Разработка математических методов и моделей обеспечения качества управления в многокритериальных системах

Актуальность темы

В настоящее время в теории систем сложилось два подхода к решению многокритериальных задач оптимального управления. Первый основан на введении дополнительных гипотез приводящих к объединению нескольких критериев, что, в свою очередь, ухудшает значение качественных характеристик.

Другой подход основан на применении принципа Парето. Суть этого принципа заключается в нахождении области компромиссов, в которой улучшение качества решения по одним локальным критериям приводит к ухудшению качества решения по другим. Разработаны эвристические схемы получения области компромисса — принцип равномерности, принцип справедливой уступки, принцип выделения одного оптимизирующего критерия, и т. д. Вместе с тем алгебраические методы построения области компромиссов для функционалов достаточно общего вида практически отсутствует. Диссертационная работа посвящена развитию специального математического аппарата исследования нелинейных систем с учетом заданных критериев качества.

Прогресс в области компьютерной техники обусловил развитие теоретических методов, применение которых к реальным задачам ранее считалось очень трудоемким, а зачастую и невозможным из-за большого объема требований к вычислительным средствам. Одним из таких аппаратов, является дифференциальная геометрия и, в частности, теория групп и алгебр Ли, которая выбрана в качестве инструмента исследования. Ее неоспоримым достоинством является возможность строить математические модели исследуемых систем, получая при этом требуемое качество управления. Развитию и обобщению теории групп Ли посвящены научные труды многих ученых — A.M. Виноградова, М. И. Зелинкина, Л. В. Овсянникова, П. Олвера, Б. Шутца и многих других.

В связи с тем, что использование дифференциально-геометрического подхода к нелинейными многокритериальным системам позволяет улучшить качество управления, тема диссертационной работы является актуальной и имеет широкое прикладное значение.

Целью диссертационной работы является разработка математического аппарата для выявления компромиссной области неулучшаемых по совокупности критериев качества решений, основанного на инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа относительно групп вариационных симметрий Ли.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следующие задачи:

1. Произведен обзор методов решения задач с несколькими критериями качества.

2. Построены математические модели динамических систем как подмногообразие полного пространства струй.

3. Выявлены особенности применения инфинитезимальной техники к системам, описываемыми дифференциальными уравнениями.

4. Разработаны методы обеспечения качества управления на основе групп Ли и теорем Нётер о законах сохранения.

5. Найдены компромиссные области неулучшаемых решений для некоторых технических задач.

6. Произведен сравнительный анализ полученных результатов с известными исследованиями.

Методы исследования. В работе используются методы теории систем, математической физики, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и информатики. Научная новизна состоит в следующем:

— построены математические модели многокритериальных систем на основе использования инфинитезимальных критериев инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа относительно групп симметрий Ли вариационных функционалов,.

— получена возможность улучшения качества управления для определенного класса технических систем, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений с несколькими заданными критериями качества,.

— получены области компромисса для некоторых многокритериальных технических систем при наличии ограничений.

Практическая ценность. Разработана методология построения компромиссной области в задачах с несколькими критериями качества, которая может быть применена к некоторым классам управляемых технических систем.

Реализация результатов работы. На основе разработанных методов получен алгоритм расчета параметров системы генератора холода, внедренный в системе ВГХ-12/6 на ОАО «Ступинский завод стеклопластиков» (акт о внедрении приложен к диссертации).

Программное обеспечение, реализующее модели управления динамической системой с двумя критериями качества используется в учебном процессе кафедры «Управления и моделирования систем» МГАПИ, а рамках дисциплины «Теория принятия решений».

Апробация работы. Апробация работы. Частично результаты диссертации докладывались и обсуждались на 5 конференциях:

— Научно — технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем» (г. Кашира, 1996);

— Научно — технической конференции «Новые информационные технологии» (г. Москва, 1998);

— Второй международной научно — технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем» (г. Озера, 1998);

— Четвертой международной научно — технической конференции «Моделирование и надежность» (г. Севастополь, 1998);

— Третьей научно — технической конференции «Новые информационные технологии» (г. Москва, 2000);

Работа выставлена для обсуждения в международной сети Internet наличном сайте автора (http:Wwww.mnlticrit.newmail.ru).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Структурно диссертационная работа разбита на четыре главы.

В первой главе проведен анализ и классификация методов решения многокритериальных задач оптимального управления. Приводится обзор основных положений аппарата групп Ли, а также обосновывается выбор его в качестве основного инструмента исследования. На основе проведенного обзора уточнены цель и поставленные задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена рассмотрению особенностей применения инфинитезимальной техники к исследованию динамических систем. Строятся математические модели, рассматриваются ограничения применимости методов.

В качестве объекта исследования выступают динамические системы, описываемые системой дифференциальных уравнений общего вида. На основе теоретических методик рассмотрен ряд примеров систем, в частности, построены группы симметрий для уравнений теплопроводности, описывающих функционирование генератора холода системы ВГХ — 12/6. Выявлены особенности применение инфинитезимальной техники к динамическим управляемым системам.

В третьей главе излагается метод построения компромиссной области в качестве законов сохранения, строящихся на основе инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа. Строится предположение, о возможности построения законов сохранения, отражающих компромиссную зависимость критериев качества. Показывается, что уравнения Эйлера-Лагранжа каждого функционала качества определяют общий комплекс уравнений некоторой вариационной задачи. Этот вывод строится на сновании теоремы Нётер и того факта, что переменные в функционалах связаны одной системой дифференциальных уравнений. Инвариантность этого комплекса относительно групп симметрий представляет собой искомую компромиссную зависимость. Приводится общая структура разработанного метода. Делается ввод о том, что знание аналитических выражений для определения компромиссной зависимости критериев позволит улучшать качество управлений.

В четвертой главе на основании теоретических методов, изложенных в главе 2 и главе 3, и особенностью многокритериальных моделей технических систем строятся компромиссные области.

В диссертационной экспериментально установлено, что методы построения компромиссов в многокритериальных системах как законов сохранения успешно работают и для синтеза управления в системах с обратной связью. В качестве иллюстрации реализована система стабилизации с двумя функционалами качества. Рассматриваемый объект описывается системой из двух дифференциальных уравнений. Результаты получаемых решений (рис. 3.) согласуются с решениями, получаемые при помощи известных методов, в частности с работами А. Б. Пиуновского, И. М. Соболя, Р. Б. Статникова.

Подробно рассмотрены динамические нелинейные модели управляемых систем с тремя критериями качества при наличии функциональных ограничений. В частности, управляемый промышленный манипулятор, движение которого описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Полученные результаты (рис. 4) свидетельствуют о более точных, по сравнению с численными методами, решениях. Это дает возможность улучшать качество управления в подобных системах.

В заключении приводится основные результаты и общие выводы диссертационной работы.

Автор выражает благодарность к.т.н., доценту Моисееву A.A. и Воловичу М. Е., без чьей помощи и ценных рекомендаций диссертация не имела бы многих положительных моментов. Вместе с тем все неточности и недочеты относятся только к автору.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

И ОБЩИЕ ВЫВОДЫ.

В результате исследований, проведенных в рамках диссертационной работы были получены следующие общие научные и практические результаты:

1. Проведен анализ и классификация современных методов исследования многокритериальных системобоснована необходимость получения аналитических методов.

2. Построены математические модели и разработаны методы обеспечения качества управления в системах с несколькими критериями качества на основе теории групп Ли. При этом:

— получено описание динамических систем в понятиях дифференциальной геометрии;

— исследованы свойства и особенности применения инфинитезимальной техники и групп симметрий Ли к рассматриваемым задачам;

— установлена возможность получения множества неулучшаемых решений на основе теорем Нётер;

— предложен формальный аппарат построения области компромиссов для моделей технических систем с несколькими целевыми функционалами.

3. Получены методики, позволяющие находить компромиссные области неулучшаемых решений для технических задач при наличии ограничений.

4. Экспериментально установлено, что методы построения компромиссов в многокритериальных системах как законов сохранения успешно работают и для синтеза управления в системах с обратной связью. Результаты исследований согласуются с решениями, получаемые при помощи известных методов.

5. Рассмотрены динамические нелинейные модели управляемых систем с тремя критериями качества при наличии функциональных ограничений. В частности, управляемый промышленный манипулятор, движение которого описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Полученные результаты свидетельствуют о более точных, по сравнению с численными методами, решениях. Что дает возможность улучшать качество управления в подобных системах.

6. Реализовано и используется в учебном процессе программное обеспечение вычисления программной траектории динамической системы с двумя критериями качества на кафедре «Управления и моделирования систем» МГАПИ.

7. Разработана и внедрена рабочая методика расчета параметров генератора холода в рамках системы ВГХ-12/6 на ОАО «Ступинский Завод Стеклопластиков».

8. По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, направленных на обеспечение качества управления в многокритериальных системах сделан вывод о состоятельности и эффективности разработанных методов.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Никульчев Е. В. Синтез оптимального по времени управления сложных стохастических системам по заданным критериям качества. //Тезисы докладов научно-технический конференции «Моделирование и исследование сложных систем». — Кашира, 1996, с. 66−68.

2. Хныкин А. П., Никульчев Е. В. Исследование и синтез оптимального управления сложными динамическими системами в условиях неопределенности целей. //Сборник научных трудов «Математическое моделирование и управление в сложных системах». Под общ. ред. Музыкина С. Н. — М.:МГАПИ, 1997, с. 61−65.

3. Никульчев Е. В., Никульчев В. Н., Хныкин А. П. Создание автоматизированной системы учета и распределения электроэнергии. //Материалы научно-технической конференции «Новые информационные технологии». — М.: МГАПИ, 1998, с. 39−41.

4. Хныкин А. П., Никульчев Е. В., Налитова Л. В. Моделирование программных движений сложных систем с учетом нечетких множеств заданных критериев качества. //Доклады II международной научно.

— 124технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем» (г. Озеры). — М., 1998, 4.1, с. 122−134.

5. Хныкин А. П., Никульчев Е. В. О проблемах моделирования техпроцессов по заданным критериям качества. //Доклады IV международной научно-технической конференции «Моделирование и надежность», (г. Севастополь) -М.: МГАПИ, 1999, с. 74−78.

6. Никульчев Е. В., Хныкин А. П. Моделирование и выбор оптимальных стратегий в условиях многокритериальности. (Пособие по курсовому проекту по дисциплине «Теория принятия решений»), — М.: МГАПИ, 1999, 40 с.

7. Хныкин А. П., Никульчев Е. В., Волович М. Е. Синтез оптимального управления в задачах с несколькими критериями качества //Материалы III научно-технической конференции «Новые информационные технологии». — М.: МГАПИ, 2000.

8. Никульчев Е. В. Дифференциально-геометрический подход к задачам оптимального управления с несколькими функционалами качества //Материалы III научно-технической конференции «Новые информационные технологии». — М.: МГАПИ, 2000.

9. Никульчев Е. В. Об одном математическом методе обеспечения качества управления в многокритериальных системах. //Сборник научных трудов «Математическое моделирование и управление в сложных системах». Под общ. ред. Музыкина С. Н. — М.: МГАПИ, 2000.