Интегральные характеристики конформных отображений

В диссертации создан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних для производных конформных отображений круга на односвязные области, а также установлена связь между спектром интегральных средних и законом повторного логарифма.

Оценки интегральных средних конформных отображений занимают ведущее положение в геометрической теории функций комплексного переменного. В качестве примера укажем теорему площадей, доказанную Гронуоллом [79], позволившую получить ряд точных оценок различных функционалов в классе однолистных функций (см., например, [34]). Отметим также, что в силу интегральной формулы Коши проблемы коэффициентов однолистных функций являются по-существу проблемами интегральных средних. Начало бурного развития этого научного направления связано с работами Кебе, Бибербаха и Левнера.

Одной из центральных проблем геометрической теории функций в XX веке стала гипотеза Бибербаха о том, что |ап| < п, где апкоэффициенты Тейлора функций из класса S. Напомним, что класс S состоит из однолистных и голоморфных в круге 0 = {г:|, г|<1} функций /, удовлетворяющих соотношениям /'(0) — 1 = /(0) = 0. Литтлвуд [91] получил точный порядок роста интегральных средних в классе S.

7 Г.

Jf (re*)de = o (^y г 1-,.

7 Г с помощью которого он доказал оценку ап < en, что явилось первым нетривиальным результатом в этом направлении после хорошо известных результатов Бибербаха |а2| < 2 и Левнера |аз| < 3. Впоследствии оценка Литтлвуда неоднократно улучшалась. Здесь следует отметить работы советских математиков И. Е. Базилевича, И. М. Милина и Н. А. Лебедева. В 1985 году де Бранж, доказав гипотезу Лебедева-Милина (из которой следует гипотеза Бибербаха), завершил большой цикл исследований в этом направлении.

Проблема оценки интегральных средних для модуля однолистной функции (или для модуля ее производной) до доказательства гипотезы Бибербаха рассматривалась как вспомогательный инструмент для оценки коэффициентов в классе S.

После работ Н. Г. Макарова [97], Карлесона и Джонса [65] (в которых раскрыты нетривиальные связи между интегральными средними и граничным поведением конформных отображений) оценки интегральных средних начинают играть ведущую роль в работах по геометрической теории функций. Одним из основных результатов диссертации является получение лучших на сегодняшний день нижних оценок для интегральных средних.

7 Г.

J IПге")?М 7 Г производных однолистных функций в интервале t Е (0,1/3], а также для t — — 1. Эта задача сложна тем, что в отличие от проблемы интегральных средних для |/| (эта проблема была решена Бернстай-ном [52]) функция Кебе заведомо не является экстремальной в этой задаче.

Оценки интегральных средних существенно опираются на геометрические методы теории функций. Кроме упомянутых выше ученых важный вклад в развитие этих методов внесли зарубежные математики Альфорс, Варшавский, Дженкинс, Дюрен, Поммеренке, Хей-ман и Шиффер. Значительный вклад в развитие геометрической теории функций принадлежит советским математикам Г. М. Голузину, М. В. Келдышу, М. А. Лаврентьеву, И. И. Привалову. Их плодотворные исследования были продолжены Ф. Г. Авхадиевым, Л.А. Аксен-тьевым, И. А. Александровым, А. Ю. Васильевым, В. В. Горяйновым, Е. П. Долженко, В. Н. Дубининым, Г. В. Кузьминой, С. Л. Крушкалем, С. Р. Насыровым, Д. В. Прохоровым, А. Ю. Солыниным, В. В. Старковым, Н. А. Широковым и другими российскими математиками.

Опишем кратко фундаментальные результаты, развитию и углублению которых посвящена настоящая диссертация.

Пусть О, — односвязная область на плоскости, граница которой содержит не менее двух точек, / - конформное отображение круга i на П. В силу хорошо известных теорем искажения, имеет место соотношение.

Правиц [116], обобщая результат Литтлвуда [91], показал, что для любого фиксированного р > ½ выполняется соотношение 1 2p-l f (re")49 = 0{—), г 1.

— 7 Г.

Таким образом, при интегрировании по линиям уровня порядок роста модуля однолистной функции уменьшается на единицу.

Поскольку l/V)l = °(rb)'' г>1, то естественно ожидать, что для любого фиксированного р > 1/3 выполняется соотношение j /ге")Чв = О (^У* г- 1. 1С.

Это было подтверждено Фенгом и МакГрегором в работе [74], однако лишь для случая р > 2/5. Н. Г. Макаровым [96] показано, что этот результат не верен для р, близких к 1/3. Ниже мы покажем, что этот результат не верен при р < 0.341 (имеется гипотеза, что точная грань здесь равна 6 — 4/2 = 0.343.). Итак, Н. Г. Макаровым установлено существенное различие между интегральными средними однолистной функции и ее производной. Причины этого различия не были ясны до середины 80-х годов XX века. Удачной идеей оказалось рассмотрение спектра интегральных средних.

2тг.

In jf f'(rei9)pd0 Ш = limsup ]Hl-r) ' который фактически является порядком роста интегральных средних производной. Для «хороших» областей (например, для областей с ограниченным граничным вращением) (3f (p) является кусочно-линейной функцией от р.

Отметим три важнейших результата, касающихся спектра интегральных средних:

1) Карлесон и Джонс [65] показали, что, а (л г 1п &trade-п sup pf{ 1) = а = sup lim sup —L, feSi feSi n-«oo m n где Si — класс функций, ограниченных и однолистных в круге D, ап — коэффициенты разложения Тейлора функции /. Заметим, что неравенство sup /5/(1) > а доказывается весьма просто (и основывается на том, что интеграл от модуля некоторой функции не меньше, чем модуль интеграла от той же функции), в то время, как обратное неравенство является глубоко нетривиальным фактом.

2) Н. Г. Макаровым [97] доказано, что если множество, А С <9D измеримо, но Борелю, то для любого q > 0 справедливо неравенство jл ^ qdimA.

Pf (~Q) + 9 + 1 -dim A' где dim Л — хаусдорфова размерность множества А.

3) Поммеренке ([109], [110], стр. 241) установил следующий факт. Если область /(D) является областью класса Джона (т. е. не имеет внутренних нулевых углов), то mdimd/(D) = р, где р — единственное решение уравнения Pf (p) = р— 1, mdim — верхняя метрическая размерность Минковского.

Из этих результатов становится ясна причина сложного поведения (3f (p). Знаменитая теорема Каратеодори утверждает, что конформное отображение друг на друга областей с жордановыми границами может быть продолжено до гомеоморфизма замкнутых областей, однако не дает информацию о том, каким образом искажаются линейные меры борелевских множеств на границе этих областей. Исследование поведения спектра интегральных средних позволяет пролить свет на этот вопрос.

Перейдем теперь к конкретному описанию результатов, полученных в диссертации.

В параграфе 1 главы 1 введена новая характеристика конформных отображений, которая тесно связана со спектром интегральных средних Pf (t). Пусть / - локально однолистная и аналитическая в круге D функция. Тогда In /' также является аналитической в круге Ю> функцией и может быть разложен в степенной ряд Y2b=oakzki равномерно сходящийся внутри Ю>. Величину.

00 p}(t) = limsup^—-назовем *-спектром интегральных средних. Здесь и=0.

— модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Поскольку 1п/о (ж) < ж2/4, то /3*j (t) является конечной функцией от t, если.

00 Ы2г2к limsupy^—-г < оо. v—> 1 |1п (1-г)|.

Последнее соотношение выполняется для любой функции /, аналитической и однолистной в круге В .

Модифицированная функция Бесселя 7q при исследовании Pf (t) была впервые использована Роде ([110], стр. 191, [121]). Им было показано, что если In f'(z) = aYjZqk, то j3f (t) > nlQ (at)/nq.

В этом же параграфе показана связь характеристик /3f (t) и Доказано, что j3j (t) (как и /?/(?)) является непрерывной выпуклой функцией от t. Далее показано, что спектр (3f (t) может быть получен из (3f (t) путем «поворота» (см. ниже свойство 4) тейлоровских коэффициентов In f'(z). Установлено, что если тейлоровские коэффициенты dk разложения In f'(z) положительны, то /?/(?) > P}(t)-Отметим одно важное достоинство *-спектра, а именно, более простое его строение по сравнению со спектром интегральных средних. Это следует из того, что тело модулей коэффициентов в пространстве Блоха устроено относительно просто (см. п. 1.4), что не скажешь о всем теле коэффициентов в этом пространстве. Доказаны следующие свойства *-спектра.

Свойство 1. Предположим, что функция / аналитична и однолистна в круге D. Тогда *-спектр интегральных средних Pj (t) является непрерывной выпуклой функцией от t на всей числовой прямой.

Свойство 2. Пусть In f (z) = Y^k=oakzh > ak> 0- Тогда.

3f (t)>p}(t), t> 0.

Свойство 3. Предположим, что функция f аналитична и однолистна в круге D. Тогда *-спектр интегральных средних может быть вычислен по формуле:

1 «f) = limsup — ^ln/oWflitl), п—?оо in Tl где ak тейлоровские коэффициенты In f'(z).

Свойство 4. Пусть In f'(z) = Y^k=akzkЕсли коэффициенты ak удовлетворяют соотношению.

2 п supj^ ак < +оо, п, к=п то найдется последовательность вещественных чисел {в^}, такая, что где W (*) = 2Xi akeldkzk. Пусть (см. [110], стр. 186) r-i In ^.

— асимптотическая дисперсия конформного отображения /, где atтейлоровские коэффициенты In f'(z).

Свойство 5. Для любой аналитической и однолистной в круге D функции / и любого t имеет место неравенство т) * <49.

Если коэффициенты a, k —"¦ 0 при к —> оо, то знак нестрогого неравенства превращается в знак равенства.

Свойство 6. Если функция f аналитична и однолистна в круге D и In f'(z) = J2akZnk, Нт^-юо Пк+/щ = q > I, то где lnIo (a t) < < InI0(g+t) In q ~~ * ~ In q a = liminf |ojfc|, a+ = limsup |а&-|. k—"oo fc—>oo.

1 • f 1.

— - mi sup —j=.

7 Ы X, N VN eivk ikx.

Определим *-универсальный спектр следующим равенством: f) = sup/?}(*), где супремум берется по всем функциям, аналитическим и однолистным в круге В. Обозначим.

N к=1.

Хорошо известно [45], что 0 < 7 < 1. Имеет место Свойство 7. у 2 j-t2 < B*(t) < 312, t € (-00, +00). 64.

В параграфе 2 главы 1 получены нижние оценки спектра интегральных средних, а именно, доказано, что существует ограниченная, аналитическая и однолистная в В функция /, такая, что t2 2 pf{t) > - при 0 < t < -. о о.

Также установлено существование ограниченной однолистной функции, для которой (3f (—1) > 0.127. Эти результаты усиливают соответствующие результаты, полученные Роде [121], который доказал существование однолистной функции g, такой, что (3g (t) > 0.117it2 при малых t.

В третьем параграфе решаена задача Дюрена об однолистности функций вида г f (z) = J exp (Xzn)dz. о.

Показано, что при |А| < 1.7646 эта функция будет однолистной для достаточно больших п. Для п < 10 эта задача была решена В. Н. Гайдуком [15].

Четвертый параграф главы 1 посвящен закону повторного логарифма для конформных отображений.

Предположим, что функция / аналитична, и однолистна в круге В. Н. Г. Макаров [95] доказал, что существует абсолютная положительная постоянная С, такая, что limsup, |1П//(ГС)| < С In/'Цв г—"i— ln (l — т) | In In | ln (l — r)| - 11 для почти всех (на окружности |?| = 1, где.

1п/'||в = I In/'(0)1 + sup (l — z2).

Z)<1 f" .

7W.

— стандартная норма Блоха.

В работах ([110], [98], [65]) установлено существование нетривиальной связи между граничным поведением конформных отображений и спектром интегральных средних. С другой стороны, Н. Г. Макаровым [95] показано, что закон повторного логарифма тесно связан с граничными свойствами конформных отображений. Отсюда вытекает естественный вопрос: каким образом связаны между собой закон повторного логарифма и спектр интегральных средних? Возможным ответом на него является следующий результат, доказанный в четвертом параграфе главы 1.

Предположим, что функция / локально однолистна и аналитична в круге О и 5 > 0. Тогда.

Г [Ь/Ю! УШ lim sup < 2 lim sup — r-+l- •у | ln (l — r)| In In | ln (l — r)| p—>o 'P для почти всех (на = 1.

В пятом параграфе исследуются граничные свойства конформных отображений на основе закона повторного логарифма.

Предположим, что функция / аналитична и однолистна в круге Ю>. Закон повторного логарифма Макарова эквивалентен тому, что существует абсолютная положительная постоянная С, такая, что.

-.г, «п/'(гС)| г->1- J ln (l — г) | In In | ln (l — r) | ~ для почти всех (на окружности |(| = 1. Поммеренке [110] показал, что данное неравенство справедливо при С = 6. В пятом парагра,-фе доказано, что этот закон верен при С = 2у/3. Этот результат позволяет уточнить метрические свойства образов подмножеств единичной окружности положительной меры при конформных отображениях круга на области, ограниченные жордановой кривой.

Итак, пусть Q — односвязная область на комплексной плоскости, ограниченная жордановой кривой. Тогда по теореме Римана существует конформное отображение / круга В = {z: z < 1} на П.

Основная проблема: пусть, А — множество положительной линейной меры на <90- требуется охарактеризовать метрические свойства т.

Классическая теорема Рисса-Привалова утверждает, что если область /(В) имеет спрямляемую границу, то линейная мера f (A) также положительна. М. А. Лаврентьевым [32] показано, что в общем случае этот результат не верен.

Введем некоторые понятия, необходимые для формулировки основного результата пятого параграфа.

Пусть (р — некоторая непрерывная, положительная, строго возрастающая функция на интервале [0, +оо), причем <^(0) = 0. Пусть Амножество на комплексной плоскости.

— мерой Хаусдорфа множества, А называется величина где инфимум берется по всевозможным покрытиям Bk множества А, таким, что diamSfc < е. В том случае, когда ip (t) = ta, вместо обозначения Л (<* просто пишут Ла. J1. Карлесоном в 1973 году доказана.

Теорема А. Пусть f — конформное отображение круга D на од-носвязную область Предположим, что множество, А с 5D имеет положительную линейную меру. Тогда найдется? > 0, такое,.

