Стационарные случайные процессы

В математических моделях, описывающих различные случайные явления в физике, геофизике, экономике, медицине, наиболее важными СП являются так называемые стационарные процессы. Различают стационарные случайные процессы в узком и широком смысле.

Определение 6.10. СП i;(?), t е Г, называется стационарным в узком смысле, если совместные распределения случайных величин {?(*! +й),?(?₂ +й), +/?)} и {?(*1),…> ?(?")} идентичны и не зависят от А, т. е. не зависят от сдвига, но времени:

Определение 6.11. СП t е Г, называется стационарным в широком смысле, если математическое ожидание и дисперсия Difft))

не зависят от t (т.е. являются постоянными), а корреляционная функция случайных величин ift + и) и ift) зависит только от и, т. е.

Стационарные в узком смысле СП являются стационарными и в широком смысле.

Действительно, для стационарных в узком смысле СП ?;(?) согласно равенству f (x, t + h)= f{pc) при h=-t имеем f (x> t) = f (x, 0) = f (x), где f (x) — одномерная плотность вероятности. Отсюда.

Аналогично для двумерной плотности вероятностей из равенства f (x_v х₂; t_x + h, t₂ + К) = f (x_]|, х₂; t_v t₂) при h = -t_{ получим f (x_x, x₂; t_u t₂) =.

=/(* 1, *2> °> h-f) =f (^xv ^хъ Ч~^г) —

Отсюда для корреляционной функции будем иметь.

Таким образом, для стационарного в узком смысле СП математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, корреляционная функция зависит только от разности аргументов, следовательно, СП является стационарным в широком смысле.

Обратное утверждение в общем случае неверно.

Корреляционная функция стационарного СП обладает следующими свойствами:

• 1) K (-t) = K (t), т. е. K (t) — четная функция;
• 2) имеет место неравенство K (t) < К (0);
• 3) для дисперсии стационарного СП ift) справедливо соотношение D (ift)) = ^(0) = const.

Определение 6.12. Величина называется временем корре

ляции.

Время корреляции т дает приближенное представление о том, на каких интервалах времени имеется корреляция между значениями (сечениями) СП.