Определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций. 
Аналитическое условие равновесия

Вместо построения силового многоугольника равнодействующую системы сходящихся сил более точно и значительно быстрее находят вычислением с помощью метода проекций, который обычно называется аналитическим.

Проекцией вектора F на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора F. Проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси:

Проекции векторов сил на оси Рассмотрим определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций.

Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен многоугольник ABCDE, в котором вектор AE F — искомая равнодействующая данной системы.

Выбрав систему координатных осей X и Y в плоскости силового многоугольника, спроецируем его на эти оси:

В краткой форме эти равенства записываются так:

n n

F x Fkx, F y Fky ,.

k 1 k 1.

где — знак суммы, а индекс k последовательно принимает значения от 1 до n, по числу сходящихся сил, равнодействующая которых определяется.

Таким образом, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на каждую из осей координат равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось: Fkx 0 и Fky 0 .

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме: для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на каждую из двух осей координат были равны нулю.