Известно, что всякое гладкое векторное поле может быть представлено в виде суммы соленоидального поля (поля без источников) и некоторого потенциального поля. Это утверждение часто называют теоремой Гельмголъца, в частности, в учебнике по математическому анализу [1]. Приведем формулировку этой теоремы из данного учебника.
Теорема. Любое гладкое в области D евклидова ориентированного пространства К3 поле F можно разложить в сумму F = Fi + F2 безвихревого поля Fi и соленоидального поля F2.
Доказательство этого факта сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области D. В самом деле, если применить оператор div к полю F и решить задачу Дирихле то для поля F можно будет написать представление.
F = gradp + (F — gradp), в котором, как очевидно, поля Fi = gradp и F2 = (F —gradp) являются, соответственно, безвихревым и соленоидальным. Граничное условие (2) в задаче Дирихле мы специально не конретизировали, поскольку при любом условии.
Ар = divF pdD = • • •,.
1) (2) будет получаться некоторое представление Гельмгольца, важно только, что р является решением уравнения Пуассона (1).
Видно, что представление Гельмгольца неоднозначно. Произвол появляется ввиду того, что классы безвихревых и соленоидальных векторных полей имеют непустое пересечение. Однозначное представление можно получить, если потребовать, скажем, вместо произвольного потенциального поля такое, у которого потенциал имеет нулевое значение на границе области D, и для получения этого представления решать задачу Дирихле (1), (2) с нулевым краевым условием.
Приведенная выше классическая теорема имеет важное значение для теории уравнений с частными производными не только ввиду ее тесной связи с задачей Дирихле для уравнения Пуассона, но и по той причине, что в этой теореме дается некоторое представление о ядрах дифференциальных операторов первого порядка rot и div, точнее об их в некотором роде взаимной дополнительности в пространстве всех гладких векторных полей. Чтобы говорить об алгебраической прямой сумме подпространств, нужно позаботиться о пересечении этих подпространств, т. е. либо факторизовать по нему, либо рассматривать потенциальные поля с потенциалом, обращающимся в нуль на границе области. Также эта теорема важна с точки зрения теории функций, поскольку дает представление о произвольном гладком векторном поле.
С современной точки зрения важно получить аналоги теоремы Гельмгольца для функций не гладких, а например, только суммируемых в области. Обобщение этой теоремы на случай негладких полей было получено в 1940 году Г. Вейлем [2]. Он показал, что всякое поле из L2 обладает тем же свойством.
1 В то время теория пространств Соболева и обобщенных функций только зарождалась, поэтому Вейль формулировал свой результат без использования пространств с суммируемыми обобщенными производными, но неявно именно в рамках этой теории.
Выше мы отмечали, что класс солеиоидальных полей имеет непустое пересечение с классом потенциальных полей. Вейль исследовал это пересечение в случае векторных полей из пространства Лебега L2 и дал полный ответ о представимости пространства L2 в виде ортогональной суммы подпространств. А именно, им было получено следующее ортогональное разложение.
L2 — rot Cq е (S2 ПI2) ® gradCg, где S2 — подпространство солеиоидальных полей, I2 — подпространство безвихревых полей, черта над множеством означает замыкание в метрике пространства L2. Вейль показал, что пересечение S2ni2 составляют потенциальные поля с гармоническим потенциалом. Приведенные обозначения не совпадают с теми, которые были использованы Вейлем, но нам они удобны ввиду обобщений, которые будут установлены в диссертации.
Важно отметить, что полученное Вейлем обобщение уже носит топологический характер, поскольку указано не просто алгебраическое представление в сумму, но и топологическое, т. е. с оценками компонент разложения через исходную функцию. Таким образом, теорема Гельмгольца и ее обобщение Вейля охватывает интересы минимум трех разделов математики: теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории функций и функционального анализа.
Некоторые частичные обобщения разложения Вейля-Гельмгольца, а также его комплексные аналоги и приложения рассматривались такими авторами, как Р. Темам, Ю. А. Дубинский, О. А. Ладыженская, см. [3−7].
Одной из целей настоящей работы является получение обобщения разложения Вейля-Гельмгольца на случай полной шкалы соболевских пространств. Эта задача тесно связана с изучением ядер и коядер классической тройки операторов векторного анализа grad, div и rot в полной шкале соболевских пространств. Важность этих операторов заключается в том, что большое количество изучаемых в математической физике уравнений с частными производными имеет своими операторами те или иные их композиции. В работе, в частности, будут рассмотрены некоторые как линейные, так и нелинейные задачи, изучение которых будет основано на знании геометрии пространств Соболева относительно ядер и коядер этой классической тройки операторов.
