Когерентные эффекты в мезо-и наноразмерных кольцах

3.2 Общие свойства.71.

3.3 Различные точные соотношения.73.

3.4 Флуктуации в невзаимодействующей системе, вызванные внешним потенциалом .75.

3.4.1 Корреляторы в представлении Мацубары.76.

3.4.2 Производящая функция корреляторов.77.

3.4.3 Коррелятор второго порядка.78.

3.4.4 Мощность шума незатухающего тока .82.

3.5 Флуктуации тока во взаимодействующей системе .84.

3.5.1 Общий формализм.85.

3.5.2 Теория возмущений .87.

3.5.3 Квазиклассическое приближение.95.

3.5.4 Точное решение в случае высокой температуры .99.

3.6 Заключение.101.

Флуктуации незатухающего тока в сверхпроводящих кольцах 103.

4.1 Введение.104.

4.2 Эффективное низкоэнергетическое описание.104.

4.3 Квантовые явления проскальзывания фазы.105.

4.4 Вычисление статистической суммы.109.

4.5 Случай колец малого размера.111.

4.6 Флуктуации незатухающего тока.113.

4.7 Заключение.115.

Заключение

116.

Публикации Автора 119.

А Усреднение по беспорядку произведения двух функций Грина 120.

А.1 Диффузонный вклад.121.

А.2 Куперонный вклад.124.

А.З Вклад плотности состояний.125.

А.4 Случай квантовой точки.126.

В Квазиклассическое вычисление ширины нижних зон в периодическом потенциале 129.

С Функционал влияния 132.

D Корреляторы токов 136.

Е Вычисления с сингулярными матрицами 139.

Интерференция оказывает сильное влияние на транспорт электронов в мезои наноразмерных проводниках. В результате возникают такие необычные явления как слабая локализация, осцилляциии Аронова-Бома, незатухающий ток. Поскольку данная диссертация в основном посвящена исследованию систем, имеющих форму кольца, остановимся на их рассмотрении подробнее. Простейшей системой такого рода является одномерное кольцо. Электрон может двигаться по одному из двух каналов. Полная амплитуда перехода из точки, А в точку В складывается из амплитуд движения по обоим каналам, а вероятность перехода есть квадрат модуля полной амплитуды. Допустим, что кольцо пронизано магнитным потоком. Это означает, что в самом кольце никакого магнитного поля нет, оно есть лишь внутри кольца. Если бы электрон описывался классической механикой, то такая конфигурация магнитного поля не оказывала бы на него никакого влияния, однако, кваптовомеханическая амплитуда перехода приобретает дополнительный фазовый фактор, где фаза связана с магнитным полем. В результате полная вероятность перехода начинает зависеть от потока, являясь периодической функцией с периодом, равным кванту потока Фо = Нс/е (везде в данной диссертации мы полагаем постоянную планка Н = 1, при этом Фо = 27гс/е). Это и есть эффект Аронова-Бома. Наличие примесей в кольце качественно не меняет картины. Возникает лишь ненулевая.

