Основные понятия математической статистики

Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Статистическое наблюдение — это работа по сбору массовых первичных данных.

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала надо каким-либо образом обработать — упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде. Это первая задача. Вторая задача — оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины. Следующей задачей является проверка статистических гипотез, т. е. решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными.

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков.

Случайная величина — это величина, которая в результате каждого опыта принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Будем обозначать случайные величины латинскими буквами X, У, Z…

Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина — это случайная величина, которая может принимать не более чем счетное (т.е. либо конечное, либо счетное (можно занумеровать)) множество значений. Примеры дискретных случайных величин:

• • число попаданий в мишень при п выстрелах (возможные значения от 0 до п);
• • число выпавших гербов при п бросаниях монеты (возможные значения от 0 до п)
• • число выпавших единиц при п бросаниях кубика (возможные значения от 0 до п)
• • число прибывших самолетов в аэропорт (счетное множество значений).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Примеры непрерывных случайных величин:

• • время безотказной работы прибора;
• • отклонение точки падения снаряда от цели;
• • температура воздуха на улице;
• • время решения задачи.

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности. Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично (табл. 7.1), графически и аналитически (в виде формулы)

Таблица 7.1

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Пример 7.1. Случайная величина X — это число выпавших очков при бросании кубика. Возможные значения 1, 2, 3, 4, 5, б. Их вероятности равны 1/6. Закон распределения вероятностей данной случайной величины для правильного кубика приведен в табл. 7.2.

Таблица 72

Закон распределения вероятностей случайной величины для кубика (пример 7.1).

Математическое ожидание дискретной случайной вели;

п

чины X равно M (X) = Y, Pi^xr

i=i.

Свойства математического ожидания М (Х):

• 1) М{Х) заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины;
• 2) если X = С = const (постоянная), то М© = С;
• 3) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (СХ) = С • М (Х)
• 4) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий М (Х + Y) = = М{Х) + М (У);
• 5) математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий М (Х • Y) = М (Х) • M (Y).

Пример 7.2. Найдем математическое ожидание дискретной случайной величины из примера 7.1:

Видим, что М (X) заключено между наименьшим (1) и наибольшим (6) значениями случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины X равна:

где М (Х) — это математическое ожидание случайной величины X.

Свойства дисперсии D (X):

• 1) всегда D (X) > 0;
• 2) если X = С = const (постоянная), то D (C) = 0;
• 3) D{CX) = С² • D (X), где С = const;
• 4) дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме их дисперсий D (X + У) = D (X) + D (Y);
• 5) дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D (X — Y) = D (X) + D (Y).

Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

Для решения задач исследования проводится эксперимент (измерение, тестирование, анкетирование), в результате которого получают значение некоторой случайной величины (результаты тестирования, количество баллов). Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то такое обследование называют сплошным.

Часто проводить сплошное обследование, когда изучаются все объекты (например, перепись населения), трудно или дорого, а иногда невозможно. Поэтому обычно применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают п элементов. Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. Исследователь изучает и анализирует выборочную совокупность и на основании полученных показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности.

Выборка должна быть сформирована случайным образом (например, по таблице случайных чисел). Таблица случайных чисел представляет собой последовательность цифр в виде таблицы, в которой каждая из цифр от 0 до 9 встречается независимо друг от друга с вероятностью 0,1. Также выборка должна быть репрезентативной, т. е. давать правильное представление о генеральной совокупности. Примером выборки является любой социологический опрос.

В генеральной совокупности исследуется некоторый количественный признак. Из нее случайным образом извлекается выборка объема п, т. е. число элементов выборки равно п. Каждое наблюдаемое в выборке значение x_i9 i = 1, …, k называется вариантой.

Частота п_х — это число наблюдений значения х_х в выборке. Относительная частота f_{ — это отношение частоты п_х к объему выборки: f_x = п_х/п.