Распределение Пуассона. 
Курс высшей математики. 
Теория вероятностей

(Симеон Дени Пуассон (1781 — 1840) — французский математик) Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события, А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события, А в каждом испытании мало (p0,1), то для нахождения вероятности появления события, А k раз находится следующим образом.

Сделаем важное допущение — произведение пр сохраняет постоянное значение:

Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным.

По формуле Бернулли получаем:

Найдем предел этой вероятности при п.

Получаем формулу распределения Пуассона:

Если известны числа и k, то значения вероятности можно найти по соответствующим таблицам распределения Пуассона.

10. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

• 11. Свойства математического ожидания
• 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.
• 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
• 3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события, А в которых равна р.

Теорема. Математическое ожидание М (Х) числа появления события, А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пример. Для рассмотренного выше примера закон распределения случайной величины имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины равно:

Возможные значения квадрата отклонения:

Тогда.

Дисперсия равна:

Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.

Поэтому применяется другой способ.

12. Вычисление дисперсии

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М (Х) и квадрат математического ожидания М ²(Х) — величины постоянные, можно записать:

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера: