О планировании производства

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Предприятие производит изделия трёх видов: U₁, U₂, U₃. По каждому виду изделия предприятию спущен план, по которому оно обязано выпустить не мене b₁ единиц изделия U₁, не мене b₂ единиц изделия U₂ и не мене b₃ единиц изделия U₃. План может быть перевыполнен, но в определённых границах; условия спроса ограничивают количества произведённых единиц каждого типа: не более соответственно ₁, ₂, ₃ единиц. На изготовление изделий идёт какое-то сырьё; всего имеется четыре вида сырья: s₁, s₂, s₃, s₄, причём запасы ограничены числами ₁, ₂, ₃, ₄ единиц каждого вида сырья. Теперь надо узнать какое количество сырья каждого вида идёт на изготовление каждого вида изделий. Обозначим a_ij количество единиц сырья вида s_i (I= 1, 2, 3, 4), потребное на изготовление одной единицы изделия U_j (j= 1, 2, 3). Первый индекс у числа a_ij — вид изделия, второй — вид сырья. Значения a_ij сведены в таблицу (матрицу).

При реализации одно изделие U₁ приносит предприятию прибыль c₁, U₂ — прибыль c₂, U₃ — прибыль c₃. Требуется так спланировать производство (сколько каких изделий производить), чтобы план был выполнен или перевыполнен (но при отсутствии «затоваривания»), а суммарная прибыль обращалась в максимум.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Элементами решения будут x₁, x₂, x₃ — количества единиц изделий U₁, U₂, U₃, которые мы произведём. Обязательность выполнения планового задания запишется в виде трёх ограничений — неравенств: x₁b₁, x₂b₂, x₃b₃.

Отсутствие изделий продукции (затоваривания) даёт нам ещё три ограничения — неравенства: x₁₁, x₂₂, x₃₃.

Целевая функция:

L=c₁x₁+c₂x₂+c₃x₃> max.

Система ограничений:

a₁₁x₁+a₂₁x₂+a₃₁x₃₁.

a₁₂x₁+a₂₂x₂+a₃₂x₃₂.

a₁₃x₁+a₂₃x₂+a₃₃x₃₃.

a₁₄x₁+a₂₄x₂+a₃₄x₃₄.

оптимизация линейный планирование программирование