Маршаллианские функции спроса для разных видов предпочтений

Из сказанного выше очевидно, что оптимум потребителя непосредственно связан с функцией спроса. Теперь мы знаем, что спрос — это оптимальный выбор действующих на рынке потребителей. Но их предпочтения могут быть разными. Следовательно, и функции спроса тоже будут различными для разных видов предпочтений.

Каковы особенности функции оптимального спроса?

Функция спроса может быть записана в виде: X = f (P_x, P_Y, I). Она определяет зависимость объема покупки товара, на который предъявляется спрос, от трех параметров: собственной цены, цен других товаров и дохода потребителя. Такая функция называется Маршаллианской функцией спроса, или функцией некомпенсированного спроса. При постоянных ценах эта функция показывает зависимость объема покупки от дохода. А такая взаимосвязь называется кривой (или функцией) Энгеля. Таким образом, одна и та же функциональная зависимость, получаемая в результате решения задачи оптимизации выбора потребителя, может трактоваться и как Маршаллианская функция спроса, и как функция Энгеля.

Стандартные

предпочтения

Функция полезности традиционного вида характеризуется как функция Кобба — Дугласа: U = X" х х Y", а > 0; р > 0.

Для того чтобы вывести функции спроса на товары X и У, рассмотрим проблему максимизации совокупной полезности товарного набора при бюджетном ограничении в общем виде: Р_х-X + Р_у— Y = I.

Проблема максимизации решается через функцию Лагранжа:

Рассмотрим условия первого порядка.

Откуда получаем выражения для равновесных значений X и Y в общем виде.

Эти выражения и представляют собой функции спроса на каждый товар и кривые Энгеля.

Если мы запишем X как функцию от Р_х при постоянном доходе.

то получим выражение для кривой «цена-потребление» (в координатах потребления двух товаров — карты кривых безразличия) и для функции спроса на товарX (в координатах «Цена — Объем покупки»).

Если мы запишем X как функцию от дохода при постоянной цене Р_х

то получим выражение для кривой Энгеля в координатах «Доход — Потребление».

То же самое верно и для Y.