— v 1 вероятность вернуться в исходную точку и дополнительный фазовый фактор связанный с конфигурацией примесей. С вероятностью перехода связана наблюдаемая величина, кондактанс, который есть коэффициент пропорциональности между током, текущим сквозь систему и приложенным напряжением. Таким образом, кондактанс рассмотренной выше системы оказывается периодической функцией с периодом, равным кванту потока. Это явление неоднократно исследовалось (см., например, работы [1, 9] и книгу [8]). Рассуждения, проведенные выше, относились к одномерному кольцу, однако, такую систему практически невозможно реализовать на практике. Попробуем разобраться, что же будет, если мы возьмем толстое металлическое кольцо. Качественно его можно представить как множество тонких колец-каналов, каждый из которых характеризуется своей конфигурацией примесей. Каждой конфигурации примесей соответствует свой фазовый множитель в амплитуде перехода. Это приводит к тому, что при рассмотрении кольца в целом все фазовые множители усредняются и полная амплитуда перехода перестает зависеть от потока. И действительно, осцилляции кондактанса с периодом Фо отсутствуют в толстых кольцах. Существуют, однако, осцилляции с периодом Фо/2. Для того, чтобы понять их происхождение вспомним, что кондактанс системы связан с вероятностью перехода из одной точки в другую. Согласно фейнмановской интерпретации квантовой механики амплитуда перехода дается суммой по всем траекториям от егБ, где б'-это действие на траектории. Тогда в вероятность перехода будут давать вклад пары траекторий. У большинства пар траекторий набег фаз совершенно случайный, что при суммировании дает ноль. Существует, однако, два класса пар траекторий, которые в сумме дают ненулевой вклад. Первый класс — это пары одинаковых траекторий, значения действия на которых одинаковы. При вычислении вероятности перехода фазовые факторы сокращаются. Суммирование по всем таким траекториям в квазиклассическом случае приводит к хорошо-известной формуле Друде. Второй класс пар траекторий — это пары обращенных по времени траекторий. Если траектория обошла один раз вокруг кольца, то помимо фазового фактора, связанного с движением в потенциале примесей, появляется фазовый фактор е27ггф/ф°, где Ф — это поток, пронизывающий кольцо. Обращенная по времени траектория содержит фазовый фактор е-27пф/фо. При подстановке данных выражений в вероятность перехода (которая суть квадрат модуля амплитуды) получается выражение ~ соз (47гФ/Фо), что означает наличие осцилляций кондактанса с периодом Фо/2. Данное явление тесно связано с явлением слабой локализации электронов в неупорядоченных проводниках. Именно обращенные по времени нары траекторий приводят в возникновению отрицательной (слаболока-лизационной) поправки к проводимости. Впервые дaннst (Фо/2) осцилляции кондактанса были предсказаны в работе [2] и наблюдены на эксперименте в работе [3]. Описанные выше качественные рассуждения, использующие фей-нмановскую интерпретацию квантовый механики, могут быть использованы для построения количественной теории. Впервые это было сделано в работе [12], где была рассмотрена наиболее интересная с экспериментальной точки зрения ситуация кр1 1, где кр — импульс ферми, а I — длина свободного пробега электрона. Для получения ответов авторы использовали квазиклассическое приближение. Описанные выше явления активно исследовались как теоретически, так и экспериментально во многих работах (смотри работу [11] и ссылки в ней).

Описанная выше физическая картина применима лишь в случае, когда в электронной системе отсутствуют взаимодействия. Примерами взаимодействий могут быть электрон-электронное, электрон-фононное и т. п. В данной диссертации мы рассматриваем случай низких температур, когда электрон-фононное взаимодействие практически не влияет на поведение системы в связи с отсутствием фононов. В этом случае основную роль играет электрон-электронное взаимодействие. Посмотрим, как оно влияет на осцилляции проводимости. Электрон-электронное взаимодействие при помощи преобразования Хаббарда-Стратоновича может быть стандартным образом превращено во флуктуирующее электрическое поле. Иными словами при наличии взаимодействия электрон движется во флуктуирующем поле, которое создается остальными электронами. За счет этого амплитуда перехода приобретает дополнительный случайный фазовый фактор. Полная вероятность перехода должна быть усреднена по данным случайным набегам фаз, что приводит к подавлению способности электронов интерферировать, а значит и уменьшаются все чувствительные к этому эффекты, в том числе и осцилляции кондактанса. Причем, чем длиннее траектория, тем сильнее вляние флуктуаций. Таким образом в системе возникает новый линейный масштаб Ьф — длина декоге-рентности. Траектории с длиной, большей Ьф не дают вклада в когерентные эффекты. *В случае кольца протяженность траекторий, дающих вклад в осцилляции кондактанса, ограничена снизу периметром кольца, поэтому, когда размер кольца превышает длину декогерентности Ьф, осцилляции кондактанса экспоненциально подавляются. Длина декогерентности зависит от температуры, поэтому, чем ниже температура, тем более явно будут проявляться эффекты когерентности. Однако, встает вопрос, о том, что происходит с длиной декогерентности при температуре, стремящейся к нулю. Если бы длина декогерентности бесконечно росла при уменьшении температуры, то для экспериментального наблюдения осцилляций достаточно было бы охладить систему до достаточно низкой температуры. Однако, теоретические [15, 23, 24, 25, 26] и экспериментальные (смотри работу [15] и ссылки в ней) исследования слабо-локализационной поправки к проводимости говорят о том, что длина декоге-рентности в данном случае остается конечной при температуре стремящейся к нулю. А это означает, что и Фо/2-периодические осцилляции кондактанса в металлическом кольце будут подавлены электрон-электронным взаимодействием, даже при нулевой температуре. В работах [30, 29] вопрос о влиянии взаимодействия исследовался при помощи подхода Альтшулера, Аронова и Хмельницкого [7]. Этот подход предполагает, что флуктуации электрического поля имеют Найквистовский вид. Это предположение верно лишь при высо1 ких температурах. В данной диссертации вопрос о поведении Арон-Бомовских осцилляций кондактанса будет исследован при всех температурах, включая нулевую, при помощи подхода, разработанного в работах [15, 14] для исследования явления слабой локализации в одномерных проводниках.

