Новые точные решения в матричных и статистических моделях

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Содержание

Введение
- 1. 1. Общая характеристика
- 1. 2. Цель диссертационной работы
- 1. 3. Результаты и положения, выносимые на защиту
- 1. 4. Научная новизна и практическая ценность
- 1. 5. Апробация диссертации
- 1. 6. Публикации автора по теме диссертации
- 1. 7. Структура и содержание диссертации
- 1. 8. Благодарности
2. Точные корреляционные функции в Эрмитовой модели
- 2. 1. Эрмитова матричная модель
  - 2. 1. 1. Общие свойства эрмитовой модели
  - 2. 1. 2. Условия Вирасоро
  - 2. 1. 3. Интегрируемость
  - 2. 1. 4. 1-точечные корреляторы
  - 2. 1. 5. 2-точечные корреляторы
- 2. 2. Корреляционные функции
- 2. 3. Корреляционные функции типа Харера-Цагира
  - 2. 3. 1. 1-точечная функция
  - 2. 3. 2. 2-точечная функция
  - 2. 3. 3. 3-точечная функция
- 2. 4. Экспоненциальные корреляционные функции
  - 2. 4. 1. Рекурсивные соотношения
  - 2. 4. 2. Детерминантная формула
  - 2. 4. 3. Ортогональные полиномы
  - 2. 4. 4. Локальная мера
  - 2. 4. 5. 1,2,3-точечные функции при фиксированном N
  - 2. 4. 6. Универсальные 1,2,3-точечные функции
- 2. 5. Стандартные корреляционные функции
  - 2. 5. 1. Разложение по роду
  - 2. 5. 2. 1-точечная функция
  - 2. 5. 3. 2-точечная функция
3. Средняя энергия 2мерного Дайсоновского газа
- 3. 1. Двумерный Дайсоновский газ
- 3. 2. Статсумма
- 3. 3. Средняя энергия
- 3. 4. Термодинамическое разложение средней энергии
4. Вычисление потенциала в модели Гурвица
- 4. 1. Модель Гурвица
- 4. 2. Приближенный матричный интеграл
- 4. 3. Поправки
- 4. 4. Точный матричный интеграл

Новые точные решения в матричных и статистических моделях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

1.1 Общая характеристика.

Диссертация посвящена построению и изучению точных решений в статистических моделях. Рассматриваются системы (статистические ансамбли) из N частиц, которые взаимодействуют друг с другом с заданной потенциальной энергией взаимодействия и (х,., х^), где XI,., ждг — координаты частиц. Физически интересными величинами в таких моделях являются любые статистические средние вида с нормировочной постоянной.

Cjv J dXl. J dxN е^ь.-.,^) (2) такие, как среднее положение частиц дисперсия ^х— ^х^, средняя энергия (и и т. д. Как правило, точное вычисление средних (также называемых корреляторами) является сложной задачей: для этого не существует универсальных математических методов, за исключением тех простейших случаев, когда потенциал U (xi,., хn) квадратичен (Гауссов). По этой причине для изучения статистических средних применяются различные приближения: например, термодинамический предел (предел больших N) или квазиклассическое приближение (предел малых Тг для U (->• U/h).

В некоторых случаях, используя специфические для конкретной модели методики и приемы, удается вычислить точно некоторый коррелятор или целое семейство корреляторов. Такие точные решения, естественно, позволяют получить о модели больше информации, нежели любые приближенные, и в этом состоит их ценность. Кроме этого, точные вычисления статистических интегралов вида (1) могут содержать в себе новые математические идеи и поэтому представляют интерес также с точки зрения чистой математики.

В настоящей диссертации с использованием оригинальных методик получен ряд точных решений в нескольких статистических моделях, в основном относящихся к классу так называемых матричных моделей. В таких моделях координаты частиц интерпретируются как собственные значения некоторой матрицы, а потенциал взаимодействия следует из естественной меры интегрирования на пространстве матриц и, как правило, является попарным логарифмическим отталкиванием.

Простейшим и в то же время репрезентативным примером таких моделей является Эрмитова матричная модель, в которой основной динамической величиной является N х N Эрмитова матрица ф, а наблюдаемые величины представляют из себя 31/(М)-инвариантные статистические средние от следов степеней этой матрицы:

1-г ф11. ^ ф1т) = ~ [ ^ ф*. ^ у (ф) йф (3).

Сдг ].

NxN где V — произвольный потенциал. Как легко показать, при переходе от матричной переменной ф к ее собственным значениям ,., хк эта модель принимает вид статистической системы из N частиц на прямой с координатами Х,. которые помещены в общий потенциал У{х) и попарно отталкиваются друг от друга по логарифмическому закону: и (х 1,., Хп) = + -Х]2 (4) г 1<].

Впервые модели такого типа изучались еще в работах Е. Вигнера и Ф. Дайсона, которых интересовало применение таких моделей к вычислению распределения уровней энергии атомных ядер. Впоследствии выяснилось, что матричные модели обладают целым рядом других приложений, подчас весьма далеких от исходной задачи о спектрах ядер: квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста [1], квантовая гравитация [2,3], теория струн [4,5] интегрируемые системы [6,7] и суперсимметричные теории поля [8,10,11] в физике, теория чисел и комбинаторика графов на двумерных поверхностях [12] в математике — вот лишь некоторые из этих приложений.

Далеко не во всех из этих приложений достаточно использования стандартных приближенных методовчасто оказывается, что необходимая детальная информация о свойствах конкретной модели не может быть получена в рамках известных приближений. Прогресс в точном (не приближенном) вычислении корреляторов в матричных и статистических моделях, таким образом, может стимулировать продвижение в целом ряде областей современной физики и математики. Это является одним из факторов, обосновывающих актуальность выбора темы диссертации и полученных в ходе исследования результатов.

Наконец, построение и изучение точных решений актуально еще и потому, что они позволяют вычислить физически интересные асимптотики, которые трудно или вообще невозможно вычислить приближенными методами. Иллюстрацией этого феномена является статистическая модель двумерного Дайсоновского газа [13−15]: система из N частиц на плоскости с координатами (жь ух)., (х^, у^) и потенциальной энергией и{Х1,У1,., хм, ум) = - (х2{ + у2) + ^ 1оё [(а* - х² + {Уг — у,)2]• (5) г Кз.

Одной из физически интересных величин в модели является средняя кулоновская энергия:

Е" = (т, 10§ К3* - + ^ - ^ ¦ (6).

Используя стандартные термодинамические методы, можно получить лидирующую асимптотику при числе частиц стремящемся к бесконечности.

1 о /V2.

— — + ., (7) однако последовательное вычисление 1/И поправок к данному термодинамическому результату представляет существенные трудности. В настоящей диссертации мы строим Е^ как точное решение конечно-разностного уравнения в гипергеометрических функциях. Полученное точное решение позволяет вычислить поправки до любого порядка малости по 1/А^, подтверждая таким образом ценность данного подхода в конкретных приложениях и общую актуальность выбора темы диссертации.

5 Заключение.

Точное вычисление статистических средних (корреляторов) в различных моделях представляет интерес как с точки зрения физики (связанный с часто встречающейся необходимостью получить детальную информацию о модели, которую трудно или невозможно извлечь из приближенных результатов) так и с математической точки зрения (связанный с отсутствием хорошо разработанных методов в этой области). В настоящей диссертации проведены точные вычисления в рамках трех конкретных моделей: Эрмитовой матричной модели, двумерного Дайсоновского газа и модели Гурвица. Точные 1,2 и 3-точечные корреляционные функции в Эрмитовой модели, вычисленные без применения петлевого разложения и/или предела больших ЛГ, оказались элементарными и выражающимися через единственную тригонометрическую функцию — арктангенс. Точное решение, полученное для средней энергии двумерного Дайсоновского газа и верное при любом конечном N, позволило вычислить термодинамическую асимптотику этой величины и установить, что ее разложение при больших N идет по полуцелым степеням. Наконец, полученное для модели Гурвица интегральное представление открывает новые возможности для исследования этой модели физическими методами, а также широкое поле для обобщения.

Показать весь текст

Список литературы

A.Zabrodin, Random matrices and Laplacian growth, arXiv:0907.4929
V.Kazakov, The appearance of matter fields from quantum fluctuations of 2D-gravity, Mod.Phys.Lett. A4 (1989) 2125-
E.Brezin and V. Kazakov, Exactly Solvable Field Theories Of Closed Strings, Phys. Lett. B236 (1990) 144-
D.Gross and A. Migdal, A Nonperturhative Treatment Of Two-Dimensional Quantum Gravity, Nucl.Phys. B340 (1990) 333-
A.Levin and A. Morozov, On the Foundations of the Random Approach to Quantum Gravity, Phys.Lett. 243B (1990) 207−214-
J. Ambjorn, J. Jurkiewicz, and Yu. M. Makeenko, Multiloop correlators for two-dimensional quantum gravity, Physics Letters В., 251 (1990), 517−524- P. Ginsparg, Matrix Models of 2d Gravity, hep-th/9 112 013-
A.Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Generalized matrix models as conformai field theories: Discrete case, Phys.Lett. В 265 (1991) 99−107-
C.F. Kristjansen, Random Geometries in Quantum Gravity, Doctoral Thesis, The Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 1993, hep-th/9 310 020-
P.Di Francesco, 2D Quantum Gravity, Matrix Models and Graph Combinatorics, math-ph/406 013
A.M.Polyakov, Mod.Phys.Lett., A2 (1987) 893−898
V.Knizhnik, A. Polyakov, A. Zamolodchikov, Mod.Phys.Lett., A3 (1988) 819
A.Morozov, String Theory, What is it?, Sov. Phys. Usp. 35 (1992) 671−714
V.Knizhnik, Multiloop amplitudes in the theory of quantum strings and complex geometry, Usp.Fiz.Nauk 159 (1989) 401−453 (Sov.Phys.Usp. 32 (1989) 945−971) —
A.Gorsky, A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, RG Equations from Whitham Hierarchy, Nucl.Phys. B527 (1998) 690−716, hep-th/9 802 007-
H.Braden, A. Mironov and A. Morozov, QCD, Wick’s Theorem for KdV r-functions and the String Equation, Phys.Lett. B514 (2001) 293−298, hep-th/105 169
A.Morozov, Integrability and Matrix Models, Phys.Usp. 37(1994) 1−55, hep-th/9 303 139- Matrix Models as Integrable Systems, hep-th/9 502 091-
A.Mironov, Matrix Models vs. Matrix Integrals, Theor.Math.Phys. 146 (2006) 63−72, hep-th/506 158
A.Gerasimov, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov and A. Orlov, Nucl.Phys. B357 (1991) 565−618-
A.Morozov, Phys.Usp.(UFN) 35 (1992) 671−714- 37 (1994) 1, hep-th/9 303 139- hep-th/9 502 091- hep-th/502 010-
A.Mironov, Int.J.Mod.Phys. A9 (1994) 4355, hep-th/9 312 212- Phys.Part.Nucl. 33 (2002) 537- hep-th/9 409 190
E.Martinec, Phys.Lett., B367 (1996) 91−96-
A.Gorsky, S. Gukov and A. Mironov, Nucl.Phys., B517 (1998) 409−461- Nucl.Phys., B518 (1998) 689-
H.W.Braden, A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Nucl.Phys., B573 (2000) 553 hep-th/9 906 240- Phys.Lett., B448 (1999) 195, hep-th/9 812 078- Nucl.Phys., B573 (2000) 553, hep-th/9 906 240-
A.Gorsky and A. Mironov, Nucl.Phys., B550 (1999) 513, hep-th/9 902 030- hep-th/11 197 A. Mironov and A. Morozov, hep-th/1 168
A. Marshakov, Seiberg-Witten Theory and Integrable Systems, World Scientific, Singapore, 19 991. tegrability: The Seiberg-Witten and Whitham Equations, Eds. H. Braden and I. Krichever (Gordon and Breach, 2000)
E.Martinec and N. Warner, Nucl.Phys., 459 (1996) 97- A. Gorsky, A. Marshakov, Phys.Lett., B374 (1996) 218−224-
H.Itoyama and A. Morozov, Nucl.Phys., B477 (1996) 855−877, hep-th/9 511 126- Nucl.Phys., B491 (1997) 529−573, hep-th/9 512 161, hep-th/9 601 168-
E.D'Hoker, I.M.Krichever and D.H.Phong, Nucl.Phys., B489 (1997) 179−210- Nucl.Phys., B489 (1997) 211−222-
N.Nekrasov, Nucl.Phys., B531 (1998) 323−344, hep-th/9 609 219- A. Marshakov, A. Mironov, Nucl.Phys., B518 (1998) 59−91- A. Mironov and A. Morozov, Phys.Lett., B475 (2000) 71-
H.Braden and A. Marshakov, Nucl.Phys. B595 (2001) 417−466- hep-th/9 060- N. Nekrasov and S. Shatashvili, Nucl.Phys. Proc.Suppl. B192−193 (2009) 91−112, arXiv:0901.4744- arXiv:0901.4748