В 1985 году Н. Г. Макаров показал, что в качестве е можно взять любое положительное число из интервала (0,½). Более того, им доказана.

Теорема В. Предположим, что, А — борелевское множество положительной линейной меры на окружности 5 В. Тогда найдется абсолютная константа С > 0, такая, что Aip (f (A)) > 0, где.

В 1992 году Поммеренке показал [110], что в качестве константы метим важность константы С: при разных ее значениях получаются неэквивалентные меры Хаусдорфа.

Шестой параграф посвящен проблеме коэффициентов однолистных функций. Основным результатом является решение проблемы Андерсона, Клуни и Поммеренке, поставленной в [48]: найти или оце.

A J А) = lim inf } </?(diam5fc) что, А ½+е (/(А)) > 0.

С можно взять число 30. Мы понижаем эту константу до 6/3. Отнить supan (f), fes где an (f) — тейлоровские коэффициенты In f'(z). Показано, что этот супремум равен 4.

Пусть Si — класс функций, однолистных и аналитических в круге О, нормированных следующим образом: f (z)=ai (f)z + a2(f)z2 + f (z).

Рассмотрим наряду с классом Si класс Е — аналитических и однолистных в = {|, z| > 1} функций, нормированных следующим образом:

F{z) = z + bo (F) + bi (F)z~1 + b2(F)z-2 + • • Рассмотрим следующие величины:

Ап = sup an (f), fes,.

Bn — sup bn (F), Fez.

Карлесон и Джонс [65] доказали неравенства.

Вп/С < Ап < Сп2пВГ1, п> 2. в этих неравенствах С — абсолютная положительная константа. В этом параграфе доказано, что на самом деле верно более сильное соотношение.

Ап < СппВп1ПП.

Преимущество этого неравенства заключается в том, что во-первых, показатель степени логарифма уменьшается на порядок, во-вторых, вместо Вп берутся Вп 1пп.

В седьмом параграфе изучена проблема, поставленная Д. Гамильтоном [54]: Для каких областей ?1 существует постоянная k (Q) < +оотакая, что jf2dxdy < k (Q) JVf2dxdy n n для любой аналитической в П функции f (z), нормированной условием /(0) = 0.

Если такая константа существует, то область Q будем называть гамильтоновой.

Это неравенство является аналогом неравенства Пуанкаре для функций с компактным носителем, которые обращаются в нуль на границе области. Ф. Г. Авхадиевым и Р. Г. Салахудиновым [51] выделены области, для которых оно верно. Этими областями являются области класса Джона, т. е. области без внутренних нулевых углов. В другом направлении Хуммелем [82] был построен пример спиралеобразной области, для которой аналитическое неравенство Пуанкаре не верно. Нами получен следующий результат.

Существуют ограниченная звездная область Q со спрямляемой границей и аналитическая в функция f (z), такие, что.

J f2dxdy = +оо,.

J Vf2dxdy < +оо. n.

Вторая глава диссертации посвящена оценкам интегральных средних в различных подклассах однолистных функций.

В первом параграфе этой главы рассматриваются конформные отображения, логарифм производных которых представим в виде ла-кунарного ряда Адамара. Эти функции отображают круг на области с фрактальными границами. Доказано, что для таких отображений справедливо неравенство lim sup iin/'K)i < 2 lim т г.

1 1п (1 — r) j lnln 11п (1 — г) I t-o t для почти всех (на окружности = 1. Равенство достигается в случае, если существует предел lim^ br)/ln (l — r)|, где br) = |а*| V4 В этом же параграфе доказано асимптотическое соотношение.

Pf (t) = P}{t) + 0{tq) при t О, где q — показатель лакунарности ряда функции In /'.

Второй параграф посвящен исследованию спектра интегральных средних для бассейнов притяжения бесконечности полиномов (см. [37]). Подробно рассматривается случай F = zq + с, где q — натуральное число, большее 2. Предполагается, что параметр с выбран таким образом, что бассейн притяжения бесконечности Qр — односвязная область.

Получены следующие результаты.

Пусть / конформное отображение внешности единичного круга D на бассейн притяжения бесконечности полинома F = zq + с lim = ^ + о (Х) при X —> О, t->o t 4.

X = dim — 1, где dimf} хаусдорфова размерность dQ. Если.

О < с < (/q)l^q~ll — 1/q), то, , In In (ct).

Pf{t) >, , 0 < t < +oo. m q.

В третьем параграфе второй главы изучаются свойства интегральных средних полиномиальных произведений Рисса, которые тесно связаны с полиномиальной динамикой на плоскости. Рассматриваются локально однолистные в круге функции /, производные которых имеют вид.

00 к=О где функция Ф (z) — некоторая функция, аналитическая в круге D.

Следует отметить, что единичный круг является естественной областью определения таких отображений. Литтлвуд [92] использовал такое отображение с функцией Ф (, г) = (1 + z/3)/(l — zjЗ)3 для построения ограниченной аналитической и однолистной в круге функции, коэффициенты которой не удовлетворяют соотношению dk = 0(1/к), к —> оо, что явилось первым нетривиальным результатом в проблеме коэффициентов для ограниченных однолистных функций.

Пусть q, m — натуральные числа, q > 2. Введем следующие обозначения:

00 ат) Ч) = sup{<72: /' = ф 0 в к=0 оо q) = suptf/p): f = Др-(^), f ф 0 в к=О.

В этих определениях супремум берется по всем полиномам рт степени т, нормированных условием рт (0) = 1.

Доказано, что ajj (m) зависит аналитически от параметров т и q. Функция /?2(т, </), несмотря на схожесть с a2(m, q), имеет точку фазового перехода т = q— 1, т. е. эта функция изменяет свое поведение в точке т = q — 1.

Показано, что.

7Г2 (q + 1) m2 a (m, q) =.

6 (?-l)lng'.

А™Г{т+).

32 [m, q) nq = ln ——=—, m q — 1. 17.

В четвертом параграфе главы 2 доказана теорема искажения для лакунарных рядов. Справедливо следующее утверждение.

Предположим, что f конформно отображает круг Ю) на одно-связную область на плоскости, и.

In/'= к=О где q — натуральное число, большее 1. Тогда для любого, а > 0 существует Са < -(-оо, такая, что.

1п2+а -2f (z).

1 — г.

Более того, при q > 3 l/'WI <^3, N = r.

С помощью этой теоремы показано, что функция dz г) Л exр n k=0 / является неоднолистной в круге В, если |А| > In 2 = 0.69. Этот результат улучшает оценку, полученную Крецером:|А| > 0.75 [89].

В этом же параграфе доказана гипотеза Бреннана для конформных отображений круга, логарифм производных которых представим в виде лакунарного ряда Адамара с показателем q > 15.

Речь идет о следующей проблеме. Пусть П — односвязная область на плоскости, не совпадающая со всей плоскостью, и ip — конформное отображение единичного круга В на Q. Брепнаиом [63] была высказана гипотеза о том, что ip' G 4/3 < р < 4, т. е.

J ip’pdxdy <оо, 4/3 <р< 4.

Если — плоскость с разрезом по некоторому лучу, то при р? (4/3,4) p’pdxdy = оо. п.

Нами доказано, что если функция / аналитична, однолистна в круге D и In f (z) = J2kLoakznki пк+i/nk > 9 > 15, то гипотеза, Бреннана верна.

В пятом параграфе главы 2 доказана гипотеза Бреннана для класса функций, имеющих следующее представление: h */'(*) «.

— M = h°k (z)' где ак > 0 при к > 1, а функция 0(2) удовлетворяет в круге В условию.

Щг) = о (1п (1 — |*|)), z — 0.

Здесь и далее — мнимая часть числа г. Отметим, что функция Кебе f (z) = zf (1 — z)2 принадлежит этому классу. Кроме того, нетрудно показать, что существуют функции из этого класса, отображающие круг на области с фрактальными границами.

Параграф б посвящен точным оценкам интегральных средних в трех подклассах класса Е. Получены следующие результаты.

Пусть F 6 £о и Ф (^) — произвольная функция, аналитическая в круге {z — 1| < 1}. Тогда для любого R > 1 выполнено неравенство.

J |tf (F'(C))|2d0< J |Ф (1 + 1/С2)|2с10 (С = Reie).

ICH-R C=R.

В частности, при р > — 1 для любой функции F имеет место точная оценка.

2тг 1.

J |*V)|"de <

О 2.

В обоих неравенствах равенство достигается, например, для функции Жуковского F{Q =? — 1/(.

Пусть F = (+ J2T= 1 ak (~k ^ - произвольная функция, аналитическая в круге {z — 1| < 3 — 2у/2}. Тогда для любого R > у/2 + 1 выполнено неравенство.

J |*(F'(C))|2d0< J |Ф (1 + 1/С2)|2с10 (С = Яе").

С|=л 1СИД.

Пусть функция Ф аналитична в окрестности 1 и Ф (1) ^ 0. Тогда найдется положительное число Гф, такое, что sup [ |Ф (/'(*))|с10 = f |Ф (*4(*))|<10 feSR J J z=r Z=T для любого г < r$, где k±(z) = z/(1 ± z)2.

Пусть Q — односвязная область, лежащая в круге D. Область Q называется гиперболически выпуклой, если любые две точки из О, можно соединить дугой окружности, лежащей в и ортогональной к окружности z = 1. Голоморфная и однолистная в D функция / называется гиперболически выпуклой, если область /(D) лежит в D и является гиперболически выпуклой.

В параграфе 7 главы 2 доказана гипотеза Мехии-Поммеренке о том, что тейлоровские коэффициенты гиперболически выпуклых функций в круге ведут себя как 0(п~2(п)/п) (п-* оо), в предположении, что образ единичного круга при отображении такими функциями является областью с ограниченным граничным вращением. Кроме того, получены асимптотически точные оценки интегральных средних производных таких функций, а также рассмотрен пример гиперболически выпуклой функции, отображающей единичный круг на область с бесконечным граничным вращением.

Доказано утверждение.

Пусть функция / гиперболически выпукла в круге D. Тогда найдется положительная константа С < оо, такая, что а (П !1/п) Ы < С—rV—, п > 2, пт п где тг.

1 г а (Г2) = lim а (Г2г) = Нш^- / г—>1 г—>1 Z7T J тг.

J0 1 f'(reie) dO граничное вращение области f (D).

Последний предел (конечный или бесконечный), очевидно, существует. Величины а (Г2г) характеризуют граничное вращение линий уровня области Q, (см. [6]).

В работе [101] была также сформулирована и другая гипотеза: коэффициенты гиперболически выпуклых функций удовлетворяют соотношению.

00 / k=1 ^ гу г-1. (1).

Геометрический смысл этого соотношения заключается в том, что при г —> 1 площадь области f (z < г) стремится к площади образа-круга /(D) со скоростью порядка 11п (1 — г)|~3. Получен следующий результат.

Предположим, что функция / гиперболически выпукла и область /(D) имеет конечное граничное вращение. Тогда тейлоровские коэффициенты / удовлетворяют соотношению (1) и выполнено неравенство.

7 Г.

J f'{eie) lnp (l + |/'(e^)|)d0 < +оо.

— 7 Г для любого положительного р < 1.

В главе 3 изучается граничное поведение аналитических в круге D функций, принадлежащих различным классам. Хорошо известно, что функция, аналитическая в круге, может быть разложена в ряд Тейлора, сходящийся во всем круге. Пусть {а^} — последовательность комплексных чисел. По теореме Фату, если 521а*-|2 < оо, то ряд 52 ак? к имеет почти всюду некасательные пределы на окружности z = 1. С другой стороны, для произвольного ряда ^2akzk} такого, что 52 ак2 = 00> перед коэффициентами ак можно расставить знаки ± так, чтобы этот ряд почти всюду не имел даже радиальных пределов ([21], глава 5, и. 8). Пусть последовательность целых чисел к лакунарна, но Адамару, т. е. lim inffc->oo Afc+i/A& > 1- Предположим, что ряд 52 akZXk является аналитической в круге О функцией. Для лакунарных рядов известно ([21], глава 5, п. 6), что если 52 ак2 — оо, то этот ряд почти всюду не имеет даже радиальных пределов.

А.И. Маркушевичем ([36], [41], глава 2, п. 10) сформулирована следующая проблема: найти классы функций, существенно отличных от лакунарных рядов, для которых верно следующее: если 52 lafc|2 = 00 > то ряд 52 ^ак%к не имеет почти всюду радиальных пределов для любого набора знаков ±. Под существенно отличными от лакунарных рядов подразумеваются функции, которые не могут быть представлены в виде суммы некоторого лакунарного ряда и ряда, у которого сумма квадратов коэффициентов ограничена.

Основные результаты главы 3 сформулированы в трех теоремах. В теореме 1 получен критерий сходимости ряда из положительных чисел. На этой основе доказана теорема 2, в которой предъявлен класс, содержащий функции, существенно отличные от лакунарных, для которых верно следующее: если 52 ак2 = оо, то найдется множество положительной меры на окружности, на котором не существует радиальных пределов. Тем самым дано частичное решение сформулированной выше проблемы А. И. Маркушевича.

Основной целью четвертой главы является получение точных теорем сравнения между q-моментами компактного множества П С.

R" (n > 1). Рассматриваются q-моменты вида.

J xqf (x)dx (q > -n), n где f (x) — неотрицательная функция, / € Ll (Q).

Имеется много результатов о q-моментах в различных областях математики и физики (см., например, [47], [53], [58], [68], [80], [108], [120]).

Изопериметрические неравенства для моментов инерции (см. [108] для п — 2 и [53] для п — 3) 1+2/П (г 1+2'П fdx) If dx si / < М<1 /.

J x2dx f x2dx n |x|< р].

Имеется несколько обобщений (2) с ограниченным весом для п = 3 (см. [53]).

Отметим, что используя методы симметризации, несложно получить аналог неравенства (2) для fdx и f |ж|9(1ж, q > 0.

В этой главе мы приводим новый способ доказательства неравенства (2) и его нетривиальных аналогов. Доказано следующее утверждение.

Пусть П — компактное множество из Rn (n > 1), mes (fi) > 0. Если 0 < f (x) < I в Q, и 0 < qi < q2 < оо, то 1/91 / 1/в qi 1 lxqi-nf (x)dx < — / xq2~nf (x)dx.

Vi-i J I 1 «n / n.

Равенство достигается тогда и только тогда, когда f (x) = 1 п. в. (почти всюду) в Q, и П = В (0, р) U Е, где mes (Е) — 0 и.

В (0,р) = {х € Rn: х <р}, р=.

Отметим, что мы имеем дело с монотонностью, но не с выпуклостью, что осложняет проведение доказательств. Например, функции возрастают, но функция Inml (q) вогнута при q? (0,оо).

Итак, на защиту выносятся следующие результаты:

Разработан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних производных конформных отображений круга на односвязные области;

Усилена константа в правой части закона повторного логарифма для конформных отображений, что позволило уточнить оценку гармонической меры на жордановых кривых;

Доказана гипотеза Мехии-Поммеренке для случая, когда вариация касательной к границе образа линий уровня круга ограничена абсолютной постоянной;

Получены точные оценки интегральных средних производных конформных отображений внешности круга в некоторых классах функций;

Доказана гипотеза Бреннана в случае, когда логарифм производной функции, отображающей круг на односвязную область на плоскости, представим в виде лакунарного ряда Адамара с показателем лакунарности q > 15. Описан класс, содержащий функции, существенно отличные от лакунарных, для которых верно следующее: если |а^|2 = оо, то на окружности найдется множество положительной меры, на котором не существует радиальных пределов.

Результаты главы 4, а также теоремы 1 и 2 параграфа 5 главы 1 получены совместно с Ф. Г. Авхадиевым. Пример гиперболически выпуклой области с бесконечным вращением (параграф 7, глава 2) разобран совместно с Ю. В. Обносовым.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [2], [3], [4], [10], [11], [12], [13], [15], [17], [18], [19] (см. список публикаций автора, но теме диссертации, стр. 216−217), главы 2 — в работах [5], [6], [7], [9], [14], главы 3 — в работе [1], главы 4 — в работе [8].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на следующих конференциях:

6-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 30 января — 4 февраля 1994, Саратов;

Международная конференция «Алгебра и Анализ», посвященная 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева, 6−11 июня 1994, Казань;

3-я Суслинская конференция, посвященная 100-летию со дня рождения М. Я. Суслина, 20 — 30 июля 1994, Саратов;

4-я международная конференция «Лаврентьевские чтения по Математике, Механике и Физике», 3−7 июля 1995, Казань;

Всероссийская конференция «Теория функций и ее приложения», 15 — 22 июня 1995, Казань;

7-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 28 января — 7 февраля 1996, Саратов;

Международная конференция «Современные проблемы математики и механики», посвященная 175-летию со дня рождения П.Л. Че-бышева, 13 — 19 мая 1996, Москва;

Всероссийская школа-конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, 16 — 22 июня 1997, Казань;

Международный конгресс математиков, 18 — 27 августа 1998, Берлин;

Всероссийская конференция «Теория функций и смежные вопросы», 13 — 18 сентября 1999, Казань;

Европейский математический конгресс, 10 — 14 июля 2000, Барселона;

Международная конференция «Численные методы и теория функций», 24 июня — 3 июля 2001, Авейро, Португалия;

Воронежская зимняя школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», 26 января — 2 февраля 2003, Воронеж;

6-я Казанская международная летняя школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», 27 июня — 4 июля 2003, Казань;

Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», 4−9 сентября 2003, Минск;

12-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», 27 января — 2 февраля 2004, Саратов;

Волгоградская школа-конференция «Геометрический анализ и его приложения», 25 — 31 мая 2004, Волгоград;

Международная конференция, посвященная 200-летию Казанского государственного университета, 2−9 июля 2004, Казань;

Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию Ю. Г. Решетняка, 23 августа — 2 сентября 2004, Новосибирск;

Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная 100-летию Сергея Михайловича Никольского, 23 — 29 мая 2005, Москва;

Международная конференция «Численные методы и теория функций», 14 — 17 июня 2005, Йонсу, Финляндия;

Международная конференция «Метод рядов Фурье в комплексном анализе», 24 — 29 июля 2005, Мекриярве, Финляндия;

13-я Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», 27 января — 2 февраля 2006, Саратов;

Итоговые научные конференции Казанского университета, 1994 -2005.

Результаты докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении МИ РАН им. В. А. Стеклова (рук. — проф. В.П. Хавин), на семинаре по комплексному анализу в МИ РАН им. В. А. Стеклова (рук. — проф. А. И. Аптекарев, чл.-корр. РАН Е.М. Чирка), на семинаре по комплексному анализу в МГУ (рук. — проф. Е.П. Долженко), на семинаре по теории функций комплексного неременного в Саратовском государственном университете (рук. — проф. Д.В. Прохоров), на семинаре по комплексному анализу в Петрозаводском государственом университете (рук. -проф. В.В. Старков), на семинаре по вероятностным методам в теории конформных отображений в Институте им. Миттагг-Леффлера, (Швеция) (рук. — проф. Л. Карлесон, проф. П. Джонс, проф. Н.Г. Макаров), на семинаре, но теории потенциала в Технологическом Институте Стокгольма (рук. — проф. X. Шапиро) и на семинаре по комплексному анализу в Математическом институте (Вюрцбург) (рук. -проф. С. Рушевай). В целом работа доложена на семинаре по комплексному анализу в НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета (рук. — проф. Ф.Г. Авхадиев).

Автор выражает глубокую благодарность Ф. Г. Авхадиеву за постоянное внимание к работе и плодотворные беседы, способствовавшие улучшению диссертации. Автор признателен A.M. Елизарову и С. Р. Насырову за ряд полезных замечаний, а также Г. И. Мухамадуллиной за техническую помощь при оформлении диссертации.

1. Авхадиев Ф. Г. Конформные отображения и краевые задачи. -Казань: изд-во Казанский фонд «Математика», 1996. — 216 с.

2. Авхадиев Ф. Г. Об условиях однолистности аналитических функций // Известия Вузов. Математика. 1970. — N 11. — С. 3- 13.

3. Авхадиев Ф. Г. Некоторые достаточные условия однолистности аналитических фунуций // Труды семинара по краевым задачам. Казанский ун-т. 1972. — Вып. 10. — С. 3−10.

4. Авхадиев Ф. Г. Некоторые геометрические неравенства и достаточные условия р-листности // Известия Вузов. Математика. -1983. N 10. — С. 3−12.

5. Авхадиев Ф. Г. Допустимые функционалы в условиях инъектив-ности для дифференцируемых отображений n-мерных областей // Известия Вузов. Математика. 1989. — N 4. — С. 3 — 12.

6. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев JI.A. Основные результаты в достаточных условиях однолистности // Успехи матем. наук. 1975. Т. 30, Вып. 4. С. 3−60.

7. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев J1.A. Достаточные условия однолистности аналитических функций // ДАН СССР. 1974. — Т. 198, N 4. — С. 743−746.

8. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Достижения и проблемы в достаточных условиях конечнолистности аналитических функций // Известия Вузов. Математика. 1986. — N 10. — С. 3−10.

9. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А., Елизаров A.M. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники. Математический анализ. -1987. Т. 25. — С. 3−121.

10. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения // Доклады РАН. 1996. — Т. 349, N 5. — С. 583−585,.

11. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р., Салахудинов Р. Г. Исследования по теории функций и изопериметрическим задачам //В книге «На рубеже веков. НИИММ Казанского университета 1998 2003» .- Казань: изд-во Казан, матем. общества, 2003. С. 37−50.

12. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. — 343 с.

13. Александров И. А., Копанев С. А. Область значений производной на классе голоморфных однолистных функций // Украинский мат. журнал. 1970. — N 5. — С. 660−664.

14. Базилевич И. Е. Об одном критерии однолистности регулярных функций и дисперсии их коэффициентов // Матем. сб. 1967. N. 74 (116):1. С. 133−146.

15. Гайдук В. Н. Об однолистности решений обратных краевых задач // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та, 1972, вып. 9. С. 39−48.

16. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

17. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости.- М.: Наука, 1975.

18. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отобра,-жения. М: Издательство иностранной литературы, 1962. — 265 с.

19. Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. -472 с.

20. Журавлев И. В. Некоторые достаточные условия продолжимости аналитических функций // ДАН СССР. 1978. — Т. 243, N. 6. — С. 1377−1380.

21. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. М.: Мир, 1965. 616 с.

22. Карлесон J1. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир, 1971. — 126 с.

23. Каюмов И. Р. Обобщение и приложение одной теоремы Радона // Известия Вузов. Математика. 1996. — N 4. — С.35−38.

24. Каюмов И. Р. Об аналитическом неравенстве Пуанкаре / Материалы конференции, посвященной 100-летию со Б. М. Гагаева. -Казань, 16−22 июня 1997. С. 114.

25. Каюмов И. Р. Экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функций / Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1997. — 100 с.

26. Каюмов И. Р. Теорема искажения для однолистных лакунарных рядов // Сибирский математический журнал. 2003. — Т. 44. -N 6. — С. 1273 — 1279.

27. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. М.: Мир, 1971.-312 с.

28. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. -М.: Наука, 1987. 425 с.

29. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. — 407 с.

30. Кусис П. Лекции по теории пространств Нр. М.: Мир, 1984. -368 с.

31. Лаврентьев М. А. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций // Матем. сб. 1936. — Т. 1. — С. 815−846.

32. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. — 736 с.

33. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. — 336 с.

34. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том 2. М.: Наука, 1968. — 624 с.

35. Маркушевич А. И. Некоторые вопросы теории граничных свойств аналитических функций // Успехи Математических Наук. 1949. — Т.4, Вып. 4(32). — С. 3−18.

36. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 320 с.

37. Милин И. М., Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971. 256 с.

38. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

39. Носиро К. Предельные множества. М.: изд-во иностранной литературы, 1963. — 253 с.

40. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций.- Москва-Ленинград: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950, 336 с.

41. Прохоров Д. В. Множество значений системы функционалов на классе однолистных функций // Мат. Сборник. 1990. — Т. 181, N 12. — С. 1659−1677.

42. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала // Успехи матем. наук. 1. 1946. — N 3−4. — С. 96−124.

43. Рамис Ж. П. Расходящиеся ряды и асимптотическая теория. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. -80 с.

44. Стечкин С. Б. Избранные труды: Математика. М.: Наука. Физ-матлит, 1998. — 384 с.

45. Шабалин П. Л., О продолжимости с границы внутрь области условия Гельдера для гармонических функций // Известия вузов. Математика. 1986. — N 10. — С. 82−84.

46. Albeverio S., Fenstad J.E., H0egh-Krohn R., Lindstr0m Т., Nonstandard methods in stochastic analysis and mathematical physics, Academic Press, Inc., 1986.

47. Anderson J.M., Clunie J. and Pommerenke Ch. On Bloch functions and normal functions //J. Reine Angew. Math. 1974. — T. 270. P. 12 37.

48. Avhadiev F.G., Kayumov I.R. Estimates for Bloch functions and their generalization // Complex Variables. 1996. — V. 29. — P. 193−201.

49. Avkhadiev F.G., Kayumov I.R. Comparison theorems of isoperimetric type for moments of compact sets // Collect. Math. 2004. — V. 55, N 1. — C. 1−9.

50. Avhadiev F.G., Salahudinov R.G. Sharp estimations of norms in Bergman Spaces and their application // The 5 g. Preprint, Series in Mathematics. Kazan University Press. 1997. — N 1. — P. 1−4.

51. Baernstein A. Integral means, univalent functions and circular symmetrization // Acta Math. 1974. — V.133. — P. 139−169.

52. Bandle C. Isoperimetric inequalities and applications, Pitman Publishing Inc., 1980.

53. Barth K. F., Brannan D. A., Hayman W. K. Research problems in complex analysis // Bull. London Math. Soc. 1984. — N 16. -P. 490−517.

54. Бибербах JI. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. -240 с.

55. Becker J. Lownersche Differentialgleichung und quasikonform fortsetzbare schlichte Funktionen // J. Reine und Angew. Math.- 1972. T. 255. — P. 23−43.

56. Becker J., Pommerenke Ch. Shlichtheitskriterien und Jordangebiete // J. Reine und Angew. Math. 1984. — T. 354. — C. 74−94.

57. Beckenbach E.F., Bellman R. Inequalities. Springer-Verlag, 1961.

58. Bergh J., A converse inequality of Holder type // Math. Z. 1994. V. 215. P. 205−208.

59. Bergh J., Burenkov V. and Persson L.E. Best constants in reversed Hardy’s inequalities for quasimonotone functions // Acta Sci. Math. (Szeged). 1994. — V. 59. — P. 221−239.

60. Bergh J., Burenkov V. and Persson L.E. On some sharp Holder and Hardy type inequalities // Math. Nachr. 1994. — V. 169. — P. 19−29.

61. Bertilsson D. On Brennan’s conjecture in conformal mapping. Doctoral Thesis. Royal Inst, of Tech., Stockholm, 1999.

62. Brennan J.E. On the integrability of the derivative in conformal mapping // J. London Math. Soc. (2). 1978. — V. 18. — P. 261 272.

63. Baranski K., Volberg A., Zdunik A. Brennan’s conjecture and the Mandelbrot set // Int. Math. Res. Notices. 1998. — V. 12. — P. 589−600.

64. Carleson L. and Jones P. On coefficient problems for univalent functions // Duke Math. J. 1992. — V. 66, N 2. — P. 169−206.

65. Carleson L., Makarov N.G. Some results connected with Brennan’s conjecture // Ark. Mat. 1994. — V. 32. — P. 33−62.

66. Carmona J., Pommerenke Ch. Twisting behaviour of conformal maps // J. London Math. Soc. (2). 1997. — V. 56. — P. 16−36.

67. Cassier G. Probleme des moments sur in compact de Rn et decomposition de polyomes a plusieurs variables // J. Func. Anal. 1984. — V. 58. — P. 254−266.

68. Clunie J., Duren P.L. Addendum: An arclength problem for close-to-convex functions // J. London Math. Soc. 1966. — V. 41. — P. 181−182.

69. Clunie J., Pommerenke Ch. On the coefficients of univalent functions // Michigan Math. J. 1967. — V. 14. — P. 71−78.

70. Duren P.L. Univalent functions. Springer, New York, 1983.

71. Duren P.L., Shapiro M.S., Shields A.L. Singular measures and domains not of Smirnov type // Duke Math. J. 1966. — V 33. — P. 247−254.

72. Edwards R.E. Functional analysis. Holt, Rinehart and Winston, 1965.

73. Feng J., MacGregor Т.Н. Estimates of integral means of the derivatives of univalent functions //J. Analyse Math. 1976. -V. 29. — P. 203−231.