Другим интересным явлением в тонких кольцах является вознйкновение незатухающего тока. Эффект состоит в том, что среднее значение от оператора тока отлично от нуля и является функцией потока, пронизывающего систему. Таким образом в равновесном состоянии системы течет ток, являющийся бездиссипативным. Как и осцилляции кондактанса этот эффект является чисто квантовым. В силу калибровочной инвариантности ток в системе выражается через прозводную от гамильтониана по потоку I ~ Щ, а значит (I) ~ где Т — это свободная энергия системы. Таким образом, для того, чтобы существовал ненулевой ток необходимо, чтобы энергетические уровни системы зависели от магнитного потока, а значит этот эффект чувствителен к присутствию когерентности в системе. Рассуждения о влиянии взаимодействия, которые нами были применены выше к осцилляциям коидактанса работают и в этом случае. Из-за взаимодействия возникает линейный масштаб — длина декогерентности Ьф таким образом, что при периметре кольца большем этой длины ток экспоненциально подавлен. Теоретические [4, 5, 6, 49, 51, 52] и экспериментальные [46, 50, 53, 54, 551 исследования незатухающего тока ведутся с 90-х годов прошлого века, однако, ясной физической картины так до сих пор не было получено. В некоторых экспериментах результаты измерений превышают теоретические расчеты (для системы невзаимодействующих электронов) на два порядка. В добавок к этому, направление тока, измеренное на эксперименте не совпадает с теоретически предсказанным. По всей видимости, для корректного описания эксперимента следует учитывать электрон-электронное взаимодействие. В пользу этой гипотезы говорит тот факт, что поправка первого порядка по взаимодействию расходится, существенно увеличивая значение тока по сравнению с невзаимодействующим значением [5, 49]. Но в то же время это означает, что обычная теория возмущений по взаимодействию неприменима и необходимо искать другие способы для учета взаимодействия. Детальное описание реальной системы, учитывающее многочастичность, беспорядок и взаимодействие сложно, однако ключевые свойства взаимодействующей системы могут быть выявлены при исследовании различным моделей. Одной из таких моделей является модель частицы на кольце, взаимодействующей с диссипативным окружением, которое создается остальными электронами, движущимися в неупорядоченном потенциале. Данная модель впервые была предложена в работах [31], а исследование ее методом Монте-Карло было проведено в работе [35]. Однако, полного согласия относительно поведения данной модели при температурах близких к нулю нет до сих пор. В частности ренормгрупповое рассмотрение [31] предсказывает весьма слабое ~ 11~х подавление Арон-Бомовских осцилляций тока, где х ^ 1- В то же самое время моделирование методом Монте-Карло [35] дает ~ е~я/Ьф при не очень низкой температуре и ~ .й-1'8 при температуре стремящейся к нулю. В диссертации исследуется подобная модель, но с добавлением внешнего периодического потенциала. При этом потенциал выбирается в таком виде, что частица в нем движется в основном туииелируя между его минимумами.

