Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных объектов на основе функциональных рядов Вольтерра
Диссертационные исследования были направлены на теоретическое обобщение и развитие методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов для нелинейных объектов широкого и важного для приложений класса. Его образуют многомерные стационарные объекты с полиномиальными нелинейностями и запаздыванием в каналах управления и промежуточных координатах, подверженные действию ограниченных… Читать ещё >
Содержание
Технический прогресс в различных сферах народного хозяйства выдвигает высокие требования к качеству выпускаемой продукции и, соответственно, к качеству работы систем управления (СУ) производственными агрегатами и оборудованием. Так как современные производственные объекты являются, как правило, многомерными и нелинейными по своей природе, то использование их линеаризованных моделей при синтезе управляющих устройств (УУ) далеко не всегда позволяет обеспечить требуемые уровни устойчивости и точности протекания технологических процессов при изменении рабочих режимов агрегатов в широких пределах или в условиях действия возмущений значительной мощности (амплитуды). Это определяется тем, что линейные модели, для которых разработаны эффективные методы синтеза, адекватно описывают поведение объекта управления (ОУ) лишь в малой окрестности установившегося режима. Все более широкое применение нелинейных СУ, обеспечивающих высококачественное функционирование промышленных объектов при изменении их переменных состояния в широких интервалах, в том числе и в состояниях, близких к предельным, оптимальным, вызывает необходимость развития методов их анализа и синтеза.
В данном направлении к настоящему времени достигнуты значительные результаты. Это, например, работы В. В. Солодовникова, Е. П. Попова, В. А. Бессекерского, A.A. Вавилова, Е. И. Хлыпало, В. В. Яковлева, С. Е. Душина и др. в области частотных методов расчета и проектирования нелинейных систем. Это работы В. М. Матросова, В. Д. Фурасова, В.М. Кун-цевича, М. М. Лычака по синтезу нелинейных систем с применением аппарата функций Ляпунова. Широкие возможности для синтеза систем, в том числе и для нелинейных, открываются с позиций решения обратных задач динамики (А.Е. Барбашин, П. Д. Крутько, Л.М. Бойчук). Серьезные результаты получены в теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (теории АКОР), связанной с именами A.M. Летова, Р.
Калмана, A.A. Красовского, В. И. Зубова, А. Г. Александрова, Ю. П. Петрова и др. Новые подходы и методы синтеза нелинейных систем предлагает синергетическая теория управления A.A. Колесникова. Первый основной вывод, вытекающий из анализа указанных работ, можно сформулировать следующим образом. В настоящее время не существует законченных общетеоретических методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления. Причинами этого являются: невыполнение для них принципа суперпозиции- разнообразие классов функций, используемых для описания динамики нелинейных ОУ и УУ- разнообразие требований к качеству процессов в различных режимах функционирования СУ и при переходах с режима на режим- различные уровни сложности управляемых объектов, характеризуемые многомерностью, многосвяз-ностью, многоконтурностью и т. д.- отсутствие общего математического аппарата для аналитического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. Неизвестны также простые, инженерные методы проектирования систем управления для многих практически важных классов нелинейных объектов. В связи с этим задача синтеза нелинейных многомерных СУ отнесена акад. A.A. Красовским, A.A. Колесниковым к центральной проблеме современной теории управления.
Второй вывод заключается в следующем. Несмотря на развитие численных и качественных методов анализа и синтеза нелинейных систем различных классов, существовала и существует необходимость получения аналитических, пусть даже приближенных, решений задач конструирования регуляторов для нелинейных объектов, важных для
приложений классов. Выделение таких классов объектов имеет большое теоретическое и практическое значение в связи с тем, что аналитические методы являются наиболее предпочтительными с точки зрения общности получаемых решений, простоты их использования, экономии машинного времени при их нахождении или анализе. Отмеченные особенности аналитических решений, позволяющих относительно легко исследовать свойства системы при изменении ее параметров в широких пределах, определяет целесообразность применения последних методов в практике проектирования и наладки систем автоматического управления.
