [48, 49, 50, 56]), однако окончательное его формирование произошло сравнительно недавно (см. [23, 24, 39, 44, 52, 53, 54, 55]).

Важный вклад в развитие этого метода внесла работа Шабата А. Б., Ямилова Р. И. [44], в которой исследовалась система гиперболических уравнений вида ааеи1 +. + аыеиП, г = 1, 2,., п. (0.2).

В этой работе было введено понятие характеристической алгебры Ли векторных полей и было показано, что характеристическая алгебра системы уравнений (0.2) конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты a, ij определяют матрицу Картана простой алгебры Ли. Далее, в статье Лез-нова А.Н., Смирнова В. Г., Шабата A.B. [39] для систем гиперболических уравнений более общего вида г =1,2,., п была выдвинута гипотеза о том, что условием интегрируемости в квадратурах является конечномерность ее характеристической алгебры.

Отметим также работу [23], в которой показано, что гиперболические уравнения вида.

4 = c) kujvk + фЛ Уу = dk-iujvl + d) u г = 1, 2,., 7 г, к = 1, 2,., п обладают не одной, а двумя характеристическими алгебрами и эти алгебры естественным образом &bdquo-склеиваются" в единую алгебру на основе так называемых соотношений нулевой кривизны.

В последнее время понятие характеристической алгебры (кольца) было обобщено на дифференциально-разностные и полностью дискретные уравнения и на этой основе проведена классификация некоторых классов интегрируемых цепочек (см. [52]-[55]).

Определение 0.1. Кольцо Ли есть множество Ь с операциями сложения и умножения, удовлетворяющими условиям: а + Ь = Ъ + а, а + (6 + с) = (а + Ь) + с, а (Ь + с) = аЬ + ас, (Ь + с) а = Ьс + са, аа = 0, (аЪ)с + (6с) а + (са)Ъ = 0.

Существует элемент 0, для которого, а + 0 — 0 + а = а для всех а. Существует для любого элемента, а противоположный элемент —а со свойством, а + (—а) = 0.

Если Ь является векторным пространством над полем К и.

7а)Ъ — а^Ь) = 7(аЬ) для а, 6 е Ь, 7 Е К, то Ь называется алгеброй Ли над К.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Все теоремы, леммы и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая — номер по порядку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Доказан критерий независимости а- (у)—интегралов нелинейной гиперболической системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия интегрируемости по Дарбу, установлена связь между порядками интегралов системы и размерностью характеристических колец Ли.

• Для решения задачи классификации двухкомпонентных гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью предложен подход, основанный на изучении структуры характеристических алгебр Ли линеаризованной системы.

• Для п—компонетной системы уравнений приведены необходимые и достаточные условия существования полного набора интегралов первого порядка. Получен полный список интегрируемых двухкомпонентных систем уравнений, построены их х— и у—интегралы.

• Проведена полная классификация систем уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго. Приведены явные формулы для х— и у—интегралов этих систем.

• Получен класс нелинейных гиперболических систем уравнений, обладающих двумя интегралами первого порядка и двумя второго. Для найденных систем уравнений построены х— и у— интегралы, общие решения, а также решения задач Гурса.

Заключение

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Э., Старцев С. Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувил-ля // Теоретическая и математическая физика. — 1999. — Т. 121. — № 2.- С. 271 284.
  2. В.Э., Шабат A.B., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика.- 2000. Т. 125. — № 3. — С. 355 — 424.
  3. Ю. Г. О задаче Коши для линейных гиперболических си- стем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа
  4. Уфимский математический журнал. 2010. — Т. 2. — № 2. — С. 20- 26.
  5. А. М., Жибер А. В. О характеристическом уравнении ква-4 зилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ.- 2005. Т. 6. — № 2 (13). — С. 26 — 33.
  6. В. И., Миронова J1. Б. Об одной системе уравнений с дву. кратными старшими частными производными // Изв. вузов. Матем. 2007. — Т. 3. — С. 12 — 21.
  7. А. В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Известия РАН. Сер. матем. 1994.1. Т. 58. № 4. — С. 33 — 54.
  8. A.B. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и управления: Сб. статей УНЦ РАН, Уфа. 1994. — 192 с.
  9. A.B., Костригина О. С. Нелинейные гиперболические системы уравнений с интегралами первого порядка // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростов-на-Дону: РГУ. 2006. — С. 228 — 229. i
  10. A.B., Костригина О. С. Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли // Труды ИМ УНЦ РАН. 2007. — вып. 5. — С. 195 — 201.
  11. A.B., Костригина О. С. О нелинейных гиперболических системах уравнений, интегрируемых по Дарбу // Российская конференция «Математика в современном мире», посвященная 50-летию Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН. Новосибирск: Институт
  12. им. СЛ. Соболева СО РАН. 2007. (http: / / math.nsc.ru / conference/conf50/Abstracts.pdf).
  13. A.B., Костригина О. С. Точно интегрируемые модели волновых процессов // Вестник УГАТУ. 2007. — Т. 9. — № 7 (25). — С. 83 -89.
  14. A.B., Костригина О. С. Нелинейные гиперболические системы уравнений и характеристические алгебры Ли!/ Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2009. — С. 131 — 135.
  15. A.B., Костригина О. С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Международная
  16. J конференция MOGRAN-13 «Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений». Тезисы докладов. Уфа: УГАТУ, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, ИМ УНЦ РАН. 2009. -С. 15.
  17. А. В., Костригина О. С. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. 2010.- Т. 3. -№ 2. — С. 173 — 184.
  18. A.B., Костригина О. С. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка // Уфимский математический журнал. 2011 — Том 3. — № 3. — С. 67 — 79.
  19. A.B., Михайлова Ю. Г. О задаче Гурса для гиперболической системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Вестник УГАТУ. 2007. — Т. 9. — № 3 (21). — С. 136 — 144.
  20. A.B., Мукминов Ф. Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и ассимптотика их решений.—Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991.- С. 14 32.
  21. A.B., Муртазина Р. Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения иху = f(u, ux) //ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. 2006. — Т. 12. — № 7. — С. 65 — 78.
  22. A.B., Соколов В. В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики и управления. Уфа: Уфимский научный центр РАН. — 1995. -№ 2.-С. 51 — 65.
  23. A.B., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи мат. наук. 2001. — Т. 56.1. С. 63 — 106.
  24. A.B., Соколов В. В., Старцев С. Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Доклады РАН. 1995.- Т. 343. № 6. — С. 746 — 748.
  25. ЗОГ Звягин М. Ю. Уравнения второго порядка, приводимые преобразованием Беклунда к гху = 0 // Доклады АН СССР. 1991. — 316(1). -С. 36 — 40.
  26. Н.Х., Шабат А. Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда // Функциональный анализ и его приложения. 1980. — Т. 14. — С. 25 — 36.
  27. О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А. Ф. Леонтьева. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2007. — Т. 2. — С. 24 — 25.
  28. О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений экспоненциального типа с конечномерной характеристической алгеброй Ли 11 Уфимский математический журнал. 2009. -Т. 1. — № 3 — С. 57 — 64.
  29. А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних сим-метрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. — Т. 51. -№ 1. — С. 10 — 21.
  30. А. Н., Шабат А. Б. Условия обрыва рядов теории возмуш>ений
  31. Интегрируемые системы. БФАН СССР. 1982. — С. 34 — 44.
  32. A.B., Шабат A.B., Соколов В. В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и-кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. -1990. — С. 213 — 279.
  33. А.В., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметричный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. — Т. 42. — № 4. — С. 3 — 53.
  34. С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // Теоретическая и математическая фи1 зика. 2001. — Т. 127. — № 1. — С. 63 — 74.
  35. Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method J of Darboux // Duke Math. J. 1997. — V. 89. — № 2. — P. 351 — 375.
  36. Anderson I.M., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane // Duke Math. J. 1997. -V. 87. — № 2. -P. 265 — 319.
  37. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. — 1896. -V. 1 — 4.
  38. Goursat E. Lecons sur l’integration des equations aux derivees partielles du second order a deux variables independantes. Paris: Herman. — 1896, 1898. — Tome I, II.
  39. Goursat E. Recherches sur quelques equations aux derivees partielles du second ordre, Annales de la faculte des Sciences de l’Universite de Toulouse 2e serie, tome 1, n° 1 (1899) p.31−78.
  40. O. S. Kostrigina and A. V. Zhiber Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic systems of equations //J. Math. Phys. 52, 33 503 (2011) — doi:10.1063/1.3 559 134 (32 pages).
  41. Habibullin I. Characteristic algebras of fully discrete hypersjlic tyoeequations // Symetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, no 1, paper 023, 9 pages, (2005) //arxiv:SI/506 027
  42. Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. On the classification of -Darboux integrable chains // J. Math. Phys. 49 (2008) 102 702.
  43. Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. Complete list of Darboux integrable chains of the form tx = tx -fd (Mi) // J. Math. Phys. 50 (2009) 102 710.
  44. Habibullin I., Zheltukhina N. and Sakieva A. On Darboux-integrable semi-discrete chains //J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 434 017.
  45. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F (x, y, p, q, r, s, t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1939- 1942 — V. 18- 21. — № 9. — P. 1 — 61- 1 — 68.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?