Нормальный закон распределения

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и, входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F (x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

• 1) Функция определена на всей числовой оси.
• 2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
• 3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.
• 4) Найдем экстремум функции.

Т.к. при y' > 0 при x < m и y' < 0 при x > m, то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

• 5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность
• (х — а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
• 6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = m + и x = m — вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т. е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения = 1, = 2 и = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 — в отрицательном.

При а = 0 и = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: