Методика изучения фрактальной структуры гравитационных аномалий и геологических сред при интерпретации данных гравиметрии

ИДЕИ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКЕ (краткий обзор литературы)11.

I Глава 1. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АНОМАЛИЙ.

ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ И ПАРАМЕТРОВ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД18.

1.1.

Введение

18.

1.2. Природные нестационарные фрактальные системы 19.

1.3. Функция локальной размерности нестационарных фракталов25.

1.4. Математическое моделирование случайных нестационарных фрактальных множеств, являющихся графиками функций27.

1.5. Определение локальных размерностей нестационарных фрактальных множеств, являющихся графиками функций30.

1.6. Нестационарные фрактальные свойства физических параметров горных пород37.

1.7. Нестационарные фрактальные свойства аномалий гравитационного поля46.

1.8. Обсуждение результатов первой главы56.

Глава 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД С ФРАКТАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ МАСС ПРИ РЕШЕНИИ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИРАЗВЕДКИ59.

2.1.

Введение

59.

2.2. Влияние фрактальной структуры геологических сред на определение средних величин физических параметров на примере простейших прямых задач гравиразведки60 I.

2 3. Методика решения обратной двумерной линейной задачи гравиразведки для сред с фрактальным распределением аномальных масс67.

2.3.1.

Введение

67.

2.3−2. Постановка обратной задачи.69.

2 3 3 Алгоритм поиска решения.74.

2.3.4. Практическая реализация методики.76 I.

2Д5. Апробация методики на модельных примерах.80.

24. Обсуждение результатов второй главы 90.

Глава 3. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВ АНОМАЛИЙ БУГЕ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ93.

3.1.

Введение

93.

3 2. Фрактальные свойства аномалий Буге как функции высоты95.

В 3. Практическое опробование методики101.

3.4. Обсуждение результатов третьей главы101.

ВЫВОДЫ103.

ЛИТЕРАТУРА

107.

АВТОРСКАЯ ЛИТЕРАТУРА 114.

Яркими и фундаментальными работами Бенуа Мандельброт пробудил всеобщий интерес к фрактальной геометрии — понятию, введенному самим Мандельбротом. В своих работах он предлагает лишь пробные определения понятия «фрактал», заявляя, что они не являются окончательными. Приведем одно из таких определений: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Здесь подчеркивается отличительный признак фракталов: фрактал выглядит одинаково в каком бы масштабе его ни наблюдать.

Свойство самоподобия, фрактальность геологических объектов отмечается многими исследователями. Так, в монографии Д. Л. Туркотте [82], наиболее полной работе, посвященной фракталам в геологии и геофизике, говорится о том, что масштабная инвариантность геолого-геофизических явлений — это именно то, с чего нужно начинать обучение студентов геологии. Однако несмотря на то, что понятие фрактала предложено Б. Мандельбротом еще в 50-х годах, лишь сравнительно недавно геоморфологические, а затем и геологические объекты стали рассматриваться с позиции фрактальной геометрии.

В ряде областей геофизики к настоящему времени отмечается значительный прогресс в понимании фрактальной природы геологических сред (исследование сейсмических и тектонических явлений, теория разрушения горных пород, геоморфология и некоторые другие направления [11, 65] и др.). При этом в периодической литературе практически не встречаются какие-либо значимые работы, посвященные приложению идей фрактальной геометрии к геологической интерпретации потенциальных, в частности гравитационных полей. В этом скрыто некоторое противоречие, поскольку различные геофизические методы по сути занимаются исследованием общего объекта — земной литосферы. 1.

Таким образом можно полагать, что данная диссертационная работа в какой-то мере восполнит тот пробел, который намечается в последнее время в прикладной геофизике, в частности в вопросах использования идей и методов теории фракталов при интерпретации данных гравиразведки.

На ранних этапах развития геофизических методов, в частности гравиметрии, был заложен фундамент для физико-геологического моделирования, основанного на конструкциях, при составлении которых использовались объекты наиболее простых геометрических форм (шар, круговой цилиндр, призма и т. п.). Причина интенсивного использования таких объектов при моделировании связана с простотой их математического описания и имеет свои исторические корни. Составление моделей, имеющих ясную для восприятия геометрическую форму, являлось для исследователей основой интуитивного понимания геометрии природы. Очевидно и то, что на ранних стадиях развития геофизики отсутствовала вычислительная техника достаточной мощности, поэтому использование объектов элементарных геометрических форм при моделировании было совершенно вынужденным.

Появление быстродействующих компьютеров позволило освоить I численное решение прямых задач гравиразведки для моделей практически любой сложности. Однако решение обратных задач гравиразведки в целом по-прежнему остается актуальной проблемой, поскольку она далеко выходит за рамки чисто вычислительной процедуры.

Идея использования сведений о фрактальных свойствах геологической среды в качестве априорной информации при решении прямых и обратных задач гравиразведки имеет несколько важных аспектов.

Во-первых, фрактальная структура среды может существенно повлиять на результаты вычисления средней плотности и гравитационного эффекта какой-либо аппроксимационной геометрической модели. Эта проблема нетривиальна, поскольку большинство практических задач гравиразведки связано с исходной принципиальной недостаточностью информации для получения более точного решения.

Во-вторых, фрактальность, самоподобие геологических сред есть ни что иное, как свойство масштабной инвариантности, позволяющее упрощать описание геологической среды. По сути математическое моделирование фракталов сводится к некоторой рекурсивной (самовызываемой) процедуре. На этом принципе можно строить сложные содержательные физико-геологические модели, используя при этом небольшой набор независимых переменных.

В-третьих, фрактальная размерность — количественная характеристика масштабной инвариантности, связана с понятием устойчивости. Применительно к обратным задачам гравиразведки, устойчивость решения оказывается напрямую связанной с фрактальной размерностью распределения аномальных масс в среде, то есть определяется свойствами самой геологической среды.

Для задач гравиразведки автор предлагает два подхода к моделированию. Первый относится к линейным обратным задачам, то есть задачам, в которых при заданной геометрии тел искомыми являются значения их избыточных плотностей. В качестве аппроксимационных конструкций среды в этом случае могут быть использованы фрактальные самоаффинные функции, определенные в узлах регулярной сети. Второй подход может быть предложен для нелинейных задач, то есть задач, для которых варьируемыми величинами являются геометрические параметры. Здесь фрактальная плотностная модель среды может быть построена на основе идеи использования аффинных преобразований. Заметим также, что моделирование фрактальных сред в некотором смысле стирает грань между линейными и нелинейными обратными задачами гравиразведки, поскольку в этом случае значения плотностей элементов модели и их пространственное положение имеют определенную взаимосвязь. 1.

При исследовании фрактальных свойств параметров геологических сред и физических полей Земли процедура вычисления фрактальной размерности может быть использована для решения задачи изучения структуры геологических сред.

Если рассматривать геологические среды как большие иерархические системы, то информация о фрактальных свойствах параметров среды может быть выражена в терминах понятий устойчивости и сложности системы. Самоорганизация иерархического типа предполагает существование в рамках общей системы отдельных подсистем, функционирование которых, выражаясь фигурально, имеет «федеративный» характер, то есть поведение подсистем координируется на других уровнях иерархии. Объектами исследований в этом случае являются системы, имеющие пространственно-временное распределение локальных фрактальных свойств. Для описания таких систем автором предложен новый термин «нестационарные фракталы», поскольку их свойства не укладываются в рамки традиционных для теории фракталов понятий — монофракталов и мультифракталов.

Резюмируя сказанное выше, можно утверждать, что цель настоящей диссертационной работы заключается в теоретическом и экспериментальном доказательстве возможности и эффективности применения идей и методов теории фракталов для исследования структуры геологических сред и гравитационных аномалий при интерпретации данных гравиметрии.

При этом основные задачи, поставленные для достижения намеченной цели, можно сформулировать следующим образом.

1. Разработка теоретической основы методики исследования фрактальных свойств физических параметров геологических сред и гравитационных аномалий с целью изучения структуры геологических сред.

2. Изучение фрактальных свойств физических параметров горных пород (плотности и коэффициента пористости), а также фрактальных свойств аномалий силы тяжести и ее вертикальной производной.

3. Теоретическое обоснование методики определения плотности промежуточного слоя по гравиметрическим данным на основе принципа выделения «полезного сигнала» из «фрактального шума», апробация методики при решении практических задач для различных масштабов гравиметрической съемки.

4. Разработка методики численного решения линейной обратной двумерной задачи гравиразведки для модели среды с фрактальным распределением аномальных масс. Проведение анализа сходимости, устойчивости к неточностям поля, области е-эквивалентности, содержательности и достоверности получаемых решений.

