Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения
Что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины (X, Y). Пример. Найти функцию распределения двумерной случайной величины по данной плотности совместного распределения. Обозначив для краткости левую часть равенства через PABCD и применив к правой части теорему Лагранжа, получим. Зная плотность совместного распределения f (x> y), можно… Читать ещё >
Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Зная плотность совместного распределения f (x> y), можно найти функцию распределения F (x, у) по формуле 
что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины (X, Y).
Пример. Найти функцию распределения двумерной случайной величины по данной плотности совместного распределения.
Решение. Воспользуемся формулой.
Положив fix, у) = —-т-7-. получим.
7 Г (1 + х2)(1 + у2)
Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности
Вероятность попадания случайной точки (X; У) в прямоугольник ABCD (рис. 16) равна (см. § 6).
Обозначив для краткости левую часть равенства через PABCD и применив к правой части теорему Лагранжа, получим.
где.
Отсюда.
или.
Рис. 16.
Приняв во внимание, что произведение АхАу равно площади прямоугольника ABCD, заключаем: /(?, г|) есть отношение вероятности попадания случайной точки в прямоугольник ABCD к площади этого прямоугольника.
Перейдем теперь в равенстве (**) к пределу при Ах —" 0 и Ду —> 0.
Тогда? —>ху г) —> у и, следовательно,.
/(& Л)-«/(*. У) —
Итак, функцию /(х, г/) можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами Ах и Ау) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю.