Методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза стохастических моделей сложных объектов управления

Проблемы управления сложными объектами управления занимают в настоящее время значительное место в теории и практике управления [19, 26, 27, 35, 70, 71, 76, 79]. При разработке систем управления особо ответственным является этап идентификации параметров и структуры математической модели сложного объекта управления, от реализации которого в значительной степени зависит качество спроектированной системы управления, а также ее дальнейшее использование. Сложный объект управления (к числу которых можно отнести многие технологические и экономические процессы, биологические, экологические и медицинские системы) характеризуется стохастичностью, нестационарностью, многомерностью и многосвязностью [35, 36]. Поэтому даже в условиях нормального функционирования характеристики такого объекта изменяются под влиянием внешних воздействиями. Принципиальная невозможность учета всех воздействий и другие реальные факторы предопределяют необходимость постоянного уточнения законов функционирования и управления объектом. Уточнение закона функционирования объекта позволяет уменьшить степень априорной неопределенности и выбрать закон управления, обеспечивающий выполнение заданной цели.

Целью идентификации является определение такой структуры и параметров модели, которые бы давали с одной стороны «наибольшее» соответствие (удовлетворен критерий качества идентификации) между рассматриваемым физическим процессом и полученной математической моделью, а с другой — удовлетворение целей исследования [62]. Отсюда возникает с одной стороны проблема выбора класса моделей — детерминистического или стохастического, дискретного или непрерывного, а с другой стороны — подбор «наилучшего» метода идентификации параметров модели, т. е. задача структурно-параметрического синтеза моделей объектов управления в условиях неопределенности. Решению этой проблемы посвящено большое количество работ, как в отечественной, так и в зарубежной литературе (Тихонов А.Н. [100 отечественной, так и в зарубежной литературе (Тихонов А.Н. [100 — 103], Фе-доренко Р.П. [106], Дикусар В. В. [32], Вапник В. Н. [19], Ивахненко А. Г. [35 -38], Льюинг Л. [62], Гуреро К. [160], Эйкхофф.П. [98, 131], Эфрон Б. [132], Пракаса Рао Б.Л.С. [187] и др.).

В большинстве работ авторами рассматривается построение детерминистических моделей — зависимостей средних значений выходных переменных от входных переменных [19, 36, 62, 131, 132]. Действительно, детерминистические модели, используемые для описания многих физических явлений, приводят к хорошим результатам только, если входной сигнал не содержит шума или влияние шума незначительно [40, 53, 65]. Однако для большинства реальных физических систем влияние шума является существенным, и выбор такого класса моделей приводит к разнообразным проблемам: нестабильность состояния относительно моментов фазового вектора, уменьшение области устойчивости и т. п. [75, 86 — 88]. Кроме того, если состояние детерминированных систем определяется как минимальное количество информации об истории системы, необходимое для предсказания поведения системы в будущем, то для стохастических систем невозможно предсказать это поведение. Поэтому состояние стохастической системы определяется как минимальное количество информации, которое требуется для предсказания функции распределения в будущем. Очевидно, что описание таких систем при помощи хорошо известных детерминированных подходов не всегда плодотворно и не отображает действительной картины функционирования объекта [89, 98, 120, 121]. Не приспособлены также к решению задачи оптимального управления этим классом объектов разработанные методы для детерминированных систем. Таким образом, чтобы максимально приблизить формализованное представление к действительным условиям функционирования сложного объекта управления, повысить качество проектируемой системы и уменьшить степень априорной неопределенности, для описания модели объекта необходимо выбрать стохастический подход, а сам объект управления отнести к классу стохастических.

В последние годы математическое моделирование стохастических систем как в непрерывном, так и в дискретном времени получило особое внимание. Большой вклад в развитие методов идентификации такого класса систем внесли Басава И. Б. [137], Леви П. [55], Острем К. [77], Оксендаль Б. [185] и др. [51, 68, 82 — 85]. Для описания поведения таких систем было предложено использование стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Несмотря на то, что появилось достаточное количество методов оценивания параметров стохастических моделей, задача идентификации параметров СДУ остается трудноразрешимой и актуальной не только из-за своей некорректности по Адамару [31, 64, 80, 92, 100, ], но и из-за отсутствия аналитических решений СДУ [50, 171, 172, 185].

В связи с вышеизложенным разработка методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастических моделей объектов управления на основе ретроспективной обработки информации является актуальной научной задачей, решение которой позволит повысить эффективность принятия управленческих решений.

В качестве объекта исследования в работе выбран стохастический объект, отличительная особенность которого заключается в неоднозначным отклике на одни и те же входные воздействия. Кроме того, при детерминированном входном воздействии выходная переменная такого объекта не является детерминированной, а для выходной переменной этого класса объектов рассеивание тем больше, чем сильнее влияние шумов, что всегда связано с неопределенностью поведения объекта.

Современный уровень вычислительной техники позволяет сделать следующий шаг в повышении эффективности решения задачи идентификации рассматриваемого класса систем. Поэтому общая методика исследований базируется на результатах теории стохастических дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, теории решения некорректных задач, теории численных решений, системного анализа и имитационного моделирования. В работе используется пакет прикладных программ MATLAB 6.5.