74. Girela D. Integral means and radial growth of Bloch functions // Math. Zeit. 1987. — V. 195. — P. 37−50.

75. Gnuschke-Hauschild D., Pommerenke Ch. On Bloch functions and gap series //J. Reine Angew. Math. 1986. — V. 367. — P. 172−186.

76. Godula J. and Starkow V. Logarithmic Coefficients of Locally Univalent Functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Lublin Polonia. — 1989. — V. XLIII, N 2. — P. 9−13.

77. Grad A. Coefficient regions of schlicht functions // Amer. Math. Soc., Colloqium Publ. 1950. — V. 35, New York.

78. Gronwall Т.Н. Some remarks on conformal representation // Ann. of Math. V. 2, N 16. — P. 72−76.

79. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G., Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, 1967.

80. Hedenmalm H, Shimorin S., Weighted Bergman spaces and the integral means spectrum of conformal mappings // Duke Math. J. 2005. — V. 127. — P. 341−393.

81. Hummel J.A. Counterexamples to the Poincare inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. — V. 8, N 2. — P. 207−210.

82. Jones P.W., Makarov N.G. Density properties of harmonic measure // Ann. of Math. 1995. — V. 142. — P. 427 — 455.

83. Kayumov I.R. // The integral means spectrum for lacunary series // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2001. — V. 26. — P. 447−453.

84. Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum // Complex Variables. 2001. — V. 44. — P. 165−171.

85. Kayumov I.R. Lower estimate for the integral means spectrum for p=-l // Proc. Amer. Math. Soc. 2001. — V. 130, N 4. — P. 10 051 007.

86. Kayumov I.R. The law of the iterated logarithm for locally univalent functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2002. — V. 27. — P. 357−364.

87. Kraetzer Ph. Experimental bounds for the universal integral means spectrum of conformal maps // Complex Variables. 1996. — V. 31. — P. 305−309.

88. Kraetzer Ph. Algorithmische Methoden der konformen Abbildungen auf fraktale Gebiete. Genehmigte Dissertation, Berlin, 2000.

89. Leung Y.J. Integral means of the derivatives of some univalent functions // Bull. London Math. Soc. 1979. — V. 11. — P. 289 294.

90. Littlewood J. On inequalities in the theory of functions // Proc. London Math. Soc. (2). 1925. — V. 23. — P. 481−519.

91. Littlewood J. On the coefficients of schlicht functions // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1938. — V. 9. — P. 14−20.

92. MacGregor Т.Н. Applications of extreme point theory to univalent functions // Michigan Math. J. 1972. — V. 19. — P. 361−376.

93. McMillan J. Boundary behaviour of a conformal mapping // Acta Math. 1969. — V. 123. — P. 43−67.

94. Makarov N.G. On the distortion of boundary sets under conformal mappings // Proc. London Math. Soc. 1985. — V. 51, N 3. — P. 369−384.

95. Makarov N.G. A note on the integral means of the derivative in conformal mapping // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. — V. 96. -P. 233−236.

96. Makarov N.G. Conformal mapping and Hausdorff measures // Ark. Mat, 1987. — V. 25. — P. 41−89.

97. Makarov N.G., Fine structure of harmonic measure // St. Petersbg. Math. J. 1999. — V. 10, N 2. — P. 217−268.

98. Ma W., Minda D. Hyperbolically convex functions//Annales Polonici Mathematici. 1994. T. LX.l. — P. 81−100.

99. Marshall A.W., Olkin I. Inequalities: Theory and its applications. Academic Press, Inc., 1979.

100. Mejia D., Pommerenke Ch. Sobre aplicationes conformes hiperbolicamente convexas // Revista Colombiana de Matematicas. 1998. — V. 32. — P. 29−43.

101. Mejia D., Pommerenke Ch. On the derivative of hyperbolically convex functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Math. 2002. — V. 27. — P. 47−56.

102. Myasnikov E.A., Persson L.E. and Stepanov V.D., On the best constants in certain integral inequalities for monotone functions // Acta Sci. Math. (Szeged). 1994. — V. 59. — P. 613−624.

103. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions. // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. — V. 55, N 6. — P. 545−551.

104. Noshiro K. On the theory of schlicht functions //J. Fac. Science, Hokkaido Imp. univ. 1934. — N 2. — P. 124−155.

105. Pecaric J.E. and Persson L.E. On Bergh’s inequality for quasi-monotone functions // Journal of Math. Anal, and Appl. 1995. -V. 195. — P. 393−400.

106. Polya G, Shiffer M. Sur la reprepresentation conforme de l’exterieur d’une courbe fermee convex // C. R. Acad. Sci. 1959. — V. 248, N 20. — P. 2837−2839.

107. Polya G. and Szego G. Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princeton, Princeton University Press. 1951.

108. Pommerenke Ch. On boundary size and conformal mapping // Complex Variables. 1989. — N 12. — P. 231−236.

109. Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformal maps. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

110. Pommerenke Ch. On Bloch functions //J. London Math. Soc. -1970. V. 2, N 2. — P. 689−695.

111. Pommerenke Ch. On the integral means of the derivative of a univalent functions // J. London Math. Soc. 1985. — V. 32. -P. 254−258.

112. Pommerenke Ch., Relations between the coefficients of a univalent function // Inventiones Math. 1967. — V. 3. — P. 1−15.

113. Pommerenke Ch., The integral means spectrum of univalent functions // Zap. Nauchn. Sem. St. Petersburg. 1997. — V. 237. -P. 119−128.

114. Pommerenke Ch. Conformal maps at the boundary // Handbook of complex analysis: Geometric function theory. V. 1, Elsevier Science B.V. — P. 37−74.

115. Prawitz H., Uber die Mittelwerte analytischer Funktionen // Arkiv Mat. Astr. Fys. 1927/28. — N 20. -P. 1−12.

116. Przytycki F. On the law of iterated logarithm for Bloch functions // Studia Math. 1989. — V. XCIII. — P. 145−154.

117. Przytycki F., Urbanski M., Zdunik A. Harmonic, Gibbs, and Hausdorff measures on repellers for holomorphic maps. I // Ann. of Math. 1989. — N 2, — P. 1−40.

118. Przytycki F., Urbanski M., Zdunik A. Harmonic, Gibbs, and Hausdorff measures on repellers for holomorphic maps. II // Studia Math. 1991. — V. 97. — P. 189−225.

119. Putinar M. Vasilescu F.-H. Solving moment problems by dimensional extension // Ann. of Math. 1999. — V. 149. — P. 1087−1107.

120. Rohde S. Hausdorffmas und Randverhalten analytischer Functionen, Thesis, Technische Universitat, Berlin, 1989.

121. Ruelle D. Repellers for real analytic maps // Ergodic Theory Dynam. Systems. 1982. — N 2. — P. 99−107.

122. Shimorin S., A multiplier estimate of the Schwarzian derivative of univalent functions.

123. Stein E.M., Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press. 1970.

124. Stein E. M, Weiss G., Introduction to Fourier Analysis on euclidean spaces, Princeton University Press. 1971.

125. Umezawa T. On the theory of univalent function // Tohoku Math. J. 1955. — N 5. — P. 218−228.

126. Warschawski S. E. On the higher derivatives at the boundary in conformal mapping // Trans. Amer. Math. Soc. 1935. — V 38. -P. 310−340.

127. Weiss M. On the law of the iterated logarithm for lacunary trigonometric series // Trans. Amer. Math. Soc. 1959. — V. 91. -P. 444−469.

128. Wirths K.-J. Uber holomorphe Functionen, die einer Wachstumsbe-schrankung unterliegen // Arch. Math. 1978. — N 30. — P. 606−612.

129. Zemyan S.M., On the Schwarzian coefficients of univalent functions // Bull. Austral. Math. Soc. 1992. — V. 46. — P. 391−400.Список публикаций автора по теме диссертации.

130. Каюмов И. Р. Граничное поведение аналитических произведений Рисса в круге // Математические труды. 2006. — Т. 9, N 1. -С. 34−51.

131. Kayumov I.R. Lower estimates for integral means of univalent functions // Arkiv for matematik. 2006.

132. Каюмов И.P. К закону повторного логарифма для конформных отображений // Математические заметки. 2006. — Т. 79, Вып. 1. -С. 150 — 153.

133. Каюмов И. Р. Спектр интегральных средних и модифицированная функция Бесселя нулевого порядка // Алгебра и Анализ. 2005. -Т. 17. -N 3. — С. 107- 123.

134. Каюмов И. Р. О гипотезе Бреннана для специального класса функций // Математические заметки. 2005. — Т. 78, Вып. 4. — С. 537 — 541.

135. Каюмов И. Р., Обносов Ю. В. Оценки интегральных средних гиперболически выпуклых функций // Сибирский математический журнал. 2005. — Т. 46, N 6. — С. 1316 — 1323.

136. Каюмов И. Р. Точные оценки интегральных средних для трех классов областей // Математические заметки. 2004. — Т. 76, Вып. 4.-С. 510−516.

137. Avkhadiev F.G., Kayumov I.R. Comparison theorems of isoperimetric type for moments of compact sets // Collect. Math. 2004. T. 55. N 1. — C. 1−9.

138. Каюмов И.P. Теорема искажения для однолистных лакунарных рядов // Сибирский математический журнал. 2003. — Т. 44. — N 6. С. 1273 1279.

139. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р., Салахудинов Р. Г. Исследования по теории функций и изопериметрическим задачам //В книге «На рубеже веков. НИИММ Казанского университета». Казань, изд-воКазан, матем. общества. 2003. — С. 37−50.

140. Kayumov I.R. Lower estimate for the integral means spectrum for p=-l // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. — V. 130. — No 4. — P. 1005−1007.

141. Kayumov I.R. The law of the iterated logarithm for locally univalent functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2002. — V. 27. — P. 357−364.

142. Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum // Complex Variables. 2001. — V. 44. — P. 165−171.

143. Kayumov I.R. The integral means spectrum for lacunary series // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2001. — V.26. — P. 447−453.

144. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И.P. Оценки в классе Блоха и их обобщения // Доклады АН России. 1996. — Т.349. — N 5. — С.583−585.

145. Каюмов И. Р. Обобщение и приложение одной теоремы Радона // Известия Вузов. Математика. 1996. — N 4. — С.35−38.

146. Avhadiev F.G., Kayumov I.R. Estimates for Bloch functions and their generalization // Complex Variables. 1996. — V.29. — P.193−201.

147. Каюмов И.P. О проблемах коэффициентов для однолистных функций // Материалы международной конференции и Чебышев-ских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебы-шева. Том 1. М.: Изд-во мехмата МГУ, 1996. С.188−191.

148. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки логарифмических коэффициентов для производных в основных классах однолистных функций // Труды 7-й Саратовской зимней школы «Теория функций и ее проиложения». 1995. — 4.2. — С.77−81.Тезисы докладов на конференциях:

149. Каюмов И. Р., Хеденмальм X. К закону повторного логарифма для конформных отображений / Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, 27 января 3 февраля 2006. — С. 83−84.

150. Каюмов И. Р. Граничные свойства конформных отображений /Тезисы докладов международной школы-конференции памяти И. П. Митюка «Комплексный анализ и его приложения». 11−17 сентября 2005. — Краснодар. — С. 54−55.

151. Kayumov I.R. Lower estimates of the integral means for conformal maps / Abstracts of the conference «Computational Methods and Function Theory «. Joensuu, Finland, June 13−17, 2005. — P. 77.

152. Каюмов И.P. К закону повторного логарифма для конформных отображений / Тезисы докладов Международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», Москва, 23−29 мая 2005, С. 126.

153. Каюмов И. Р. Нижние оценки спектра интегральных средних/ Материалы конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы». 27 января — 2 февраля 2005. — Воронеж. -С. 111−112.

154. Каюмов И. Р. Граничное поведение рядов в круге с заданными модулями коэффициентов / Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, 27 января 3 февраля 2004. — С. 98−99.

155. Каюмов И. Р. О граничном поведении аналитических функций, коэффициенты которых не стремятся к нулю / Геометрический анализ и его приложения. Тезисы докладов международной школы-конференции, Волгоград, 24 мая 30 мая 2004. — С. 71−72.

156. Каюмов И. Р. Интегральные средние и граничные свойства конформных отображений // Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. 2004. — Т. 23. — С. 36−37.

157. Каюмов И. Р., Обносов Ю. В. Оценки интегральных средних гиперболически выпуклых функций / Тезисы докладов международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию Ю. Г. Решетняка. 23 августа — 2 сентября 2004. — Новосибирск. — С.129.

158. Каюмов И. Р. О гипотезе Бреннана для лакунарных рядов // Труды Математического Центра им. Н. И. Лобачевского. -Т. 19. Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2003. -С. 118−119.

159. Каюмов И. Р. О законе повторного логарифма для конформных отображений / Материалы конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы». 26 января — 2 февраля 2003. — Воронеж. — С. 120−121.

160. Kayumov I.R. The distortion theorem for univalent lacunary series / Abstracts of the conference «Analytic methods of analysis and differential equations» (4−9 of September 2003, Minsk, Belarus).

161. Kayumov I.R. The integral menas spectrum for lacunary series / Abstracts of the conference «Computational Methods and Function Theory 2001». Aveiro, Portugal, June 25−29 2001. — C. 56.

162. Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum / Abstracts of Europeen Congress of Mathematicians. Barcelona, July 10−14 2000, Proceedings CD-ROM.

163. Каюмов И.P. Нижние оценки для спектра интегральных средних / Материалы конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. Казань, 13−18 сентября 1999. — С. 118−119.

164. Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum / Abstracts of the VHI-th Romanian-Finnish seminar, August 23−27. -1999. Romania, Iassy. — P. 35.

165. Kayumov I.R. Asymptotical behaviour of logarithmic coefficients of univalent functions / Abstracts of Int. Congress of Mathematicians. -Berlin, August 18−27 1998. P.134.

166. Каюмов И.P. Об аналитическом неравенстве Пуанкаре / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. Казань, 16−22 июня 1997. — С. 114.

167. Каюмов И. Р. Проблемы коэффициентов и интегральные средние / Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. Казань, 28 июня — 1 июля, 1996. -Книга 3. — С. 15.

168. Каюмов И. Р. Об одной теореме Карлесона и Джонса / Тезисы докладов IV международной конференции «Лаврентьевские чтения» по математике, механике и физике. Казань, 1995. — С.43.

169. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения / Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева. -Казань, 5 -И июня, 1994, -Ч. 2, -С. 9.