Стоит отметить, что нами будет предложен общий подход, с помощью которого будет получено обобщение разложения Вейля-Гельмгольца и ряд других представлений функциональных пространств в виде прямой суммы подпространств. В частности, посредством этого подхода может быть получено более простое, как нам кажется, и короткое доказательство самого разложения Вейля, не использующее никаких громоздких конструкций, которые имеют место в работе Г. Вейля. Стоит отметить также, что по сравнению со случаем гильбертова пространства L2 в общем случае пространств Соболева вопрос даже о дополняемости того или иного замкнутого подпространства отнюдь не очевиден, не говоря уже об описании дополнения.
Прямые разложения функциональных пространств позволяют исследовать некоторые краевые задачи для уравнений с частными производными. В работе будут рассмотрены некоторые задачи для градиентно-дивергентного оператора, некоторые «переопределенные» задачи, а также вариационные задачи, приводящие к системам типа Стокса.
Диссертация условно разделена на две содержательные части (главы).
Первая глава посвящена вещественным и комплексным краевым задачам и соответствующим разложениям функциональных пространств. Основное содержание главы представляют обобщения разложения Вейля-Гельмгольца и их приложения, о которых мы говорили выше.
Вторая глава посвящена уравнениям и пространствам, в которых функции принимают значения в клиффордовой алгебре Ап.
При изучении литературы по теории прямых разложений в клиффордо-вом анализе (см., например, [8−10], а также имеющиеся там ссылки) бросается в глаза то, что авторы рассматривают не вполне, на наш взгляд, соответствующую изучаемым объектам структуру. Объектами, прямое разложение которых они устанавливают, служат множества функций со значениями в клиффордовой алгебре и суммируемых со степенью р вместе со всеми производными до некоторого порядка' т (W™{G Ап), G С Mn+1 — область определения функций), на которых вводится естественная — как в обычных пространствах Соболева — норма. При этом не учитывается то, что эти множества являются в действительности Ап-модулями, а не только векторными пространствами над полем Ж. Таким образом, строится теория нормированных R-линейных пространств, вместо более естественной теории Дг-модулей со структурой нормированного пространства, т. е. учитывающей Лп-линейность изучаемых объектов. Это существенно меняет двойственную теорию: рассматривая W™(G: Ап) только как нормированные пространства, мы, фактически, работаем с 2П степенью пространстваW™(G) и Лп-линейная структура теряется.
В диссертации мы рассмотрели полную Ап структуру изучаемых множеств функций и построили соответствующую теорию прямых разложений именно для, А &bdquo—модулей W™(G-An) Соболева-Клиффорда. Попутно получены аналоги хорошо известных утверждений вещественно-комплексного функционального анализа для случая нормированных Ап-модулей: например, теорема Хана-Банаха, теорема Браудера-Минти и некоторые другие утверждения. Опираясь на прямые разложения модулей Соболева-Клиффорда нами изучены некоторые вариационные задачи, приводящие к системам, являющимися аналогами систем типа Стокса для случая клиффордова анализа.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11−16].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Подводя итоги проведенного исследования, кратко сформулируем полученные в работе результаты.
• Развит общий подход к изучению дополняемости подпространств-ядер линейных непрерывных операторов в функциональных пространствах, который основывается на доказанных в работе теоремах о дополняемости подпространств как исходного нормированного пространства, так и сопряженного к нему пространства.
• Установлено полное обобщение теоремы Г. Вейля на случай шкалы соболевских пространств и пространств «с суммируемой дивергенцией» .
• Получен ряд других прямых разложений пространств Соболева, в частности, прямые разложения с Д-соленоидальными полями.
• Изучены две краевые задачи для нелинейного градиентно-дивергентного оператора. Установлена их «нормальная» разрешимость, а также «нормальная» разрешимость двух задач для уравнения третьего порядка, как следствие полученных ранее прямых разложений.
• Рассмотрена вариационная задача, приводящая к системе типа Стокса. Доказана ее разрешимость.
• Введены нормированные модули Клиффорда. Для них получены аналоги теорем Хана-Банаха, Браудера-Минти, а также обобщение ранее предложенного подхода для изучения дополняемости подпространств нормированного пространства на случай нормированных модулей Клиффорда.
• Получены некоторые свойства модулей Соболева-Клиффорда, аналогичные свойствам классических пространств Соболева, а также прямые разложения модулей Соболева-Клиффорда.
• Исследованы краевые задачи для систем типа Стокса. Установлена их однозначная разрешимость.