Цель работы состоит в разработке методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза стохастической модели сложного объекта управления на основе ретроспективной информации и применении этих методов и алгоритмов для повышения эффективности управления конкретными системами. Для достижения цели исследования в диссертации решены следующие задачи:

1) определены особенности стохастических моделей, представленных в виде стохастических дифференциальных уравнений:

— определено понятие жесткости стохастических дифференциальных уравнений;

— проанализированы сильные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений при корректной и некорректной задачах (свойство жесткости);

— проводя аналогию с системами обыкновенных дифференциальных уравнений, предложен новый явный метод решения жестких систем как обыкновенных, так и стохастических дифференциальных уравненийметод X преобразования;

— проведены вычислительные эксперименты по исследованию свойств методов X преобразования;

2) разработаны методы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений:

— метод максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения;

— методы, основанные на повторениях Монте-Карло: метод максимального правдоподобияметоды, использующие критерии согласиякосвенный метод, использующий вспомогательную модель;

3) получены аналитические выражения оценок методом максимального правдоподобия для линейного стохастического дифференциального уравнения;

4) для предложенных методов идентификации разработаны алгоритмы и проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие их эффективность;

5) для линейного стохастического дифференциального уравнения доказана теорема о несмещенности оценок параметров, получаемых косвенным методом идентификации;

6) предложенные методы и алгоритмы нашли практическое применение в решении задач принятия управленческих решений в экономических (оценка ценового риска инвестирования в акции, оценка процентных ставок по краткосрочным обязательствам) и биологических системах (прогнозирование эпидемиологической ситуации), имеющих важное народнохозяйственное значение.

Основной текст диссертации состоит из пяти глав. В первой главе анализируются основные проблемы формализации сложных объектов управления: выбор модели, разработка численного алгоритма, программная реализация этой модели, корректность постановки задачи, а также формулируется постановка задачи исследования. Во второй главе показаны основные принципы построения численных методов решения СДУ: адаптация схем, существующих для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), с учетом свойств стохастических интегралов, или разработка специальных методов решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), а также причины возникновения такого явления как жесткость. Проанализированы свойства сильных явных схем при решении СДУ. Разработаны методы численного интегрирования решения жестких систем ОДУ и СДУ. Третья глава работы посвящена разработке методов идентификации параметров СДУ, основанных на принципе максимального правдоподобия: точный метод (метод максимального правдоподобия) и численные методы на основе схемы Монте-Карло (метод максимального правдоподобия, методы с использованием статистических критериев согласия и косвенный метод с использованием вспомогательной модели). В четвертой главе разрабатываются алгоритмы методов идентификации параметров СДУ. Реализация этих методов (кроме метода максимального правдоподобия для линейного СДУ) требовала оптимизации критерия качества идентификации при одновременном выполнении группы ограничений. Среди существующих подходов оптимизации в работе был выбран и адаптирован к условиям решаемой задачи — относительно простой с точки зрения программной реализации и потребления вычислительных ресурсов — квазиоптимальный метод — метод случайного поиска. Эффективность разработанных алгоритмов доказана при помощи статистического моделирования. В пятой главе разработанные методы и алгоритмы идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений применяются в задачах поддержки принятия управленческих решений: определение ценового риска инвестирования в акции, оценки процентных ставок краткосрочных облигаций, а также прогнозирования эпидемиологической ситуации.

Настоящая работа представляет собой результаты, полученные автором при выполнении ряда научно-исследовательских работ в Академии Свентокши-ской им. Яна Кохановского в Кельцах (Кельце, Польша) в рамках тем:

— 095/S/03 Моделирование процессов обучения;

— 01/W/03 Параметрическая идентификация математических моделей в социальных науках;

— 2012/12/Р Математическое моделирование оптимального управления портфелем в непрерывном времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Повышение эффективности управления динамическими системами, характеризующимися неоднозначными откликами на одни и те же входные воздействия, может быть достигнуто при помощи выбора соответствующего класса математических моделей. В качестве таких моделей в работе были использованы стохастические дифференциальные уравнения в интерпретации Ито с сильным решением. Поскольку качество проектируемой системы управления во многом зависит от результатов идентификации параметров модели, необходимо было определить методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза. В работе были проанализированы основные проблемы (отсутствие аналитического решения для большинства СДУ, некорректность постановки задачи идентификации) и предложены возможные пути их решения (создание устойчивых алгоритмом численного интегрирования решения СДУ и использование статистического моделирования методом Монте-Карло). Решение задач принятия управленческих решений доказало эффективность разработанных методов и алгоритмов идентификации.

В качестве дальнейших путей исследования можно предложить разработку методов оптимального управления (с точки зрения принятия управленческих решений), методов структурной идентификации и идентификации систем стохастических дифференциальных уравнений.

На защиту выносится следующие положения:

1. Результаты анализа сильных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений.

2. Метод решения жесткой системы стохастических дифференциальных уравнений: метод ^-преобразования.

3. Метод идентификации параметров линейных стохастических дифференциальных уравнений: метод максимального правдоподобия, для которого показаны аналитические выражения оценок параметров.

4. Группа методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений, использующих статистическое моделирование Монте-Карло:

— метод максимального правдоподобия, основанный на оценивании керн функции;

— метод, основанный на критерии Колмогорова-Смирнова;

— метод, основанный на критерии^;

— косвенный метод, использующий вспомогательную модель.

5. Теорема о несмещенности оценок параметров косвенного метода идентификации.

6. Алгоритмы методов идентификации параметров стохастических дифференциальных уравнений, процедуры оптимизации которых используют зондирование области возможного нахождения параметров последовательностями ЛПт.

7. Алгоритм построения области возможного нахождения параметров.

8. Пакет прикладных программ, обеспечивающих реализацию численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений.