Об устойчивости и управлении некоторыми системами с последействием

Изучение поведения и конструирование систем управления, обладающими требуемыми в приложениях свойствами, является ключевой задачей теории управления. При этом на первый план выдвигаются такие свойства систем, как устойчивость, оптимальность, поведение в присутствии неопределенных помех и так далее.

В настоящей работе основное внимание уделено исследованию эволюционных систем. Общее понятие абстрактной системы сформировалось за последние 30−40 лет, оно обладает большой общностью и его строгое определение достаточно сложно. Мы ограничимся некоторыми конкретными классами эволюционных систем и для них дадим все необходимые определения. На описательном уровне под эволюционной системой можно понимать техническую, физическую, биологическую, экологическую и любую иную систему, для которой изучаются изменения, протекающие в ней с течением времени. Математически эволюционные системы могут описываться различными способами. Укажем наиболее часто встречающиеся классы эволюционных систем и способы их описания:

• непрерывные системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями;

• дискретные системы, описываемые конечно-разностными уравнениями;

• системы с распределенными параметрами, описываемые эволюционными уравнениями в частных производных, такими, как, например, уравнения теплопроводности, колебаний, гидродинамики и так далее;

• системы с последействием, для описания которых используются функционально-дифференциальные уравнения. Такие системы возникают тогда, когда протекание процесса определяется не только состоянием системы в данный момент, но, также, и предысторией процесса;

• стохастические системы. Стохастической может быть любая из названных выше систем, для описания которой используются вероятностные понятия и методы.

Приведем примеры эволюционных систем:

1. солнечная система, которая описывается с очень высокой степенью точности системой обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых из закона всемирного тяготения Ньютона;

2. движение жидкости, обычно описываемое нестационарным уравнением в частных производных Навье-Стокса. Для описания турбулентных движений часто используют вероятностные методы;

3. движение самолета. В зависимости от требований точности такая система описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями либо при учете упругих элементов конструкций — уравнениями в частных производных. При использовании ЭВМ в контуре управления возникают разностные уравнения.

Необходимо отметить, что одна и та же реальная физическая система может быть описана разными математическими моделями в зависимости от целей исследования и требований точности адекватности описания. В последние годы все больший интерес проявляется по отношению к моделям процессов самой разнообразной природы, содержащих последействие. Это связано с тем, что обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с частными производными, вообще говоря, доставляют лишь первое приближение в описании реальных систем. Волее реалистические модели должны учитывать некоторые прошлые состояния этих системто есть, реальная система должна моделироваться дифференциальными уравнениями с временными запаздываниями. Временные запаздывания возникают столь часто, что пренебрегать ими означает игнорировать реальность.

Многие сложные процессы и явления в природе и технике описываются фукционально-дифференциальными и разностными уравнениями. Функциональные компоненты в уравнениях позволяют учитывать такое важное свойство как последействие или влияние предыстории. В. Вольтерра впервые обратил внимание на важность таких систем.

Основные классы функционально-дифференциальных уравнений таковы:

• функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа;

• функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа;

• интегральные и интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра;

• функционально-разностные уравнения.

Теория процессов, которые ими описываются, интенсивно развивается. Число функционально-дифференциальных уравнений, используемых в фундаментальной науке и прикладных областях, где они играют важную роль, сильно возрастает. Приложения варьируются от физиологии и производства лекарств до управления рыболовством и пищевых цепочек, от межвидовой конкуренции до проблем управления в микробиологи, от нейронных сетей до лазерной оптики и от движения твердого тела до колебаний потребительских цен. Кроме того, так как человеческая деятельность все более и более автоматизируется, важность учета запаздывания становится очевидной, так как используется все большее число крупного индустриального оборудования, такого как двигатели, вентиляторы, трансформаторы и компрессоры, а также ядерные реакторы. Исследование качественных свойств, устойчивости этих процессов и построение алгоритмов управления систем с последействием представляют огромный интерес для теории и практики.

Оптимальные алгоритмы решения задач управления в системах, которые описываются функционально-дифференциальными уравнениями довольно сложны даже для линейно-квадратического случая. Таким образом, построение эффективных алгоритмов управления для систем, описываемых функционально-дифференциальными и функционально-разностными уравнениями, является важной фундаментальной проблемой.

Важный класс задач возникает при управлении системами с переменным запаздыванием. Основной моделью в современных прикладных исследованиях является линейная стационарная система с дискретными запаздываниями по управлению или по состоянию. Для решения задач управления такими системами используются различные компенсаторы:'классический компенсатор О. Смита и более поздние компенсаторы Т. Георгиу и М.Смита. Эти компенсаторы обеспечивают робастность и устойчивость даже для неустойчивых первоначальных систем.