Достаточно широкий класс нелинейных объектов, для которого в диссертационной работе удалось разработать сравнительно простые, аналитические по форме метод и методики синтеза квазиоптимальных регуляторов, образуют многомерные стационарные объекты с нелинейными характеристиками полиномиального вида от их фазовых координат, причем в нелинейные модели объектов вектор запаздывающих сигналов управления входит линейным образом. В связи с тем, что при описании нелинейных характеристик динамических объектов (систем) используются полиномы, в дальнейшем указанные объекты и системы называются полиномиальными.
Указанные динамические модели с полиномиальными нелинейностя-ми, на взгляд автора, очень широко используются для описания процессов различной природы. Для обоснования этого базового утверждения приведем примеры из разных областей науки и техники, в которых применяются полиномиальные модели динамики. 1. Устройства электромеханики: в соответствии с обобщенной теорией электрических машин (Г. Крон, Р. Парк, A.A. Горев, И.П. Копылов) динамика всех типов электрических двигателей и генераторов постоянного и переменного токов описывается дифференциальными уравнениями с квадратичными нелинейностями, причем эти нелинейности отражают физическую сущность процессов преобразования электрической энергии в механическую и наоборот. Именно эти объекты рассматриваются в прикладной главе диссертации и показывается, что учет при синтезе СУ нелинейностей характеристик электропривода приводит существенному, качественному улучшению его свойств. 2. Объекты химической технологии: для моделей динамики химических реакторов также характерны квадратичные нелинейности, определяющие в соответствии с законом действующих масс скорость химической реакции двух исходных веществ через произведение их концентраций. 3. Промышленные объекты с рециклом: шаровые мельницы, химические реакторы, объекты в металлургии, горном деле, обогащении и др. 4. Объекты биологии и экологии: большинство современных математических моделей, описывающих динамику популяций, связано с моделями, предложенными Лоткой и Воль-терра, в которых присутствуют произведения фазовых координат системы. Полиномиальные модели находят использование также и в других областях, например, при моделировании и управлении процессами в летательных аппаратах (работы A.A. Красовского и его учеников). При этом важно подчеркнуть, что выделенный класс полиномиальных объектов можно значительно расширить, включив в него объекты с нелинейными характеристиками, являющимися непрерывными действительными функциями, после предварительной аппроксимации их полиномиальными зависимостями. Учет наличия запаздывания сигналов в каналах объектов дополнительно существенно раздвигает границы рассматриваемого класса ОУ. Явления запаздывания, в значительной степени снижающие устойчивость и качество работы автоматических систем, встречаются в объектах любой физической природы и объясняются конечной скоростью перемещения материальных и энергетических потоков.
Указанное широкое распространение полиномиальных моделей для описания процессов самой различной природы вызвало появление и становление теории полиномиальных систем, результаты которой нашли отражение во многих монографиях (Н. Винер, Г. Ван-Трис, Ю. С. Попков, К. А. Пупков, В. И. Капалин, A.C. Ющенко, Н. Д. Егупов, Л.В. Данилов). Важнейшее достижение этой теории состоит в разработке для полиномиальных систем математического описания типа «вход-выход» с помощью функциональных рядов Вольтерра (ФРВ). Ряд Вольтерра является обобщением понятия интеграла свертки, используемого для описания линейных объектов, на нелинейные динамические системы. В связи с этим данное описание позволяет с успехом применять для анализа и синтеза полиномиальных систем известные аналитические, в частности частотные, методы, разработанные для линейных систем управления. Указанный сравнительно простой и эффективный аппарат рядов Вольтерра в настоящей работе используется как основной математический аппарат решения формулируемых далее задач оптимального управления объектами выделенного класса. Здесь подчеркнем, что решение задач синтеза оптимальных регуляторов именно для полиномиальных объектов и с применением именно аппарата рядов Вольтерра, который для них развит, составляет первую характерную особенность данной диссертационной работы.
