Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задам для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [100], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта» .

В 40-х годах Ф. И. Франкль [89] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль [90, 91], A.B. Бицадзе [9], К. И. Бабенко [2], S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter [103], С.S. Morawetz [102], J.R. Cannon [98, 99], Jl. Берс [6], В. Ф. Волкодавов [13], В. Н. Врагов [14], Т. Д. Джураев [19, 20], В. А. Елеев [21], В. И. Жегалов [24], А. Н. Зарубин [22], И. Л. Кароль [33], А. И. Кожанов [34], Ю. М. Крикунов [38], А. Г. Кузьмин [39, 40], O.A. Ладыженская [43], М. Е. Лернер [44], Е. И. Моисеев [45], A.M. Нахушев [47, 48],.

Н.Б. Плещипский [49], С. П. Пулькин [53], JI.C. Пулькина [54], O.A. Репин [58], К. Б. Сабитов [61], [63] - [66], М. С. Салахитдинов [71], М. М. Смирнов [80], А. П. Солдатов [82, 83], P.C. Хайруллин [93], Хе Кан Чер [96], М. М. Хачев [94, 95] и др. В их работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда иа одной части области задано параболическое уравнение, на другой — гиперболическое, было указано в 1959 г. И. М. Гельфандом [15]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его — уравнением диффузии. Затем Г. М. Стручина [84], Я. С. Уфлянд [88], JI.A. Золина [23] показали другие применения этих задач. Так, например, Я. С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда иа участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки, свел к решению системы уравнений, а также при требованиях непрерывности напряжения и тока на прямой х = I :

Здесь Ь, С — самоиндукция и емкость (на единицу длины) первого участка линииД, С*2 — сопротивление и емкость второго участка. Если из системы.

0.1) при начальных и граничных условиях: lim и2 = о, уравнений (0.1) исключить токи, то получим задачу для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа ofiVxx — Vw = 0, 0 < х < I,.

1 УУ (02).

-$Ухх — Уу = °> I <х < ОО, с соответствующими граничными условиями:

У (ж, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0 <х<1, У (гс, 0) = 0} 1<х< оо,.

V (0,y) = E (y), lim V{x, y) = О/ х—"+oo и условиями сопряжения: у.

V (l-01y) = V (l + 0iy)1 Vx (l + 0, y) = j J Vx (l-0,ri)dTi, о.

2 1 .2 1.

01 «ад' а2~ RC2.

Эта задача для более общего уравнения, чем уравнения (0.2), рассмотрена в [20].

O.A. Ладыженская и JI. Ступялис [43] в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гинерболических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.

J1.A. Золина [23] исследовала аналог задачи Трикоми для уравнения.

I ихх — иу = 0, у > 0, Lu = i (0.3) ихх — иуу = 0, у < 0, в области, ограниченной при у < 0 характеристиками АС (х + у = 0) и ВС (х — у = 1) уравнения (0.3), а при у > 0 — отрезками прямых AAq (x — 0), BBQ (x — 1) и АоВо (у — h > 0), с граничными условиями и условиями склеивания: и.

ААо Vi (y), и =<�Р2(у), 0 < х < 1.

После этих статей появилось множество работ, где изучаются задача Три-. коми и ее обобщения, задачи со смещениями, задача типа задачи Бицадзе-Самарского и другие нелокальные задачи для смешанных параболо-гиперболи-ческих уравнений второго порядка. Это работы Х. Г. Бжихатлова и A.M. На-хушева [7], Х. Г. Бжихатлова [8], В. Н. Врагова [14], В. А. Елеева [21], Н. Ю. Капустина [31, 32], A.M. Нахушева [48], К. Б. Сабитова [61] и других.

Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных параболо-гиперболических уравнений содержится в монографиях [19, 20].

К.Б. Сабитовым [61] для уравнений где Ах, А2 — числовые параметры, рассмотрен аналог известной задачи Трико-ми и изучен характер влияния гиперболической части уравнений (0.4) и (0.5) на корректность постановки задачи Трикоми. Показано, что единственность решения задачи Т в классе регулярных решений уравнения (0.4) существенным образом зависит от параметров Ах и АгЕсли даже Ах > 0, что в области параболичности гарантирует выполнение принципа экстремума, то найдется такое А2, при которых однородная задача Трикоми имеет ненулевое неотрицательное решение. А задача Трикоми для уравнения (0.5) вообще не имеет ни вещественного, ни комплексного спектра.

0.4).

L2(u) =.

Ux ~ Uyy — AlU = 0, у > 0, иХх ~ Uyy + A2U -0, у < О,.

0.5).

В работах Н. И. Ионкина [29, 30] в области Вт = {(ж, ?) | 0 < х < 1, 0 <? < Т} для уравнения теплопроводности.

Щ — ихх = /(ж,£) изучена нелокальная задача с условиями: 1 и (о, = о, J и (х, = 0, о < г < т, (о.б) о и (х, 0) = (р (х), 0 < х < 1.

