Моделирование переходных процессов с использованием дифференциальных функицональных полиномов

Исследование переходных процессов выполняется с использованием адаптивного алгоритма. На первом этапе выполняется численное моделирование исследуемого устройства. По результатам численных расчетов на втором этапе определяется диапазон изменения переменных []. На третьем этапе с использованием метода наименьших квадратов определяется линеаризованная модель, которая обеспечивает минимально достижимую погрешность моделирования исследуемого устройства в найденном диапазоне изменения переменных. Все нелинейные элементы заменяются полученными дифференциальными моделями. Для полученной линеаризованной системы необходимо определить операторную характеристику в символьном виде. Эта задача решается с использованием разработанных алгоритмов моделирования линейных систем. На четвертом этапе выбирается адаптивное начальное приближение.

.

где — операторная характеристика линеаризованной системы, учитывающая вклад нелинейных элементов.

На пятом этапе выполняются итерации. При указанном начальном приближении первая итерация Пикара имеет вид.

.

к-я итерация Пикара определяется соотношением (1).

При использовании метода Ньютона при адаптивном начальном приближении первая итерация Ньютона с учетом вклада нелинейных элементов имеет вид.

.

Вторая итерация.

.

Получаемые в результате итераций Пикара или Ньютона — Пикара функциональные полиномы зависят от свойств нелинейных элементов, поэтому получили название дифференциальные функциональные полиномы.

Требуемое количество итераций определяется заданной погрешностью моделирования. В результате определяется функциональный полином, позволяющий моделировать в явном виде процессы, происходящие в исследуемом устройстве. Проведенные вычислительные эксперименты позволяют сделать вывод, что при использовании метода Ньютона размерность модели уменьшается в 1,5 — 2, 5 раза по сравнению с итерациями Пикара. При этом в 1,2 -1,5 раза также сокращается требуемое количество итераций.

При расчетах на пятом этапе необходимо многократно выполнять прямое и обратное преобразование Лапласа. Поэтому рассмотренный алгоритм ориентирован на использование информационных технологий и систем компьютерной алгебры. При вычислительных экспериментах использованы программные модули, разработанные в среде MAPLE RELEASE 4 для WINDOWS'95 [Курейчик и др., 1999]. Применение этих модулей допускает определение нелинейных моделей в символьном виде.

Достоинством аналитических моделей является возможность применения при эволюционном моделировании. Они допускает адаптацию к условиям эксплуатации системы путем выбора адаптивного начального приближения. Для этого при задании конкретного диапазона изменения внешнего воздействия необходимо определить соответствующее ему значение линеаризованной модели нелинейного элемента. При использовании этого подхода этапы расчета переходных процессов с использованием рассмотренного выше алгоритма остаются неизменными, изменяется только порядок выполнения моделирования.