Анализ возможных постановок задач управления, вытекающих из трех основных способов формализации требований к качеству движения синтезируемых систем, привел к выводу, что первый способ, состоящий в задании первичных показателей качества переходных процессов, и второй, заключающийся в представлении желаемого движения системой дифференциальных уравнений, практически невозможно использовать при конструировании нелинейных многомерных СУ. Первый способ формализации в общем случае нельзя применять к нелинейным системам вследствие зависимости характера их переходных процессов от вида входных воздействий и начальных условий данных систем. Применение же второго способа к многомерным объектам встречает серьезные трудности, связанные с учетом имеющихся ограничений на управляющие воздействия и с заданием структуры системы дифференциальных уравнений с большим числом параметров, описывающей желаемые движения. В связи с этим наиболее припособленным к применению к сложным нелинейным многомерным ОУ является способ формализации, основанный на введении оптимизируемого функционала (критерия качества) интегрального типа. Его достоинства состоят в следующем. Во-первых, использование интегральных критериев качества, в частности квадратичных функционалов, позволяет определить требования к переходным процессам СУ заданием значений их весовых коэффициентов, число которых может быть значительно меньше числа параметров системы дифференциальных уравнений, описывающей желаемые движения синтезируемой многомерной системы, и меньше числа первичных показателей качества, определяемых для каждой координаты многомерного объекта. При этом практически произвольный выбор весовых коэффициентов обеспечивает синтезируемой системе фундаментальное свойство — свойство асимптотической устойчивости. Во-вторых, дальнейший целенаправленный перебор данных коэффициентов, как правило, удовлетворяет разумные требования к первичным показателям качества систем, к времени переходного процесса, перерегулированию и т. д. Более широкие возможности в этом направлении обеспечивают функционалы с интегрантами полиномиального вида, содержащими слагаемые четвертой степени, которые для электромеханических систем, рассматриваемых в прикладной главе диссертации, имеют большой физический смысл — смысл квадратичных отклонений соответствующих мощностей или энергий. Использование при синтезе систем критериев с такими полиномиальными интегрантами, что является второй отличительной особенностью диссертационной работы, позволяет, например, придать электроприводу повышенное быстродействие, близкое к оптимальному. И, в-третьих, главное достоинство данного способа формализации задач управления заключается в том, что он позволяет использовать для синтеза УУ сложными объектами результаты теории оптимального управления (JT.C. Понтрягин, Р. Беллман, Р. Калаба, В. М. Тихомиров, В. Ф. Кротов, В. И. Гурман, Р. Габасов, Ф. М. Кирилова и др.), и теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (A.M. Летов, Р. Калман, A.A. Красовский, A.A. Колесников, А. Г. Александров, Ю. П. Петров, Р.Т. Янушевский), которые являются базовыми составляющими современной теории автоматического управления. Следует подчеркнуть, что методы АКОР находят все расширяющееся применение в прикладных задачах управления различными сложными производственными объектами. Это связано с такими достоинствами данных методов, как их общность, логическая завершенность, принципиальная математическая простота.
Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникла необходимость решения задачи АКОР по интегральному критерию с интегрантом полиномиального вида, частным случаем которого является обобщенный квадратичный функционал качества. При постановке задачи АКОР учитывается, что объекты находятся под действием ограниченных по норме возмущений так называемой волновой структуры (используется терминало-гия работы К.Т. Леондеса) — в этом состоит третья характерная особенность диссертационной работы. Функции данной структуры, широко используемые в классической теории управления, математически представляются как сумма известных базисных функций, преобразуемых по Лапласу, с неизвестными коэффициентами, которые в случайные моменты времени скачком изменяют свои значения, причем соседние скачки разделены до-статачно продолжительным интервалом времени, соизмеримым со временем переходных процессов проектируемой СУ. На этом основании для синтеза регулятора, противодействующего данному возмущению, используются методы теории управления детерминированными объектами.