J.Schwarz, Superconformal Chern-Simons Theories, JHEP 0411 (2004) 078, hep-th/411 077-
A.Basu and J.A.Harvey, The M2-M5 Brane System and a Generalized Nahm’s Equation, Nucl.Phys. B713 (2005) 136−150, hep-th/412 310-
A.Gustavsson, Algebraic Structures on Parallel M2-branes, arXiv: 0709.1260- Self dual Strings and Loop Space Nahm Equations, arXiv: 0802.3456-
S.Mukhi and C. Papageorgakis, M2 to D2, arXiv: 0803.3218-
M.Bandres, A. Lipstein and J. Schwarz, N=8 Superconformal Chem-Simons Theories, arXiv: 0803.3242-
A.Morozov, On the Problem of Multiple M2 Branes, JHEP 08 05 (2008) 076, arXiv:0804.0913-
J.Gomis, G. Milanesi, and J.G.Russo, Bagger-Lambert Theory for General Lie Algebras, arXiv:0805.1012 v2-
S.Benvenuti, D. Rodriguez-Gomez, E. Tonni and H. Verlinde, N=8 superconformal gauge theories and M2 branes, arXiv:0805.1087-
P.-M.Ho, Y. Imamura and Y. Matsuo, M2 to D2 revisited, arXiv:0805.1202- A. Morozov, From Simplified BLG Action to the First-Quantized M-Theory, JETP Lett. 87 (2008) 659−662, arXiv:0805.1703-
Aharony, O. Bergman, D.L.Jafferis and J. Maldacena, N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals, JHEP 0810 (2008) 091, arXiv:0806.1218-
A.Bandos and P.K.Townsend, Light-cone M5 and multiple M2-branes, Class.Quant.Grav. 25 (2008) 245 003, arXiv:0806.4777- SDiff Gauge Theory and the M2 Condensate, JHEP 0902 (2009) 013, arXiv:0808.1583-
J.Gomis, D. Rodriguez-Gomez, M. Van Raamsdonk and H. Verlinde, A Massive Study of M2-brane Proposals, JHEP 0809 (2008) 113, arXiv:0807.1074-
J.A.Minahan, W. Schulgin and K. Zarembo, Two loop integrability for Chem-Simons theories with N=6 super symmetry, arXiv:0901.1142
F.David, A Model of Random Surfaces with Nontrivial Critical Behavior, Nucl. Phys. B257 FS14] (1985) 45, 543-
J. Ambjorn, B. Durhuus and J. Frohlich, Diseases of Triangulated Random Surface Models, and Possible Cures, Nucl. Phys. B257 FS14. (1985) 433-
Analytical and Numerical Study of the Model of Dynamically Triangulated Random Surfaces, Nucl. Phys. B275 FS17. (1986) 641-,
Alvarez-Gaume, Random surfaces, statistical mechanics, and string theory, Lausanne lectures, 1990-
P. Di Francesco and C. Itzykson, A Generating Function for Fatgraphs, Annales Poincare Phys.Theor. 59 (1993) 117−140, hep-th/9 212 108
A.Zabrodin and P. Wiegmann, Large N expansion for the 2D Dyson gas, J.Phys.A39 (2006) 8933−8964, arXiv: hep-th/601 009
P. Di Francesco, M. Gaudin, C. Itzykson and F. Lesage, Laughlin’s wave functions, Coulomb gases and expansions of the discriminant, Int. J.Mod.Phys. A9 (1994) 4257−4352, arXiv: hep-th/9 401 163
J.M. Caillol, D. Levesque, J.J.Weis, J.P. Hansen, J.Stat. Phys. 28 (1982) 325- S.W. de Leeuw, J.W. Perram, Physica A113 (1982) 546-
P. Choquard, J. Clerouin, Phys. Rev. Lett. 50 (1983) 2086-
A. Alastuey, B. Jancovici, J. Physique 42 (1981) 1-
B. Jancovici, Phys. Rev. Lett. 46 (1981) 386-
A. Alastuey, Annales de Physique 11 (1986) 653
A.Hurwitz, Uber Riemann’sche Flachen mit gegebenen Verzweigungpunkten, Math. Ann. 39 (1891) 1−61- Uber die Anzal der Riemann’sche Flachen mit gegebenen Verzweigungpunkten, Math.Ann. bf 55 (1902) 51−60
R. Vakil, Enumerative geometry of curves via degeneration methods, Harvard Ph.D. thesis (1997) —
S.Natanzon and V. Turaev, A compactification of Hurwitz space, Topology, 38 (1999) 889 914-
A.Givental, Gromov-Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians, math/108 100-
S.Lando, Ramified coverings of the two-dimensional sphere and intersection theory in spaces of meromorphic functions on algebraic curves, Russ.Math.Surv., 57 (2002) 463 533-
T.Graber and R. Vakil, Hodge integrals and Hirwitz numbers via virtual localization, Compositio Math., 135 (2003) 25−36-
A.Mironov and A. Morozov, Virasoro constraints for Kontsevich-Hurwitz partition function, JHEP 0902 (2009) 024, arXiv:0807.2843