Решение перечисленных задач привело к следующим результатам, выдвигаемым в качестве основных защищаемых положений:

I. Предложенная методика анализа нестационарных фрактальных свойств физических параметров горных пород и гравитационных аномалий позволяет изучать особенности структуры геологических сред.

II. Использование сведений о фрактальных свойствах среды как априорной информации при построении модельного класса существенно повышает достоверность и информативность решений обратных линейных задач гравиразведки.

III. Применение разработанного автором способа вычисления плотности промежуточного слоя по гравиметрическим данным с помощью процедуры выделения «полезного сигнала» из «фрактального шума» эффективно при гравиметрических съемках различного масштаба.

Ряд полученных в работе результатов и выводов являются новыми и имеют самостоятельную практическую ценность для задач геологической I интерпретации гравиметрических данных:

1. Предложен новый подход к исследованию фрактальных свойств систем с иерархической организацией. В основе подхода лежит представление о пространственно-временном распределении локальных фрактальных свойств иерархических систем. Для описания таких систем автором введен новый термин «нестационарные фракталы», разработаны способы моделирования и вычисления локальных размерностей нестационарных фракталов.

2. В результате исследования нестационарных фрактальных свойств плотности и коэффициента общей пористости, полученных по лабораторным данным и ГИС, установлена общая закономерность поведения локальных размерностей физических параметров с глубиной (периодичность по логарифму глубины), а также приуроченность интервалов обнаруженных нефтепроявлений и промышленных притоков нефти к повышенным значениям локальной размерности физических параметров.

3. Предложена методика определения плотности промежуточного слоя, основанная на процедуре выделения «полезного сигнала» из «фрактального шума», не требующая дополнительных гравиметрических измерений, наличия типовых элементов рельефа и предварительных сведений о функции распределения «ошибок» .

4. Установлена связь фрактальной размерности аномалий вертикальной производной силы тяжести Уг2 с фрактальной размерностью распределения избыточной плотности в среде.

5. Установлена нефрактальность аномалий силы тяжести Vz фрактальные свойства распределения избыточной плотности в среде не отражаются в этой характеристике гравитационного поля.

6. Разработана методика решения двумерной линейной обратной задачи гравиразведки с использованием априорных сведений о фрактальных свойствах распределения аномальных масс в среде.

Материалы диссертации докладывались на семинарах и конференциях: Первой Всероссийской конференции «Мониторинг геологической среды: активные эндогенные и экзогенные процессы» (Казань, 10−15 ноября 1997 г.), Международном семинаре им. Д. Г. Успенского (26 сессия) «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Екатеринбург, 1999), а также на ежегодных научных конференциях Казанского госуниверситета (1996, 1997, 1998). По теме диссертации опубликовано шесть научных работ.

Диссертация состоит из введения, краткого обзора литературы по теме диссертации, трех глав, заключения, списка цитируемой и авторской литературы. Диссертация содержит 114 страниц, 30 рисунков и 3 таблицы. Полный список литературы содержит 86 наименований.

выводы.

Сформулируем в краткой форме наиболее важные результаты, полученные в данной работе.

1) Системы, обладающие иерархической организацией, каковыми являются геологические среды, обладают пространственно-временным распределением локальных фрактальных свойств. Для описания таких систем автором введен новый термин — «нестационарные фракталы», поскольку их свойства не укладываются в рамки традиционных для теории фракталов понятий — монофракталов и мультифракталов. Как было показано в первой главе, реализация идеи фрактальной нестационарности для стохастических самоафинных функций приводит к расширенному классу нестационарных самоафинных функций типа броуновских, включающему в себя как более частные случаи обычные броуновские и обобщенные броуновские функции. Такое обобщение оказалось весьма плодотворным при изучении фрактальных свойств физических параметров горных пород и аномалий гравитационного поля.

2) В результате анализа нестационарных фрактальных свойств плотности и коэффициента общей пористости, полученных по лабораторным данным и ГИС, установлена общая закономерность поведения локальных размерностей физических параметров с глубиной (периодичность по логарифму глубины), а также приуроченность интервалов обнаруженных нефтепроявлений и промышленных притоков нефти к повышенным значениям локальной размерности физических параметров.

3) Аномалии силы тяжести У7 для модели среды с фрактальным распределением избыточной плотности, не фрактальны и не отражают фрактальность распределения избыточных плотностей в среде.