Решение указанной задачи, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана на нелинейные объекты с запаздыванием при действии возмущений волновой структуры, как показал анализ существующих работ, представляет серьезную теоретическую проблему, а с учетом широкого распространения указанных объектов — также и практически важную проблему. Для ее решения неизвестны теоретически законченные, относительно простые методы. Так, например, широко известный метод синтеза A.A. Красовского к данным задачам неприменим, так как использует специальный критерий обобщенной работы. При использовании же метода динамического программирования мы сталкиваемся с ситуацией, которую Р. Беллман назвал «проклятием многомерности», в которой для определения коэффициентов полиномиальной ОС необходимо составлять и решать очень большое число алгебраических уравнений. В связи с этим метод динамического программирования практически невозможно применять к объектам выше третьего порядка. В то же время подчеркнем, что для решения данной задачи АКОР не использовался математический аппарат рядов Вольтерра, который, во-первых, хорошо отражает особенности движения рассматриваемых полиномиальных объектов, а, во-вторых, приспособлен к описанию движений нелинейного объекта под действием внешних возмущений. На этом основании в диссертационной работе показывается, что применение аппарата ФРВ может существенно упростить решение задач АКОР в сравнении с известными методами. Например, позволит снять остроту проблемы «проклятия многомерности» и предложить методы определения алгоритмов управления для объектов порядка 10 и выше.
Таким образом, цель работы состоит в разработке на основе математического аппарата функциональных рядов Вольтерра теоретических основ, методов и алгоритмов аналитического конструирования квазиоптимальных регуляторов для нелинейных многомерных объектов с запаздыванием- разработке методик синтеза высокоточных электромеханических систем по критериям качества с полиномиальными интегрантами.
Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, многомерного преобразования Лапласа, на которых базируются математический аппарат ФРВ, методы теории оптимального управления, теории матриц. При исследовании электромеханических систем применялись методы обобщенной теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальные исследования.
Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся:
— методология получения и анализа решений в форме ряда Вольтерра двухточечной краевой задачи, отвечающей исследуемой задаче АКОР для полиномиальных объектов рассматриваемого класса, которая содержит методы и алгоритмы определения членов ряда, анализа областей сходимости функционального ряда, областей асимптотической устойчивости решений-
— методы и алгоритмы определения оптимальных интегральных многообразий (терминология К. Г. Валеева, Г. С. Финина) на основе найденных устойчивых решений краевой задачи в форме ФРВ, которые составляют базис соответствующих методов и алгоритмов синтеза законов квазиоптимального управления объектами без запаздывания-
— методология формирования алгоритмов работы в реальном времени устройств упреждения на время запаздывания значений фазовых координат нелинейных объектов с использованием их функциональных моделей в виде ряда Вольтерра и, соответственно, методология синтеза технически реализуемых квазиоптимальных алгоритмов управления нелинейными объектами с запаздыванием-
— обобщение указанных методов и алгоритмов на конструирование квазиоптимальных систем управления по критериям качества с предельным усреднением-
— распространение указанных методов и алгоритмов на синтез квазиоптимальных релейных систем управления объектами рассматриваемого класса-
— методы и способы структурной реализации квазиоптимальных нелинейных обратных связей, направленные на получение структур УУ меньшей сложности и обеспечивающие восстановление значений неизмеряемых фазовых координат объекта-
— новые алгоритмы управления электроприводами постоянного и переменного токов, квазиоптимальные по критериям качества с полиномиальными интегрантами и модульным критериям- методики расчета их параметров.
Научная новизна. Совокупность проведенных в диссертации исследований позволила на базе математического аппарата ФРВ разработать прикладную теорию аналитического синтеза квазиоптимальных регуляторов для нелинейных объектов достаточно широкого для
приложений класса и его отдельных подклассов. С ее помощью получены новые алгоритмы управления электромеханическими системами, квазиоптимальными по нетрадиционным, имеющим глубокий физический смысл, критериям качества. В частности, в работе получены следующие новые результаты.
1. Для одномерных и многомерных объектов управления математически строго обоснован переход от решения нелинейной двухточечной краевой задачи, сформулированной на полубесконечном интервале времени, к решению соответствующего интегрального уравнения.