A.Okounkov, Toda equations for Hurwitz numbers, Math.Res.Lett. 7 (2000) 447−453- A. Okounkov and R. Pandharipande, Gromov- Witten theory, Hurwitz theory, and completed cycles, Ann. of Math. 163 (2006) 517, math. AG/204 305
E.Wigner, Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions, Ann.Math. 62 (1955) 548- On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices, Ann. of Math. 67 (1958) 325−328-
F.Dyson, J.Math.Phys. 3 (1962) 140, 157,166, 1191, 1199- F. Dyson and M. Mehta, J. Math. Phys. 4, 701 (1963)
A.Alexandrov, A. Mironov and A. Morozov, Partition functions of matrix models as the first special functions of string theory. I: Finite size Hermitean 1-matrix model, Int. J.Mod.Phys. A19 (2004) 4127, hep-th/310 113-
E.Brezin, C. Itzykson, G. Parisi and J.-B.Zuber, Comm. Math. Phys. 59 (1978) 35- D. Bessis, C. Itzykson and J.-B.Zuber, Adv. Appl. Math. 1 (1980) 109 —
M.-L. Mehta, A method of integration over matrix variables, Comm. Math. Phys. 791 981) 327- Random Matrices, 2nd edition, Acad. Press., N.Y., 1991-
J.Ambjorn, L. Chekhov, C.F.Kristjansen and Yu. Makeenko, Matrix Model Calculationsbeyond the Spherical Limit, Nucl.Phys. B404(1993) 127−172, Erratum B449 (1995) 681, hep-th/9 302 014-
B.Eynard, Large Random Matrices: Eigenvalue Distribution, hep-th/9 401 165- L. Chekhov and C. Kristjansen, Hermitian Matrix Model with Plaquette Interaction, Nucl.Phys. B479 (1996) 683−696, hep-th/9 605 013-
M.Fukuma, H. Kawai and R. Nakayama, Int.J.Mod.Phys. A6 (1991) 1385- R. Digkgraaf, E. Verlinde and H. Verlinde, Nucl.Phys. B348 (1991) 565- A. Mironov and A. Morozov, Phys.Lett. B252(1990) 47−52-
F.David, Loop Equations and Nonperturbative Effects in Two-Dimensional Quantum
Gravity, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1019-
J.Ambjorn and Yu. Makeenko, Mod.Phys.Lett. A5 (1990) 1753-
H.Itoyama and Y. Matsuo, Phys.Lett. B255 (1991) 202-
A.Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, From Virasoro Constraints in Kontsevich’s Model to W-constraints in 2-matrix Models, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 1345−1360, hep-th/9 201 010-
A.Mironov and A. Morozov, Virasoro constraints for Kontsevich-Hurwitz partition function, JHEP 0902 (2009) 024, arXiv:0807.2843
A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, and A. Orlov, Matrix Models of Two-Dimensional Gravity and Toda Theory, Nucl. Phys. B357 (1991) 565−61 824. 0.1.Bogoyavlensky, Comm. Math. Phys., 51 (1976) 201−209
M.Olshanetsky and A. Perelomov, Phys.Rep., 94 (1983) 313−404- Invent. Math., 54 (1979)261.269- Theor.Math.Phys., 45 (1980) 3−18 B. Kostant, Adv. Math., 34 (1979) 195−338
A.Gerasimov, S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov and M. Olshanetsky, Int.J.Mod. Phys. A12 (1997) 2523−2584, hep-th/9 601 161
J. Harer, D. Zagier, The Euler Characteristic of the Moduli Space of Curves, Inv. Math. 85 (1986) 457−485
C. Itzykson, J.-B. Zubcr- Matrix integration and combinatorics of modular groups, Comm. Math. Phys. 134 (1990) 197−207-
B. Lass, Demonstration combinatoire de laformule de Harer-Zagier, C. R. Acad. Sci. Paris, Se’rie, I, 333, No.3 (2001), 155−160-
S.K. Lando, A.K. Zvonkine, Graphs on Surfaces and Their Applications, Springer (2003) — I. P. Goulden and A. Nica, A direct bisection for the Harer-Zagier formula, J. Comb. Theory, A, 111, No. 2 (2005), 224−238
E.Akhmedov and Sh. Shakirov, Gluing of Surfaces with Polygonal Boundaries, arXiv:0712.2448
A. Zvonkin, Matrix integrals and map enumeration: an accessible introduction, Combinatorics and Physics (Marseilles 1995), Math. Comput. Model. 26 (1997) 281−304
P. Forrester, N. Snaith and J. Verbaarschot, Developments in Random Matrix Theory, J. Phys. A36 2859−3645, cond-mat/303 207
A.Morozov, Challenges of matrix models, hep-th/502 010-