Полученный результат свидетельствует в целом о низкой информативности этой характеристики гравитационного поля, и позволяет по-новому взглянуть на проблему высокой неустойчивости решений обратных задач гравиразведки.

4) Аномалии вертикальной производной силы тяжести У&bdquoдля той же модели имеют фрактальную размерность, совпадающую с размерностью распределения избыточных плотностей в среде. Данная характеристика гравитационного поля, таким образом, содержит информацию о фрактальных свойствах средыэта информация может быть использована для изучения блоковой структуры земной коры, обнаружения разломов, областей тектонической неустойчивости, ослабленных зон, и в целом дает количественную оценку и пространственную локализацию физико-геологическим проявлениям, отражающимся на степени неустойчивости, структурной сложности распределения аномальных масс в земной коре.

5) Разработанная методика решения линейной двумерной обратной задачи гравиразведки с использованием сведений о фрактальных свойствах среды как априорной информации при построении модельного класса, существенно повышает эффективность решения обратных задач гравиметрии. Все полученные выводы, касающиеся устойчивости, области эквивалентных решений, размерности пространства поиска решения и в целом достоверности и информативности получаемых в процессе решения обратной задачи результатов, зависят от фрактальной размерности, реальной наблюдаемой в геологических средах, то есть определяются свойствами самой геологической среды.

6) Предложенный способ определения плотности промежуточного слоя, основанный на процедуре выделения «полезного сигнала» из «фрактального шума», не требует дополнительных гравиметрических измерений, наличия типовых элементов рельефа и предварительных сведений о функции распределения «ошибок», поскольку оперирует более общим понятием размерности множества. Данный способ может быть успешно применен при гравиметрических съемках различного масштаба.

Многие вопросы, касающиеся применения методов теории фракталов для решения геофизических задач, остались в данной работе не освещены или освещены не в полной мере, поскольку круг таких вопросов крайне широкздесь требуются дальнейшие исследования. Остановимся на некоторых из таких вопросов.

В связи с результатами, изложенными в 3 и 4 пунктах, напрашивается вопрос о том, насколько оправдана полная ориентация производственной гравиметрии на съемки поля силы тяжести. На взгляд автора, будущее гравиметрического метода связано с вычислением высших производных гравитационного потенциала, и возможно уже сейчас нужно искать возможности для создания надежной и точной аппаратуры, позволяющей производить такие измерения.

В первом разделе второй главы на некоторых примерах решения прямых задач гравиразведки было показано, что фрактальная структура среды может существенным образом повлиять на результат определения средних величин физических параметров.

Эта проблема существует для чрезвычайно широкого класса прямых и обратных задач геофизики. В связи с этим нужно сказать, что математический аппарат, используемый для решения задач геофизики, в принципе не учитывает «шероховатость», стохастическую фрактальность, недифференцируемость функций реальных физических величин. Между тем уже более века известен аппарат дробного интегродифференцирования, позволяющий оперировать подобными функциями [39]. Как показано в работе [78], операции дробного интегрирования и дифференцирования могут быть интерпретированы как интегродифференцирование гладких функций на фрактальных множествах.

С точки зрения дробного интегрирования и дифференцирования представляют интерес, например, производные дробного порядка, которые могут быть использованы при изучении физических полей, моменты дробного порядка, при статистическом анализе геофизических данных, и т. п.

Подход, основанный на выделении «полезного» сигнала в виде некоторой гладкой или кусочно-гладкой функции из фрактального «шума», предложенный в третьей главе, может быть применен и при решении других задач. Например подобный алгоритм, можно предложить при определении оптимальной функциональной зависимости различных физических величин (плотность — скорость, плотность — пористость и т. п.).

Поиск фундаментальных законов природы по своей сути сводится к нахождению инвариантов природы. Именно этот факт отражен в законах сохранения физики. В таком контексте, масштабная инвариантность, присущая фракталам, есть свойство особого рода симметрии природы, закономерности, позволяющей упрощать описание изучаемых объектов.

Представление о масштабной инвариантности геолого-геофизических явлений, как уже было сказано, требует перемен в производстве геофизических измерений, оказывает влияние на используемый при геологической интерпретации геофизических данных математический аппарат, и в целом, затрагивает научно-мировоззренческую позицию исследователей.

Скорейшее внедрение в теорию и практику геофизики идей фрактальной геометрии, является, на наш взгляд, важной задачей ближайшего будущего, и возможно, станет выходом из того кризиса в отечественной геофизике, о котором говорят многие специалисты.