Сходимость многочленов на пространствах с мерами

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

.

Изучение измеримых многочленов на бесконечномерных пространствах с мерами восходит к классическим работам Н. Винера, Р. Камерона, У. Мартина, К. Ито, И. Сигала1,2,3,4. Такие многочлены сначала появились в виде кратных стохастических интегралов по винеровскому процессу и рядов из многочленов от конечного числа переменных, а затем уже в более абстрактном виде. Позже они изучались многими авторами, см. работы0'6'7'8,9,10,11,12,13'14'15'16. В двух последних книгах подробно рассмотрен гауссовский случай и приведена обширная библиография по современным исследованиям. Негауссовский случай был впервые исследован О.Г. Смоляновым6 еще в 60-х годах.

Измеримые многочлены важны как для общей теории, так и для разнообразных приложений в статистике, математической физике, стохасти.

1 Wiener N. The homogeneous chaos. Amer. J. Math. 1938. V. 60. P. 879−936.

2Cameron R.H., Martin W.T. The orthogonal development of поп linear functionals in series of Fourier-Hermite polynomials. Ann. Math. 1947. V. 48. P. 385−392.

3ItO K. Multiple Wiener integral. J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3. P. 157−169.

4Segal I. Tensor algebras over Hilbert spaces. I. Trans. Amer. Math. Soc. 1956. V. 81, N 2. P. 106−134.

5Вершик A.M. Общая теория гауссовских мер в линейных пространствах. Успехи мат. наук. 1964. Т. 19, N 1. С. 210−212.

6Смалянов О. Г. Измеримые полилинейные и степенные функционалы в некоторых линейных пространствах с мерой. ДАН СССР. 1966. Т. 170. С. 526−529.

7Гихман И.И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1. Наука, М., 1971.

8Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.

9Добрушин Р.Л., Минлос Р. А. Полиномы от линейных случайных функций. Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, N 2. С. 67−122.

10Дороговцев А. А. Стохастический анализ и случайные отображения в гильбертовом пространстве. Наукова думка, Киев, 1982.

11Далецкий Ю.Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.

12Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. Наука, М., 1987.

13Давыдов Ю. А, О распределениях кратных интегралов Винера-Ито. Теория вероятн, и ее при-мен. 1990. Т. 35. С. 51−62.

14Janson S. Gaussian Hilbert spaces. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

15Богачев В. И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.

16Bogachev V.I. Gaussian measures. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1998. ческом анализе. Это красивый и интересный объект, который определяется сравнительно просто, но обладает весьма нетривиальными свойствами и до сих пор является источником открытых проблем. Эти проблемы имеют как качественный, так и количественный характер, например, относятся к каким-либо асимптотическим свойствам или оценкам. Нередко проблемы такого рода имеют дело даже с конечномерными многочленами, но зависящими от большого числа переменных, не ограниченного в совокупности.

Хорошо известно, что на пространстве многочленов фиксированной степени на конечномерном пространстве все нормы эквивалентны. Для многочленов от бесконечного числа переменных это уже не так. Однако некоторые весьма содержательные аналоги указанного конечномерного факта сохраняются и в бесконечномерном случае. Например, известно, что для фиксированной радоновской гауссовской меры 7 на локально выпуклом пространстве X при фиксированном натуральном d на пространстве Pd (7) всех 7-измеримых многочленов степени не выше d эквивалентны все нормы из 1^(7). Характерной чертой бесконечномерного случая оказывается использование измеримых многочленов, которые не являются непрерывными или всюду определенными. Например, в случае меры Винера типичные измеримые многочлены задаются кратными стохастическими интегралами. Даже простейшие непостоянные измеримые многочлены первой степени, представляющие собой стохастические интегралы (интегралы Винера) детерминированных функций по винеров-скому процессу оказываются непрерывными функциями на пространстве траекторий лишь для детерминированных функций ограниченной вариации.

Попытки получить не зависящие от размерности аналоги конечномерного результата об эквивалентности норм восходят к работе Е. Ремеза17, в которой в одномерном случае получены оценки на рост модуля.

17Remez E.J. Sur ипе ргорпёЬё extremale des polyndmes de Tschebychef. Сообщ. Харьк. мат. о-ва. 1936. Т. 13. С. 93−95. многочлена степени d в терминах поведения многочлена на множестве положительной меры. Позже аналогичные результаты были получены для многочленов многих переменных. Современное понимание теоремы Е. Ремеза привело к осознанию роли функции распределения значений модуля многочлена. Первый существенный шаг был сделан Ж. Бургэ-ном, который в своей ставшей уже классической работе18 получил оценку функции распределения значений модуля многочлена, не зависящую от размерности. В дальнейшем идея Ж. Бургэна о связи оценок функции распределения значений модуля многочлена с геометрическими характеристиками выпуклых тел, близких неравенству Брунна-Минковского, получила широкое развитие, см., например, работы19,20,21,22,23. Использование геометрических неравенств типа неравенства Брунна-Минковского привело к рассмотрению вероятностных выпуклых (иное название: логарифмически вогнутых) мер, связанных с логарифмически вогнутыми функциями, которые еще в 80-х годах прошлого века широко использовались в стохастическом программировании, см., например, работу24. Оказалось, что практически все выпуклые меры на конечномерном пространстве можно получить, используя неравенство Брунна-Минковского в высших размерностях25. Это привело к новому всплеску исследований задач, связанных с оценками многочленов в измеримых пространствах с.

18Bourgain J. On the distribution of polynomials on hight dimensional convex sets. Lecture Notes in Math. 1991. V. 1469. P. 127−137.

19Bobkov S.G. Large deviations and isoperimetry over convex probability measures with heavy tails. Electr. J. Probab. 2007. V. 12, N 39. P. 1072−1100.

20Bobkov S.G., Nazarov F.L. On convex bodies and log-concave probability measures with unconditional basis. Geometric Aspect of Functional Analysis. Lecture Notes in Math. 2003. V. 1807. P. 53−69.

21Carbery A. Wright J. Distributional and Lq norm inequalities for polynomials over convex bodies in Rn. Math. Res. Lett. 2001. V. 8. P. 233−248.

22Gromov M., Milman V. Brunn theorem and a concentration of volume phenomena for symmetric convex bodies. Lecture Notes in Math. 1984. V. 1469. P. 127−137.

23Klartag В., Milman V.D. Geometry of log-concave functions and measures. Geometriae Dedicata. 2005.V. 112.P. 169−182.

24Prekopa A. Logarithmic concave measures and related topics. Stochastic Programming. Ed. by M.A.H. Dempster. P. 63−82. Academic Press, New York, 1980.

25Назаров Ф., Содин M., Всшьберг А, Геометрическая лемма Каннана — Ловаса — Шимоновича, не зависящие от размерности оценки распределения значений полиномов и распределение нулей случайных аналитических функций. Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, N 2. С. 214−235. выпуклыми мерами, см., например, работы25'26,27, а также имеющиеся в них ссылки.

С другой стороны, в недавней работе А. А. Дороговцева28 было показано, что в случае, когда X — гильбертово пространство, ½(7)-норма на пространстве Pd (l) эквивалентна ?2(7|я)-норме, где 7|в — сужение меры 7 на единичный шар В пространства X. Однако оставался открытым вопрос о справедливости аналогичных утверждений как для более общих множеств, так и для более общих мер. Затронутые вопросы имеют важные и интересные качественные и количественные аспекты. Основные результаты диссертации получены путем сочетания количественных оценок и различных качественных соображений, связанных с рассмотрением асимптотических свойств последовательностей случайных величин. Последнее обстоятельство связывает тематику работы с предельными теоремами теории вероятностей, см. работы29,30 Здесь уместно напомнить, что полиномиальные статистики широко используются в приложениях.

Цель работы.

Целью настоящей работы является изучение связей между интегральными нормами на пространствах измеримых многочленов фиксированной степени на бесконечномерном пространстве с мерой, полученными интегрированием по всему пространству и интегрированием по подмножеству. Кроме того, изучается связь между сходимостью многочленов фиксированной степени по мере на подмножестве и на всем пространстве.

26Bobkov S.G. Remarks on the growth of Lp-norms of polynomials. Lecture Notes in Math. 2000. V. 1745. P. 27−35.

27I.

28Дороговцев A.A. Измеримые функционалы и финитно абсолютно непрерывные меры на банаховых пространствах. Укр. матем. журн. 2000. Т. 52, N 9. С. 1194−1204.

29Прохоров Ю.В., Висков О. В., Хохлов В. И. Биномиальные аналоги неравенства Чернова. Теория вероятн. и ее примен. 2001. Т. 46, N 3. С. 592−594.

30Гетце Ф., Прохоров Ю. В., Ульянов В. В. Оценки для характеристических функций многочленов от асимптотически нормальных случайных величин. Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N 2. С. 3−26.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. В случае гауссовской меры доказано, что всякая ХЛ-норма на пространстве измеримых многочленов фиксированного порядка эквивалентна любой 27-норме относительно сужения данной меры на любое подмножество положительной меры. Аналогичное утверждение доказано для мер, абсолютно непрерывных относительно гауссовских.

2. Описаны широкие классы выпуклых мер, на которые переносится предыдущий результат. К этому классу относятся линейные образы счетных произведений выпуклых мер на конечномерных пространствах.

3. Построены примеры, показывающие, что без существенных ограничений на меры доказанные результаты теряют силу даже для очень хороших множеств. В частности, даже для шаров они не переносятся на меры, абсолютно непрерывные относительно суммы двух гауссовских мер.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории меры, в частности, теория условных мер, функционального анализа, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции, разработанные автором диссертации.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории меры, теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистике, нелинейном анализе и математической физике.

Апробация диссертации.

Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре &bdquo-Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Бо-гачева и Н. А. Толмачева (МГУ, 2003;2008 гг.), на конференциях молодых ученых Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (2004, 2007 гг.) и на международной конференции &bdquo-Пространство Скорохода: 50 лет спустя" (Киев, 2007 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 9 параграфов, и списка литературы из 47 наименований. Общий объем диссертации составляет 62 страницы.

1. Богачев В. И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.

2. Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва Ижевск, 2006.

3. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва Ижевск, 2008.

4. Вахания Н. Н. Тариеладзе В.И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. Наука, М., 1985.

5. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. Наука, М., 1996.

6. Вершик A.M. Общая теория гауссовских мер в линейных пространствах. Успехи мат. наук. 1964. Т. 19, N 1. С. 210−212.

7. Гетце Ф., Прохоров Ю. В., Ульянов В. В. Оценки для характеристических функций многочленов от асимптотически нормальных случайных величин. Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N 2. С. 3−26.

8. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1. Наука, М., 1971.

9. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. Мир, М., 1979.

10. Давидович Ю. С., Коренблюм Б. И., Хасет Б. И. О свойствах логарифмически вогнутых функций. Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. С. 1215−1218.

11. Давыдов Ю. А. О распределениях кратных интегралов Винера-Ито. Теория вероятн. и ее примен. 1990. Т. 35. С. 51−62.

12. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.

13. Добрушин P.JI., Минлос Р. А. Полиномы от линейных случайных функций. Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, N 2. С. 67−122.

14. Дороговцев А. А. Стохастический анализ и случайные отображения в гильбертовом пространстве. Наукова думка, Киев, 1982.

15. Дороговцев А. А. Измеримые функционалы и финитно абсолютно непрерывные меры на банаховых пространствах. Укр. матем. журн. 2000. Т. 52, N 9. С. 1194−1204.

16. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. Наука, М., 1987.

17. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. Мир, М., 1971.

18. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, М., 1972.

19. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Наука, М., 1977.

20. Прохоров Ю. В., Висков О. В., Хохлов В. И. Биномиальные аналоги неравенства Чернова. Теория вероятн. и ее примен. 2001. Т. 46, N 3. С. 592−594.

21. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. Мир, М., 1977.

22. Рудин У. Функциональный анализ. Мир, М., 1975.

23. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.

24. Смолянов О. Г. Измеримые полилинейные и степенные функционалы в некоторых линейных пространствах с мерой. ДАН СССР. 1966. Т. 170. С. 526−529.

25. Bobkov S.G. Remarks on the growth of Lp-norms of polynomials. Lecture Notes in Math. 2000. V. 1745. P. 27−35.

26. Bobkov S.G. Large deviations and isoperimetry over convex probability measures with heavy tails. Electr. J. Probab. 2007. V. 12, N 39. P. 10 721 100.

27. Bobkov S.G., Nazarov P.L. On convex bodies and log-concave probability measures with unconditional basis. Geometric Aspect of Functional Analysis. Lecture Notes in Math. 2003. V. 1807. P. 53−69.

28. Bogachev V.I. Gaussian measures. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1998.

29. Bogachev V.I. Measure theory. V. 1, 2. Springer, Berlin, 2007.

30. Borell C. Convex measures on locally convex spaces. Ark. Math. 1974. V. 12. P. 239−252.

31. Bourgain J. On the distribution of polynomials on hight dimensional convex sets. Lecture Notes in Math. 1991. V. 1469. P. 127−137.

32. Cameron R.H., Martin W.T. The orthogonal development of поп linear functionals in series of Fourier-Hermite polynomials. Ann. Math. 1947. V. 48. P. 385−392.

33. Carbery A. Wright J. Distributional and Lq norm inequalities for polynomials over convex bodies in Rn. Math. Res. Lett. 2001. V. 8. P. 233−248.