Кроме того, в некоторых приложениях не удается определить текущее состояние системы и возможны измерения лишь каких-либо его характеристик, и управление подобными системами может строиться только на основании этих характеристик. В частности в моделях, используемых при управлении впрыском топлива в автомобильном двигателе, измерениям, совершаемым с некоторым запаздыванием, доступен лишь знак решения. Подобные системы часто называют релейными, и законы управления ими представляют собой важный класс, обладающий многими специфическими свойствами.

В работе рассмотрены две независимые задачи. Первая задача состоит в определении эффективных условий устойчивости линейных разностных уравнений. Подобные условия для линейных разностных уравнений без запаздывания хорошо известны: они могут быть сформулированы в терминах существования положительно определенного решения уравнения Ляпунова, которое линейно относительно неизвестной матрицы, а также могут найдены на основании положения собственных значений матрицы системы. Более того, любое разностное уравнение с запаздыванием может быть сведено к разностному уравнению без запаздывания. Однако, при этом размерность матрйцы системы (или размерность уравнения Ляпунова) растет пропорционально величине запаздывания, и воспользоваться указанными выше способами нахождения условий устойчивости бывает весьма непросто даже при наличии относительно небольшого запаздывания. Поэтому, построение метода, который позволял бы получать такие условия для уравнений с произвольным запаздыванием, является актуальной проблемой теории устойчивости разностных уравнений.

Вторая задача связана с исследованием качественных свойств колебаний в системах с релейным управлением. Во многих случаях не удается измерять состояние процесса целиком, а делать выводы о его поведении можно лишь на основании данных, поступающих с каких-либо датчиков, поэтому исследование подобных систем имеет большое практическое значение. Как уже упоминалось выше, в некоторых приложениях имеет место ситуация, когда измерениям доступен лишь знак решения. В случае отсутствия запаздывания, движение в таких системах часто происходит в скользящем режиме, и оно достаточно хорошо изучено. Однако в системах с запаздыванием движение в скользящем режиме осуществляться не может, а потому изучение поведения и качественных свойств решений уравнений, описывающих подобные системы представляет собой весьма интересную задачу с теоретической и актуальную с практической точки зрения.

При этом необходимо подчеркнуть, что особый интерес представляет проблема существования у функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью устойчивых быстро колеблющихся решений, то есть таких решений, расстояние между соседними нулями которых меньше величины запаздывания. Подобные решения имеют преимущество по отношению к медленно колеблющемся с точки зрения, например, интегральных критериев, однако только совсем недавно была доказана принципиальная возможность существования устойчивых быстро колеблющихся решений таких уравнений. Поэтому, построение управлений, позволяющих получать такие решение представляет немалый интерес.

Целью работы является получение достаточных условий устойчивости линейных разностных уравнений, не зависящих от величины запаздывания, при помощи двухэтапного метода построения функций Ляпунова, а также изучение качественных свойств решений уравнений, описывающих поведение систем с релейным управлением, и построение законов управления, позволяющих получать устойчивые быстро колеблющиеся решения этих уравнений.

Работа имеет следующую структуру: в главе 1 даны определения устойчивости разностных уравнений, а также подробно изложен второй метод Ляпунова. Доказаны теоремы, лежащие в его основе, а также сделан обзор литературы, посвященной как второму методу Ляпунова в целом, так и двухэтапному методу построения функций Ляпунова для исследования устойчивости линейных дифференциальных, в том числе стохастических, а также разностных уравнений, описаны основные шаги двухэтапного метода.

В главе 2 с использованием двухэтапного метода построения функций Ляпунова исследована устойчивость линейных разностных уравнений. С его прмощью получены условия устойчивости линейных разностных уравнений, формулируемые в терминах существования положительно определенных решений некоторых матричных уравнений Риккати.

Главы 3 и 4 посвящены проблеме управления релейными системами с запаздыванием. В главе 3 проведена классификация и описаны основные свойства различных типов законов управления динамической системой, строящихся на основании измерений только знака решения, произведенного с некоторым положительным запаздыванием, а в главе 4 основное внимание уделено проблеме устойчивости быстро колеблющихся решений в релейных системах. Показано, что при специфических начальных условиях, то есть в тех случаях, когда начальная функция принадлежит некоторому специальному множеству, задача существования и устойчивости быстро колеблющихся решений исходного уравнения может быть сведена к задаче существования и устойчивости неподвижной точки некоторого дискретного отображения. Получены условия существования и устойчивости неподвижной точки этого отображения, формулируемые непосредственно в терминах параметров исходной системы. Иллюстрации и таблицы, относящиеся к каждой из глав, помещены в конце соответствующей главы.

Приношу благодарность Владимиру Борисовичу Колмановскому за научное руководство проводимыми мною исследованиями, ценнейшие замечания, тщательный анализ полученных результатов и большую помощь в их опубликовании.

Приношу, также, благодарность Валерию Романовичу Носову, без советов и идей которого было бы невозможным написание третьей и четвертой глав диссертации.

Кроме того, считаю своим долгом поблагодарить Валерия Николаевича Афанасьева, Наталью Ивановну Королеву и всех участников семинара «Управление и устойчивость», проводимого кафедрой «Кибернетика» МГИЭМ за предоставленную возможность рассказать на семинаре об основных результатах работы и полезные критические замечания, высказанные ими.

И, наконец, мне хотелось бы поблагодарить Леонида Ефимовича Шайхета за помощь в опубликовании результатов, на основе которых написана третья глава диссертации.

Заключение

.

В диссертационной работе были рассмотрены две независимые задачи: одна из них связана с методом отыскания условий устойчивости линейных разностных уравнений с запаздыванием, другая — с исследованием качественных свойств решений некоторых разрывных функционально-дифференциальных уравнений, а также построением законов управлений, обеспечивающих существование устойчивых быстро колеблющихся решений таких уранений.

Об устойчивости линейных разностных уравнений речь шла в главе 2. С помощью двухэтапного метода построения функции Ляпунова получены условия устойчивости этих уравнений, формулируемые в терминах существования положительно определенных решений некоторых матричных уравнений Риккати, размерность которых остается неизменной при любой величине запаздывания.

Основной результат второй главы сформулирован в теореме 2.3: если существует положительно определенное решение уравнения Риккати (2.21), то тривиальное решение общего линейного разностного уравнения (2.17), то есть линейного уравнения в конечных разностях самого общего вида, асимптотически устойчиво.

Для некоторых классов уравнений на основании теоремы 2.3 были получены условия их устойчивости, формулируемые непосредственно в терминах параметров этих уравнений (пример 2.3, а также скалярные уравнения).

Кроме того, предложен способ расширения области устойчивости, получаемой с помощью теоремы 2.3. Этот способ связан с итерациями исходного уравнения, то есть с исследованием устойчивости тривиального решения некоторого другого уравнения, получаемого путем преобразования исходного уравнения. Таким образом, несмотря на то, что исходное и преобразованное уравнение описывают, вообще говоря, разные системы, поведение их решений при к > ко одинаково. Следовательно, задача нахождения условий устойчивости исходного уравнения может быть сведена к задаче определения условий устойчивости преобразованного уравнения. Эффективность подобного подхода подтверждается примерами 2.4 и 2.5.

В третьей и четвертой главах рассмотрена задача, связанная с управлением колебаниями в функционально-дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью. Предложена классификация релейных законов управления и описаны свойства решений уравнений с этими управлениями. Показано, что медленно колеблющиеся решения, получаемые с помощью этих законов могут обладать самыми различными полезными свойствами вплоть до асимптотической устойчивости решений.

Среди прочих законов управления выделим СЗС-управления, которые сочетают в себе практически все достоинства законов из остальных классов, что осуществляется за счет выбора и в законах (3.22), (3.25) и (3.27). Кроме того, СЗС-управления наименее чувствительны к возможным возмущениям в системе, приводящим к скачкам решения за счет выбора к или — для закона с пятью сигнумами.

В последней главе доказана возможность существования устойчивых быстро колеблющихся решений функционально-дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью. Следуя терминологии третьей главы, рассматриваемое уравнение (4.3) представляет собой уравнение (3.1) с НДЗ-управлением.

Показано, что если начальная функция в уравнении (4.3) принадлежит множеству S3, определяемому соотношением (4.5), то поведение решений исходного уравнения (4.3) определяется поведением решений некоторого трехмерного дискретного отображения Ф, причем быстро колеблющиеся периодическое решение исходного уравнения соответствует неподвижной точке отображения Ф. Таким образом, задача об устойчивости быстро колеблющихся решений функционально-дифференциального уравнения может быть сведена к задаче об устойчивости неподвижной точки дискретного отображения.

Вычислен точный вид отображения Ф. В случае отсутствия мгновенной обратной связи оно линейно и удается получить область существования устойчивой неподвижной точки в пространстве параметров исходного уравнения. Доказана теорема 4.1 о том, что при небольших возмущениях начальной функции ф* Е S3, она за конечное время, не превышающее двух периодов решения, возвращается в множество S3. Следовательно, устойчивость неподвижной точки отображения Ф влечет за собой устойчивость быстро колеблющегося решения исходного уравнения.

В случае присутствия мгновенной обратной связи отображение Ф более сложно, и получить область существования устойчивой неподвижной точки не удается. Однако, для конкретных значений параметров показано, что такая точка существует, а значит, существует устойчивое быстро колеблющиеся решение уравнения (4.3).