M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves, Funk. Anal. Prilozh., 25:2 (1991) 50−57- Intersection theory on the moduli space of curves and the Airy function, Comm.Math.Phys. 147 (1992) 1−23-
A.Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, On the Equivalence of Topological and Quantum 2d Gravity, Phys.Lett. 274B (1992) 280−288, hep-th/9 201 011-
P. Di Francesco, C. Itzykson and J.-B.Zuber, Polynomial averages in the Kontsevich model, Comm.Math.Phys. 151 (1993) 193−219, hep-th/9 206 090-
A.Mironov, A. Morozov and G. Semenoff, Unitary matrix integrals in the framework of Generalized Kontsevich Model. I. Brezin-Gross-Witten Model, Int.J.Mod.Phys. All (1996) 5031−5080, hep-th/9 404 005-
A.Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov and P. Putrov, Partition Functions of Matrix Models as the First Special Functions of String Theory. II. Kontsevich Model, arXiv:0811.2825-
M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Marino and C. Vafa, Topological strings and integrable hierarchies, arXiv: hep-th/312 085-
M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Marino, and C. Vafa, Topological strings and integrable hierarchies, hep-th/312 085-
Jaume Gomis, Anton Kapustin, Two-Dimensional Unoriented Strings And Matrix Models, JHEP 0406 (2004) 002, hep-th/310 195-
A. Kapustin, Gauge theory, topological strings, and S-duality, JHEP0409:034,2004, hep-th/404 041- Topological strings on noncommutative manifolds, hep-th/310 057, Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys. 1 (2004) 49−81-
A. Kapustin, L. Rozansky, On the relation between open and closed topological strings, Commun.Math.Phys. 252 (2004) 393−414, hep-th/405 232-
M. Temurhan, Random matrices in topological string theory, Doctoral Thesis, University of Amsterdam, 2005
K. Demeterfi, N. Deo, S. Jain and C.-I Tan, Phys.Rev. D42 (1990) 4105−4122- J. Jurkiewicz, Phys.Lett. 245 (1990) 178-
C. Crnkovicz and G. Moore, Phys.Lett. B257 (1991) 322-
G. Akemann and J. Ambjorn, J.Phys. A29 (1996) L555-L560, cond-mat/9 606 129- G. Akemann, Higher genus correlators for the Hermitian matrix model with multiple cuts, Nucl.Phys. B482 (1996) 403−430, hep-th/9 606 004
Chekhov and A. Mironov, Matrix models vs. Seiberg-Witten/Whitham theories, Phys.Lett. B552 (2003) 293−302, hep-th/209 085-
R.Dijkgraaf, S. Gukov, V. Kazakov and C. Vafa, Analysis of Gauged Matrix Models, Phys.Rev. D68 (2003) 45 007, hep-th/210 238-
V.Kazakov and A. Marshakov, Complex Curve of the Two Matrix Model and its Tau-function, J.Phys. A36 (2003) 3107−3136, hep-th/211 236-
S.Naculich, H. Schnitzer and N. Wyllard, Matrix model approach to the N—2 U (N) gauge theory with matter in the fundamental representation, JHEP 0301 (2003) 015, hep-th/211 254-
B.Feng, Geometric Dual and Matrix Theory for SO/Sp Gauge Theories, Nucl.Phys. B661 (2003) 113−138, hep-th/212 010-
Bena, S. de Haro and R. Roiban, Generalized Yukawa couplings and Matrix Models, Nucl.Phys. B664 (2003) 45−58, hep-th/212 083-
Ch.Ann, Supersymmetric SO (N)/Sp (N) Gauge Theory from Matrix ModeLExact Mesonic Vacua, Phys.Lett. B560 (2003) 116−127, hep-th/301 011-
Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov and D. Vasiliev, DV and WDVV, hep-th/301 071- Complex Geometry of Matrix Models, Proc. Steklov Inst.Math. 251 (2005) 254, hep-th/506 075-
M.Matone and L. Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Supersymmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/305 225-
R.Argurio, G. Ferretti and R. Heise, An Introduction to Supersymmetric Gauge Theories and Matrix Models, Int.J.Mod.Phys. A19 (2004) 2015−2078, hep-th/311 066-
M.Gomez-Reino, Exact Superpotentials, Theories with Flavor and Confining Vacua, JHEP 0406 (2004) 051, hep-th/405 242-
Sh.Aoyama, The Disc Amplitude of the Dijkgraaf-Vafa Theory: 1/N Expansion vs Complex Curve Analysis, JHEP 0510 (2005) 032, hep-th/504 162-