2. Установлены условия сходимости ФРВ, описывающего решения интегрального уравнения (соответствующей двухточечной краевой задачи оптимального управления), которые одновременно гарантируют экспоненциальную устойчивость этих решений в некоторой ограниченной области начальных состояний объекта.
3. Предложен метод определения желаемого дифференциального уравнения движения синтезируемой замкнутой системы управления из условий равенства его решений в форме ФРВ и найденных устойчивых решений двухточечной краевой задачи. Данный метод совместно с известными соотношениями теории обратных задач динамики (П.Д. Крутько, Л.М. Бойчук) определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления одномерными объектами без запаздывания, частным случаем которых являются квазиоптимальные законы обратной связи.
4. Исходя из найденных устойчивых решений многомерной двухточечной краевой задачи в форме ФРВ разработан метод определения оптимального интегрального многообразия — метод восстановления функциональной зависимости вектора сопряженных координат от вектора фазовых координат ОУ и вектора возмущающих воздействий, которая определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления многомерными объектами без запаздывания.
5. Для объектов при наличии запаздывания в канале управления разработан метод синтеза квазиоптимальных регуляторов, основанный на процедурах упреждения координат состояния нелинейного объекта с использованием его функциональной модели в форме ряда Вольтерра и аппроксимации функциональных составляющих строго оптимального закона управления. Новизна структур систем управления подтверждается авторским свидетельством № 815 711.
6. Разработан метод синтеза квазиоптимальных регуляторов для объектов с множественным запаздыванием, основанный на процедуре последовательного упреждения координат состояния нелинейного объекта с использованием функциональных моделей, составляющих его каскадов.
7. Предложен подход к построению квазиоптимальных регуляторов простой структуры, основанный на использовании множественности решения задачи АКОР при действии волновых возмущений, имеющих постоянные и синусоидальные составляющие.
8. Математически доказано, что для обеспечения оптимальности релейной системы управления полиномиальным объектом, описываемым одним дифференциальным уравнением п-го порядка, по критерию минимума интегральных квадратичных отклонений не требуется применение квадратичных и кубических обратных связей. Для многомерных же оптимальных релейных СУ показано, что число используемых в них нелинейных обратных связей может быть значительно меньше числа ОС в системах оптимальных по обобщенному квадратичному функционалу качества. На этом факте основана процедура упрощения структуры управляющих устройств многомерными полиномиальными объектами.
9. Предложены подход и способы реализации квазиоптимальных законов управления, обеспечивающие меньшую сложность структур СУ, основанные на переходе от аппроксимации законов ОС в форме степенного ряда к аппроксимации функций управления по специальным системам базисных функций, в частности, к использованию аппроксимации Паде.
10. Для полиномиальных объектов определенного класса предложен метод синтеза наблюдающих устройств, обеспечивающий устойчивость их работы во всем фазовом пространстве наблюдаемого объекта.
11. Разработан метод синтеза квазиоптимальных систем управления объектами с кусочно-линейными характеристиками, в частности следящих систем при наличии люфта в исполнительном механизме. Новизна способа управления и соответствующих структур следящих систем с люфтом защищена патентом № 2 114 455 .
12. Предложена методика синтеза квазиоптимальных законов управления электромеханическими системами по интегральному критерию качества, содержащему слагаемое четвертой степени от выходной координаты электропривода, которые обеспечивают апериодические переходные процессы систем с практически предельным быстродействием.
13. Разработана методика синтеза квазиоптимальных регуляторов для следящих систем по модульному критерию качества, обеспечивающих повышенные точность и быстродействие процесса слежения. Новизна алгоритмов управления и схем их реализации защищена патентом .
Практическая ценность. Практическая значимость разработанной в диссертации прикладной теории конструирования квазиоптимальных регуляторов определяется такими факторами как 1) применением при синтезе СУ нелинейных моделей ОУ, учитывающих запаздывание в управлении и промежуточных координатах, которые в сравнении с линейными моделями более достоверно описывают физические процессы многих производственных объектов и существенно расширяют область использования исследуемых систем- 2) получаемые с ее помощью алгоритмы управления обеспечивают значительно лучшие показатели качества синтезируемых систем в сравнении с типовыми регуляторами и с известными линейными законами управления- 3) прикладные методики, алгоритмы и программы синтеза отличаются относительной простотой и позволяют сократить время проектирования систем управления и повысить качество проектов. Простота метода синтеза СУ связана с его аналитическим характером и определяется тем, что нахождение параметров нелинейных управлений сводится, в основном, к решению линейных алгебраических уравнений, для матриц коэффициентов которых (матриц типа Вандермонда) указан аналитический метод обращения. Объем вычислительной работы в предлагаемом методе имеет приблизительно тот же порядок, что и в методе синтеза оптимальных регуляторов по критерию обобщенной работы, развитом A.A. Красовским. Результаты диссертации могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании автоматизированных систем проектирования современных устройств автоматического управления.
Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре электротехники и электрических машин (ЭиЭМ) Тульского государственного университета (ТулГУ) и связана с выполнением автором хозяйственных договоров № 86−442 (№ ГР 1 860 077 440), 89−755,90−942 в 1986 -91 г. г. между ТулГУ, предприятием УЮ-400/2 и Всесоюзным научно-исследовательским проектно -конструкторским и технологическим институтом электротермического оборудования (ВНИИЭТО) во исполнение Постановления СМ СССР № 1107 от 01.10.87 г., а также госбюджетных НИР по программе «Университеты России», гранту № 01.9.80 5 085 «Теория синтеза высокоточных следящих приводов антенн радиолокационных станций миллиметрового диапазона радиоволн», проводимого в 1993−97г.г. в соответствии с приказом Министерства науки, высшей школы и технической политики РСФСР № 43 от 13.03.92 и по научно-технической программе «Механика, машиноведение и процессы управления"^ направление «Системы идентификации, адаптивные и самообучающиеся системы управления, работающие в условиях неопределенности», проект «Разработка новой технологии создания систем оптимального управления высокоточными электроприводами, функционирующими в условиях неопределенности'^, выполняемого в 1998—2000 гг. г. в соответствии с приказом Министерства общего и профессионального образования РФ от 14.04.98 № 960. Полученные результаты внедрены в практику проектирования систем управления электроприводом в НИИ СМ МГТУ им. Н. Э. Баумана и ОАО ЦКБА г. Тулы, использовались в разработках ВНИИЭТО, а также применяются в учебном процессе в ТулГУ, о чем имеются соответствующие акты.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались: на Международных научных конференциах «Математические методы в химии и технологиях» (Тверь, 1995- Тула, 1996- Владимир, 1998- Новгород, 1999) — на III Международной конференции «Электромеханика и электротехнологии» (Россия, Клязьма 1998) — на Международной научно-технической конференции «Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий» (Москва-Сочи, 1998) — на Всесоюзной научной конференции «Декомпозиция и координация в сложных системах» (Челябинск, 1986) — на III Всесоюзной конференции «Перспективы и опыт внедрения статических методов в АСУ ТП» (Тула, 1987) — на IX Всероссийской научной конференции «Динамика процессов и аппаратов химической технологии"(Ярославль, 1994) — на III Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин» (Нижний Новгород, 1998) — на научно-технической конференции «Электротехнические комплексы автономных объектов — ЭКАО-97» (Москва, МЭИ, 1997) — на LUI научной сессии, посвященной дню радио (Москва, РНТОРЭС им. A.C. Попова, 1998) — на межвузовских научно-технических конференциях в Тульском артиллерийском инженерном институте в 1997−99 гг.- на ежегодных конференциях профессорско- преподавательского состава ТулГУ в 1975 — 1999 гг. и др.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 50 печатных работ, получено 2 авторских свидетельства и 4 патента на изобретения.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка на 239 наименований, 7
приложений. Основная часть работы изложена на 332 страницах. Работа содержит 53 рисунка и 9 таблиц.