Алгоритм метода итераций

Шаг 1. Задаются концы отрезка а и b, точность метода е.

Шаг 2. Выбирается начальное приближение из условия. Если условие верно, то начальной точкой выбирают точку а, в противном случае — точку b.

Шаг 3. Вычисляется новое приближение по формуле .

Шаг 4. Проверяется условие. Если условие верно, то управление передается шагу 5, в противном случае управление передается шагу 3, используя только что полученное приближение.

Шаг 5. Вывод х_п и .

Шаг 6. Конец.

Блок — схема метода итераций

Пример:

Решить уравнение с точностью е = 0,01, уточняя корень методом итераций.

Решение:

отделение корня. Перепишем уравнение в виде или и. Построив графики, увидим, что х₁ € [-1, 0], х₂ € [0, 1].

Кроме того, ц (0) = -1 0, т. е. за отрезок отделения берем [0, 1].

уточним корень. Запишем уравнение в виде (*).

Проверим условие теоремы: 1) все значения € [0, 1]:, условие выполняется. 2).

отсюда получим, т. е., поэтому за начальную точку берем х₀ = 0, подставим это значение в (*) и найдем, и т. д. Заполним в виде таблицы:

х0	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
		0,735.	0,861.	0,807.	0,8232.	0,820.	0,826.

т. е. за корень х можно взять 0,82.

Проверка: подставим в уравнение х, получим: 0,82² — cos 0,82? -0,0098.

Задание:

Решить уравнение методом итераций с точностью е = 0,0001. Решение:

Преобразуем уравнение к равносильному уравнению, т. е. .

т.е.

Найдем производную от функции .

Определим интервал, где существует один корень. Для этого построим графики функций и.

Заполним в виде таблицы значения х и у отдельно для каждого уравнения.

Итак, корень существует в интервале (2, 3).

Для того, что метод сходился, необходимо выполнение для любых х из интервала (2, 3) условия. Проверим это.

следовательно за начальную точку берем х₀ = 2. Подставим это значение в уравнение и найдем х₁.

Ответ:

За корень возьмем х = 2,257 757.

До того, как написать программу, составим блок — схему.