Здесь показано, что нелокальное условие из (0.6) эквивалентно нелокальному условию их (0,£) = их{1,1), 0 <? < Т. В этих работах доказаны теоремы существования и единственности классического решения этой задачи. Идея метода решения задачи основывается на возможности разложения функции <£>(ж), задающей начальное условие, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора исходной задачи [28].

Сабитовым К.Б. [64] исследована задача с граничными условиями и{0, ?) = и (1,£) — 0, —а 0, Ьи — < ии — ихх + ъ2и = о, г< о, в прямоугольной области И = {(гс,£)| 0 < х < 1, —а <? < ?3}, где, а > 0, /?>0и6>0 — заданные действительные числа. Методом спектрального анализа при некоторых условиях, а и (3 установлен критерий единственности и решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда Фурье.

В работах Сабитова К. Б., Рахмановой Л. Х. [55]-[57] исследованы начально-краевые и нелокальные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа.

Щ ~ ихх + Ъ2и = 0, t> О,.

— t) muxx-uu-b2{-t)mu = 0, t< О, где т = const > О, Ъ — const > О, в прямоугольной области D. Здесь также методами спектральных разложений при при некоторых условиях на, а и? установлены критерии единственности и доказаны существования рентений краевых задач в виде сумм рядов Фурье.

Данная диссертационная работа посвящена изучению обратных краевых задач для уравнения смешанного типа, о важности такого рода исследований отмечалось в работах Лаврентьева М. А., Франкля Ф. И., Бицадзе A.B., Бабенко К.И.

Ранее обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка изучались многими авторами, такими как: Тихонов А. Н. [86], Денисов A.M. [16] (см. приведенную там обширную библиографию), [17, 18], Иванов В. К. [26], Кожанов А. И. [35, 36], Лаврентьев М. М. [41, 42], Прилепко А. И. [50] - [52], Романов В. Г. [59, 60], Баев A.B. [3, 4] Меграбов А. Г. [101] и многие другие.

В тоже время отсутствуют исследования, посвященные решению обратных задач для уравнений смешанного типа.

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений обратных задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа.

Lu — f (x, t), (0.7) где щ — ихх + b2u, ?>0 I Д (ж), ?>0,.

Lu = <(= < ии-ихх + Ъ2и, t< 0, [ /г (^), t < О, в прямоугольной области.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из двух глав.

В главе 1 исследуются обратные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим уравнение параболо-гиперболического типа (0.7) при fi (x) — f2(x) = f{x):

J щ-ихх + Ъ2и = f (x), t> 0, Lu = < * (0.8) utt-uxx + b2u = f (x), t < 0, в прямоугольной области D = {(x,?)| 0 < x < 1, —a < t < /?}, a,/3 > 0. Для уравнения (0.8) в этой области поставлены и решены следующие обратные задачи.

Задача 1.1. Найти в области D функции u (x, t) и f (x), удовлетворяющие условиям: u (x, t) G CD) nC2{D+U (0.9) f (x) G C (0,1) П L[0,1]- (0.10).

Lu (x, t) = f (x), (x, t) G D+ U D- (0.11) u (x, —a) = ф{х), 0 < x < 1- (0.12) u (x,(3) =.

< x < 1- (0.13) it (0, t) — u (l, t) — 0, —a </?(0) = (1) =.

Задача 1.2. Найти в области Б функции и (х^) и ¡-(х), удовлетворяющие условиям (0.9) — (0.13) и здесь ф (х) и (р (х) — заданные достаточно гладкие функции, <р'{0) = —.

Задача 1.3. Найти в области В функции и (х^) и ¡-(х), удовлетворяющие условиям (0.9) — (0.13) и их (1,г) + /12и (1,0 = о, -а <*</?, где Н, 1ъ2 — заданные положительные числа, ф{х) и <�р (х) — заданные достаточно гладкие функции, у?'(0) — /¿-1<у?(0) = 0, </?'(!)+^2^(1) — О, ^'(О) — Ъ, ф{§) =.

Рассмотрим задачу 1.1. Методом спектрального анализа построено решение задачи (0.9) — (0.14) в виде суммы ряда Фурье ф (0) = -0(1) = 0, D+ = D П {t > 0}, ?> = D П {t < 0}. их (0, t) = их (1, t) = 0, -a.

0.15) fe=i.

ОО.

0.16) где.

0.17) fk = фи ~.

Vk ~ Фи c-xl0 Л2 aflb (k).

0.18).

1 1.

0 0 при условиях.

Sapb{k) = e~x*P — (cos Xka + Xk sin Aka) О, к E N. (0.19).

Если 6арь (к) = 0 при к = p и некоторых a, ?3 и b, тогда задача (0.9) — (0.14) (где ip (x) = 0, ф{х) = 0) имеет нетривиальное решение j sin 7трх, t > 0, up (xit)={ >/ (°-2°) cos Apt — Ар sin Xpt) sin 7трх, t < 0, р fp{x) = fp sin тгря, fp = - (0.21).

Выражение 6арь (к) = 0 при фиксированных к = р, р € N, b > 0 и ?3 > 0 только в том случае, когда —1)П. Л 7ГП 7″ а = arcsm 9Р + —-р, п е N,.

Лр Лр Лр где = е~ХрР/yjl + А2, 7р = axcsin (l/^l + Л|).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1.1. ifc/ш существует решение задачи 1.1, т. е. задачи (0.9) — (0.14), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (0.19) при всех k е N.

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций {д/2 sinв пространстве I^jO, 1].

Поскольку а, b — любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение 5арь{к) может стать достаточно малым, то есть возникает проблема «малых знаменателей» [1, 66]. Чтобы не было такой ситуации, надо показать существование чисел а, (3 и 6, что при достаточно больших к выражение 8аръ{к) отделено от нуля.

Приводимые ниже леммы 0.1.1 — 0.1.4 являются достаточными условиями отделепности выражения 6аръ (к) от нуля.

Лемма 0.1.1. Если, а Е N и Ъ = 0, то существует число Ср — зависящее от (3, такое, что при любом А- 6 N справедлива оценка |<5а/?о (&)| > Ср > 0.

Лемма 0.1.2. Если, а = р/д, р, д Е М, = 1, р/я ф М, Ъ = 0, то существует число Ср — зависящее от (3, такое, что при любом 6 к > я/п, справедлива оценка > С/? > 0.

Лемма 0.1.3. Если, а Е М = {а | а = -у/б + р, р Е Ъ, л/И > —р, б. = 2,3,5,6,7,8}, то существуют положительные постоянные Са и (За зави- • сящие от, а такие, что при Ъ = 0 и всех к Е N и (3 > (За справедливо неравенство 6аро (к) > Са > 0.

Лемма 0.1.4. Если, а = р/д, 6 М, (р, я) = & ~ положительное. действительное число, то при любом к Е М, к > Каь = (рЬ2 + д7г)/7г2 справедлива оценка 5арь{к) > Ср > 0, где Ср — положительная постоянная, зависящая от (3.

Таким образом, из лемм 0.1.1 — 0.1.4 следует, что существуют числа, а > 0, ?3 > 0, Ъ > 0 и положительные константы Ко (здесь и далее Ко Е М) и Со, вообще говоря, зависящие от а, /3, Ь, такие что при к > Ко, к Е М, справедливо неравенство.

5а/зъ (к) > Со > 0. (0.22).

Если при указанных а, ?3 и Ъ выражение 5арь (к) = 0 при некоторых к = где 1 < ?1 <. < 1 т < Ко- 1п, п = 1, ш, т — заданные натуральные числа, то задача (0.9) — (0.14) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности.

1 1.

У (р (х) ътккхбх = 0, jф (х) ътпкхйх = 0, к = ., 1 т (0.23) о о и решение в этом случае определяется рядами.

1−1 ?2−1 ОО и (х, ?) = д/2 I ^ + +.+³ (°-24) с=1 ?=?1+1 к=1т+1/ р

1−1 ?2−1 оо х) = у/2 X] +.+)Л8Ш7гЬ- + 53Лр/р (аО, (0.25) с=1 /?=?14″ ! к=1т+1/ р где в суммах ^ индекс р принимает значения Ар ^ 0 — произвольная р постоянная, а выражения иД, ^(а-, ?) и определяются соответственно по формулам (0.17), (0.18), (0.20) и (0.21), конечные суммы выражений (0.24) и (0.25) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.1.2. Пусть р (х), ф (х) € С4[0,1]- <рФ (0) = ^}(0) = ^Ч1) = = 0- ъ = 0,2, и выполнены условия (0.22) при всех к > Кд. Тогда если 5арь (к) т^ 0 при всех к = 1, 2,., Ко, то задача (0.9) — (0.14) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (0.15) и (0.16) — если 5арь (к) — 0 при некоторых к — ?1,., 1 т < Ко, то задача (0.9) — (0.14) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности (0.23), и решение в этом случае определяется рядами (0.24), (0.25).

При обосновании устойчивости построенного решения (0.15) и (0.16) вводятся следующие нормы:

1 !/2.

2. и{х, 1)\ь2М = \и{х, Щь2 = I у и{х, Ь)| ?X о.

1КМ)||Сф±) = тах|п (ж,?)|,.

И/МП щ = (/^, п е N0.

Теорема 0.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.1.2, тогда для решения (0.15), (0.16) задачи 1.1 справедливы оценки: К01 (1Мк° + Wws) ,*>0,.

1км)|к < адмк* + мм, I < о,.

1КМ)||С (5+) < ^04(11¹¹^ + Мж^.

1КМ)Нс (1?) < Коь (Муу$ + Wwi), ||/(я)||с[0,1].