D.Berenstein and S. Pinansky, Counting conifolds and Dijkgraaf-Vafa matrix models for three matrices, hep-th/602 294
F. Cachazo, K. Intriligator and C. Vafa A Large N Duality via a Geometric Transition, Nucl.Phys. B603 (2001) 3−41, hep-th/103 067-
F.Cachazo and C. Vafa, N=1 and N=2 Geometry from Fluxes, hep-th/206 017- M. Matone and L. Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Supersymmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/305 225-
Chekhov and A. Mironov, Matrix models vs. Seiberg-Witten/Whitham theories, Phys.Lett. B552 (2003) 293−302, hep-th/209 085-
R.Dijkgraaf, S. Gukov, V. Kazakov and C. Vafa, Analysis of Gauged Matrix Models, Phys.Rev. D68 (2003) 45 007, hep-th/210 238-
V.Kazakov and A. Marshakov, Complex Curve of the Two Matrix Model and its Tau-function, J.Phys. A36 (2003) 3107−3136, hep-th/211 236-
S.Naculich, H. Schnitzer and N. Wyllard, Matrix model approach to the N=2 U (N) gauge theory with matter in the fundamental representation, JHEP 0301 (2003) 015, hep-th/211 254-
B.Feng, Geometric Dual and Matrix Theory for SO/Sp Gauge Theories, Nucl.Phys. B661 (2003) 113−138, hep-th/212 010-
Bena, S. de Haro and R. Roiban, Generalized Yukawa couplings and Matrix Models, Nucl.Phys. B664 (2003) 45−58, hep-th/212 083-
Ch.Ann, Supersymmetric SO (N)/Sp (N) Gauge Theory from Matrix Model: Exact Mesonic Vacua, Phys.Lett. B560 (2003) 116−127, hep-th/301 011-
Chekhov, A. Marshakov, A. Mironov and D. Vasiliev, DV and WDVV, hep-th/301 071- Complex Geometry of Matrix Models, Proc. Steklov Inst.Math. 251 (2005) 254, hep-th/506 075-
M.Matone and L. Mazzucato, Branched Matrix Models and the Scales of Super symmetric Gauge Theories, JHEP 0307 (2003) 015, hep-th/305 225-
Sh.Aoyama, The Disc Amplitude of the Dijkgraaf-Vafa Theory: 1/N Expansion vs Complex Curve Analysis, JHEP 0510 (2005) 032, hep-th/504 162-
D.Berenstein and S. Pinansky, Counting conifolds and Dijkgraaf-Vafa matrix models for three matrices, hep-th/602 294
A.Morozov and Sh. Shakirov, Generation of Matrix Models by W-operators, JHEP, 0904 (2009) 064, arXiv: 0902.2627
A.Alexandrov, A. Mironov and A. Morozov, M-theory of matrix models, Theor.Math.Phys. 150 (2007) 179−192, hep-th/605 171- Instantons and merons in matrix models, Physica D 235 (2007) 126−167, hep-th/608 228-
N.Orantin, Symplectic invariants, Virasoro constraints and Givental decomposition, arXiv:0808.0635
D.Bessis, A new method in the combinatorics of the topological expansion, Comm.Math.Phys. 69 (1979) 147-
A.Migdal, Loop equations and 1/N expansion, Phys.Rep. 102 (1983) 199- Yu. Makeenko, A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Continuum versus discrete Virasoro in one-matrix models, Nucl.Phys. B356 (1991) 574-
J. Ambjorn and C.F. Kristjansen, From l-matrix model to Kontsevich model, Mod.Phys.Lett. A8 (1993) 2875−2890, hep-th/9 307 063-
B.Eynard and N. Orantin, Topological expansion of the 2-matrix model correlation functions: diagrammatic rules for a residue formula, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/504 058-
Chekhov and B. Eynard, Hermitean matrix model free energy: Feynman graph technique for all genera, JHEP 0603 (2006) 014, hep-th/504 116- Matrix eigenvalue model: Feynman graph technique for all genera, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/604 014
B.Eynard and N. Orantin, Topological expansion of the 2-matrix model correlation functions: diagrammatic rules for a residue formula, JHEP 0612 (2006) 026, math-ph/504 058-
N.Orantin, Gaussian matrix model in an external field and non-intersecting Brownian motions, arXiv:0803.0705
M. L. Mehta, Randommatrices, Pure and Applied Mathematics Series 142 (2004) —