При исследовании транспортных свойств различных проводников и квантовых контактов существенную информацию дает исследование не только кондактанса или проводимости образцов, но и изучение флуктуаций тока. Пожалуй самым известным примером таких флуктуаций является дробовой шум, который обусловлен дискретностью носителей заряда — электронов. Поэтому будет естественным поставить вопрос: «А флуктуирует ли незатухающий ток?». По крайней мере, при конечной температуре он должен флуктуировать, а вот вопрос о флуктуациях в пределе нулевой температуры требует детального исследования. С математической точки зрения исследование шума сводится к исследованию автокорреляционной функции токов ?(?) = ^(/(?)/(0) +/(0)/(?)) — (I)2. Ранее вопрос о флуктуациях незатухающего тока практически не ислледовался. В основном изучался средний квадрат тока, усредненный по реализациям беспорядка (см. например книгу [8]), из которого вычислялось типичное значение тока в ансамбле из множества колец,. в каждом из которых свой неупорядоченный потенциал. Нас же интересует поведение одного отдельного кольца, флуктуации в котором определяются динамикой системы. Такие флуктуации исследовались в работах [9, 32, 33], однако был исследован лишь случай высоких температур и совпадающих времен (то есть 5(0)). В Главе 3 будет показано, что флуктуации незатухающего тока отличны от нуля даже при нулевой температуре, если оператор тока не коммутирует с гамильтонианом. Такая ситуация реализуется практически в любой реальной системе. Существенное отличие флуктуаций незатухающего тока от флуктуаций диссипативного тока в проводнике состоит в том, что они зависят от потока пронизывающего систему, а значит чувствительны к присутствию когерентности в системе. Когда когерентность в системе разрушается, зависимость от потока исчезает и флуктуации переходят в обычный пекогорентный шум, свойственный нормальным проводникам.

Рассмотренный выше незатухающий ток течет в несверхпроводящих кольцах. Однако, макроскопическая квантовая когерентность существует и в сверхпрводящих кольцах, в которых так же может существовать незатухающий ток. Если кольцо достаточно массивное, то флуктуациями фазы волновой функции куперовских пар можно пренебречь. В этом случае получается стандартное выражение для незатухающего тока, которое может быть’найдено во множестве книг I = е8п3тт (р + Ф/Ф5со), где 5-сечение провода, п3р сверхтекучая плотность и Ф5Со — сверхпроводящий квант потока, Ф6. со = Фо/2. При уменьшении толщины кольца флуктуации начинают играть все более существенную роль. Известно, что основными флуктуациями при температурах близких к нулю являются квантовые явления проскальзывания фазы. Они соответствуют событиям, при которых квант потока входит в кольцо или выходит из него. За счет этого незатухающий ток подавляется. Впервые влияние явлений проскальзывания фазы на незатухающий ток изучалось в работе [43] смотри также обзор [44]). В работе [10] были вычислены вероятности возникновения явления проскальзывания фазы. Как и в случае с незатухающим током в нормальных кольцах можно поставить вопрос о флуктуациях незатухающего тока в сверхпроводящем кольце. Насколько нам известно, до этого в литературе данный вопрос нигде не исследовался. Ему посвящена Глава 4 данной диссертации.

План диссертации следующий.

В первой главе диссертации исследуется влияние электрон-электронного взаимодействия на Фо/2 периодические Арон-Бомовские осцилляции кондак-станса в кольце, состоящем из квантовых точек. При помощи Келдышевской техники детально изучается случай двух квантовых точек. На данном примере можно проследить, что основной вклад в подавление осцилляций дают флуктуации классической компоненты стохастического электрического поля, возникающего в результате расцепления электрон-электронного взаимодействия при помощи преобразования Хаббарда-Стратоновича. Далее рассматривается случай многих квантовых точек. В результате получается, что существует два режима, причем температура кроссовера между этими режимами зависит от периметра кольца. Исходя из рассмотрения данной модели делаются предсказания о характере поведения осцилляций кондактанса, которые могут быть проверены на эксперименте.

Во второй главе диссертации рассматривается система, представляющая собой частицу на кольце в магнитном поле. Частица находится во внешнем периодичском потенциале с к минимумами и взаимодействует с окружением типа «неупорядоченный металл». Исследуется влияние взаимодействия на незатухающий ток. При этом внешний потенциал считается достаточно высоким, поэтому траектория частицы состоит из инстантонов — перескоков между ближайшими минимумами. За счет окружения инстантоны логарифмически взаимодействуют. При помощи теории возмущений по межинстантонному взаимодействию вычисляется незатухающий ток при различных температурах, исследуется декогерентность в данной системе.

Третья глава диссертации посвящена исследованию флуктуаций незатухающего тока. В начале главы исследуются общие свойства автокорреляционной функции токов и получаются различные точные соотношения для частных случаев. Затем, в качестве первого примера, рассматривается модель частицы на кольце в периодическом потенциале, аналогичная исследовавшейся во второй главе, но без взаимодействия с окружением. Далее рассматривается второй пример, частица на кольце, взаимодействующая с диссипативпым окружением типа «неупорядоченный металл». В обоих случаях вычисляется мощность шума, как функция частоты.

В четвертой главе диссертации рассматривается сверхпроводящее кольцо. Стартуя с эффективного низкоэнергетического действия для одномерного сверхпровдящего кольца и учитывая явления проскальзывания фазы задачу можно свести к исследованию теории синус-Гордон. В пределе малых колец она сводится к задаче о частице на кольце в потенциале ~ соб (^), то есть к задаче, исследовавшейся во второй и третьей главе диссертации. В заключение данной главы вычисляются флуктуации незатухающего тока в сверпроводя-щем кольце, вызванные квантовыми явлениями проскальзывания фазы.

Основные результаты данной диссертации заключаются в следующем.

1 Была исследована система, которая представляет собой кольцо состоящее из квантовых точек с магнитным потоком внутри. Были получены выражения для осцилляций кондактанса как функции магнитного потока с учетом электрон-электронного взаимодействия. Оказалось, что электрон-электронное взаимодействие подавляет осцилляции даже при нулевой температуре. Было показано, что существует два режима подавления в данной системе, классический и квантовый, причем температура кроссовера между этими двумя режимами зависит от радиуса кольца.

2 Было изучено влияние электрон-электронного взаимодействия на незатухающий ток в кольце в модели частицы на кольце, взаимодействующей с диссипативным окружением типа «неупорядоченный металл» во внешнем периодическом потенциале. Было получено выражение для тока при всех температурах включая нулевую. Было показано, что при низкой температуре взаимодействие приводит не только к перенормировке амплитуды незатухающего тока, но и к изменению формы зависимости незатухающего тока от потока.

3 Было исследовано новое явление, флуктуации незатухающего тока. Было показано, что ток шумит при всех температурах включая нулевую в случае, когда оператор тока не коммутирует с гамильтонианом. В качестве иллюстрации были рассмотрены невзаимодействующая частица на кольце в периодическом потенциале и частица, взаимодействующая с диссипативным окружением.

4 Было показано, что мощность шума незатухающего тока заивисит от потока в случае, когда в системе присутствует квантовомеханическая коге-рентость. При подавлении когерентности шум не исчезает, но перестает зависеть от потока.

5 Было продемострировано, что эффективное действие, описывающее тонкое сверхпроводящее кольцо, в котором существуют квантовые явления проскальзывания фазы эквивалентно действию для частицы на кольце в периодическом потенциале. Это означает, что за счет квантовых явлений проскальзывания фазы незатухающий ток в сверхпроводящем кольце шумит. Мощность данного шума также была вычислена.

Благодарности.

В заключение хочется выразить огромную признательность моему научному руководителю А. Д. Заикину за постановку интересных задач и за многочисленные обсуждения связанных с ними вопросов. Автор также признателен всем участникам семинара по теории твердого тела, проходящего в ОТФ ФИ АН за плодотворные обсуждения и полезную критику описанных выше результатов. Особенно важными для понимания были обсуждения с С. М. Апенко, В.В. Ло-сяковым, П. И. Арсеевым и Д. С. Голубевым. Ну и конечно же автор хотел бы отметить неоценимую помощь и поддержку со стороны родных и близких.

Публикации автора.

1} A.G. Semenov, D.S. Golubev and A.D. Zaikin, «Aharonov-Bohm oscillations in coupled quantum dots: Effect of electron-electron interactions» // Phys. Rev. В, 79, 115 302 (2009).

2} A.G. Semenov and A.D. Zaikin, «Persistent currents in nanorings and quantum decoherence by Coulomb interaction» // Phys. Rev. В, 80, 155 312 (2009). {3} A.G. Semenov and A.D. Zaikin, «Aharonov-Bohm oscillations in disordered nanorings with quantum dots: Effect of electron-electron interactions» // Physica E, 42, 600 (2010).

4} D.S. Golubev, A.G. Semenov and A.D. Zaikin, «Weak localization, Aharonov-Bohm oscillations and decoherence in arrays of quantum dots» // Физика Низких Температур, 36, 1163 (2010).

5} A.G. Semenov and A.D. Zaikin, «Fluctuations of persistent current» // принято к печати в J. Phys. Cond. Mat.

6} A.G. Semenov and A.D. Zaikin, «Persistent current noise» // принято к печати в J. Phys. Conf. Series.

Заключение

.