B. Eynard and O. Marchal, Topological expansion of the Bethe ansatz, and non-commutative algebraic geometry, JHEP 0903 (2009) 094, arXiv:0809.3367- P. Desrosiers, Duality In Random Matrix Ensembles For All Beta, Nucl. Phys. B 817 (2009) 224
R. Dijkgraaf and C. Vafa, Toda Theories, Matrix Models, Topological Strings, and N=2 Gauge Systems, arXiv:0909.2453-
H.Itoyama, K. Maruyoshi and T. Oota, Notes on the Quiver Matrix Model and 2d~4d Conformal Connection, arXiv:0911.4244-
T. Eguchi and K. Maruyoshi, Penner Type Matrix Model and Seiberg-Witten Theory, arXiv:0911.4797-
R. Schiappa and N. Wyllard, An Ar threesome: Matrix models, 2d CFTs and 4d N=2 gauge theories, arXiv:0911.5337-
A.Mironov, A. Morozov and Sh. Shakirov, Matrix Model Conjecture for Exact BS Periods and Nekrasov Functions, arXiv:0911.5721-
A.Mironov, A. Morozov and Sh. Shakirov, Conformal Blocks as Dotsenko-Fateev Integral Discriminants, arXiv: 1001:0563
L.Alday, D. Gaiotto and Y. Tachikawa, Lett.Math.Phys. 91 (2010) 167−197, arXiv:0906.3219
N.Drukker, D. Morrison and T. Okuda, JHEP 0909 (2009) 031, arXiv:0907.2593- Andrey Mironov, Sergey Mironov, Alexei Morozov and Andrey Morozov, arXiv:0908.2064- S. Iguri and C. Nunez, JHEP 11 (2009) 090, arXiv:0908.3460-
D.Nanopoulos and D. Xie, arXiv:0908.4409- JHEP 1003 (2010) 043, arXiv:0911.1990- arXiv: 1005.1350- arXiv: 1006.3486-
Alday, D. Gaiotto, S. Gukov, Y. Tachikawa and H. Verlinde, JHEP 1001 (2010) 113, arXiv:0909.0945-
N.Drukker, J. Gomis, T. Okuda and J. Teschner, JHEP 1002 (2010) 057, arXiv:0909.1105- A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, JHEP 11 (2009) 048, arXiv:0909.3338- JHEP 0912 (2009) 038, arXiv:0909.3412-
G.Bonelli and A. Tanzini, arXiv:0909.4031- J.-F.Wu and Y. Zhou, arXiv:0911.1922-
G.Giribet, JHEP 01 (2010) 097, arXiv:0912.1930-
N.Nekrasov and E. Witten, arXiv: 1002.0888
Wei He and Yan-Gang Miao, arXiv: 1006.1214- arXiv: 1006.5185- S. Kanno, Y. Matsuo and S. Shiba, arXiv:1007.0601-
K.Maruyoshi and M. Taki, arXiv: 1006.4505-
P. Wiegmann and A. Zabrodin, Large N expansion for normal and complex matrix ensembles, arXiv: hep-th/309 253
Y. Lutsyshyn and J. Boronat, in preparation
A.Zamolodchikov, Theor.Math.Phys. 63 (1985) 1205-
A.Marshakov and A. Morozov, A Note on W3-Algebra, Nucl.Phys. B339 (1990) 79−94- A. Morozov, On the Concept of Universal W Algebra, Nucl.Phys. B357 (1991) 619−631
Harish-Chandra, Am. J. Math. 79 (1957) 87
C.Itzykson and J.-B.Zuber, J.Math.Phys. 21 (1980) 411
J.Duistermaat and G. Heckman, Invent.Math. 69 (1982) 259
A. Hietamaki, A. Morozov, A. Niemi and K. Palo, Geometry of N=½ supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem, Phys.Lett. B263 (1991) 417−424-
Supersymplectic geometry of supersymmetric quantum field theories, Nucl.Phys. B377 (1992) 295−338-
M.Bowick, A. Morozov and D. Shevitz, Reduced unitary matrix models and the hierarchy of tau functions, NucLPhys. B354 (1991) 496−530-
A.Morozov, Pair Correlator in the Itzykson-Zuber Integral, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 3503−3508, hep-th/9 209 074-
S.Shatashvili, Correlation Functions in The Itzykson-Zuber Model, Comm.Math.Phys. 154 (1993) 421−432, hep-th/9 209 083-
A.Mironov, A. Morozov and G. Semenoff, Unitary matrix integrals in the framework of Generalized Kontsevich Model I. Brezin-Gross-Witten Model, Int.J.Mod.Phys. All (1996) 5031−5080, hep-th/9 404 005-
B.Eynard, A short note about Morozov’s formula, math-ph/406 063-
A. Ferrer, B. Eynard, P. Di Francesco and J.-B. Zuber, Correlation Functions of Harish-Chandra Integrals over the Orthogonal and the Symplectic Groups, J.Stat.Phys. 129 (2009) 885−935, math-ph/610 049- /
M.Bergere and B. Eynard, Some properties of angular integrals, arXiv:0805.4482
A.Morozov and Sh. Shakirov, On equivalence of two Hurwitz matrix models, Mod.Phys.Lett.A24:2659−2666,2009, arXiv:0906.2573

Заполнить форму текущей работой