Условный экстремум ФНП. 
Метод Лагранжа

Рассмотрим функцию u = f (x, у), определенную и непрерывно дифференцируемую на множестве E²₁c Е².

Обозначим Х — множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям.

&(х, у) = 0 (i = 1,…, m). (3.34).

Уравнения (3.34) называются уравнениями связи.

Точка М₀ е Х называется точкой условного максимума функции u = f (x, y), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки М из этой окрестности выполняется условие.

f (M) < f (M0), Мф М0. (3.35).

Точка М₀ е Х называется точкой условного минимума функции u = f (x, y), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки М из этой окрестности выполняется условие.

^М) > f^), М ф М0. (3.36).

Задача об условном экстремуме функции u = f (x, у) при условиях связи (3.34) эквивалентна задаче о локальном экстремуме функции Лагранжа:

^{L (}x у⁾ = l (^x, y⁾ + ЈXi * gi^(x, у^{), (3}.3⁷⁾

где Х₁, Х₂—, X_m — некоторые постоянные (коэффициенты Лагранжа).

Метод Лагранжа состоит из следующих этапов:

• 1. Составляется функция Лагранжа (2 + m) переменных:
  • —х, у) = -х, у) + ZXi * gi (x у). С3.38)
• 2. Вычисляются и приравниваются к нулю ее частные производные по х, у и добавляется уравнение связи:

^О— = ^О- +ЈX, *°gi = о;

О х О х i=, О х (3.39).

О Т О f m О _g

О- = |- + ZXi ^ = о, gifcу) = о (i = 1, 2,…, m).

О у О у i=, О у.

3. Решается система (2 + m) уравнений (3.39) относительно неизвестных х, у, 1Ь…, 1m.

Полученная система уравнений — необходимое условие первого порядка в задаче на относительный экстремум, а ее решения х₀, у₀ называются условно-стационарными точками.

Как и в случае задач на безусловный экстремум, необходимые условия первого порядка не определяют характера условностационарных точек. Для выяснения этого вопроса следует привлечь производные функций f (M), gi (M) более высоких порядков.

Следует вычислить второй дифференциал Если d Ь (х₀, у₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) — условный минимум.

Если d Ь (х₀, у₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) — условный максимум.

Если же d Ь (х₀, у₀) — знакопеременная квадратичная форма, то в точке (х₀, у₀) функция А (х, у) не имеет условного экстремума.

ПРИМЕР 1.

Найти точки условного экстремума функции z = х² + у², если х + у = 1.

Решение.

Ь (х, у, 1) = х² + у² + 1 * (х + у — 1);

L'_x = 2х + 1 = 0; L' = 2у + 1 = 0; L'_X = х + у -1.

Решением этой системы являются точки х = ½; у = ½; X = -1. Далее: Ь" хх= 2, L'_Xy= 0, L" yy= 2.

Определим: d²L = 2 * ёх² + 2dy² > 0.

Следовательно, в точке х = ¹, у = ¹ функция z = х² + у²

достигает своего условного минимума: z_min = (^)² + (^)² = ¹.

ПРИМЕР 2.

Найти точки условного экстремума:

А (х, у) = х * у, х + у = 1.

Решение.

Функция Лагранжа: L^, у, X) = х * у + X (х + у — 1);

Проводим вычисления: L_x = у + X = 0; L'_y = х + X = 0; х + у = 1.

Решение системы: х₀ = ¹; у₀ = ¹; X = - ¹.

Определим: и'_хх = 0, L'_xy = 1, L''^ = 0.

Тогда: d²L = и'_хх * ёх² + 2L<…

• 2. Закон ассоциативности по умножению:
  • (m₁ x m₂) x m₃ =

m₁ x (m₂ x m₃);

3. Законы дистрибутивности:

m₁ x (m₂ + m₃) = m₁ x m₂ + m₁ x m₃, (m₁ + m₂) x m₃= m₁ x m₃ + m₂ x m₃,.

то эта алгебра называется кольцом.

Кольца, в которых для всех отличных от нуля элементов существуют обратные, называются телами.

Тело не является группой относительно операции умножения, поскольку обратные элементы существуют только для элементов, отличных от нуля.

Тело, которое обладает свойством коммутативности по умножению, т. е. m₁ x m₂ = m₂ x m₁, называется полем.

ПРИМЕР 2.

1). Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций, А =, где а, b — рациональные числа.

Решение.

Проверим условия существования группы.

• 1. В носители М = { ax + b} существует единичный элемент е. При, а = 0, b = 0 получаем: 0 * х + 0 = 0 = е е М.
• 2. Для любого m = ах +b существует обратный элемент

m^-1 = а₁х + b₁, где а₁ = -а, b₁ = -b.

Тогда m + m^-1 = 0 = е.

3.. Для элементов носителя выполняется закон ассоциативности.

[ (ак х + Ьк) + (an х + bn) ] + (am х + bm) =.

(ак х + Ьк) + [(an х + bn) + (am х + bm) ].

Здесь (а_к х + Ь_к),(a_n х + b_n), (a_m х + b_m) — произвольные элементы носителя.

Следовательно, группоид является группой.

ПРИМЕР 3.

Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций, А =, где анатуральные числа.

Решение.

1. Для определения единичного элемента требуется положить:

а = 0 тогда бы мы имели имеем 0 * х = 0 = е.

Однако такого выбора сделать нельзя, так как, а — натуральное число (N = 1,2, 3…), а в множество натуральных чисел 0 — не входит.

2. Кстати, для любого m = ах2 не существует и обратного элемента, так как мы не можем выбрать для m-1 отрицательного коэффициента а1 = -а (все натуральные, а > 0).

Следовательно, группоид не является группой.

ПРИМЕР 4.

1). Проверить, является ли группой мультипликативный группоид чисел, А = < 3ⁿ, >, где n — целые числа.

Решение Проверим условия существования группы.

1. В носители М = { 3n } существует единичный элемент е.

При n = 0 получаем: 3⁰ = 1 = е е М.

2. Для любого m = 3n существует обратный элемент.

m^-1 = 3ⁿ¹, где n1 = - n,.

Тогда m x m^-1 = 3ⁿ x 3 ^— n = 3⁰ = 1 = е.

• 3. Для элементов носителя выполняется закон ассоциативности
• 3 x 3J x 3 = 3 x [ 3 x 3J.

Следовательно, группоид является группой ЗАДАНИЕ.

• 1). Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций, А =, где а, b — рациональные числа. Графически представить некоторые элементы заданного носителя.
• 2). Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций, А =, где, а — целые числа. Графически представить некоторые элементы заданного носителя.
• 3). Проверить, является ли группой аддитивный группоид функций, А = >, где, а — целые числа, b — натуральные числа. Графически представить некоторые элементы заданного носителя.
• 5). Проверить, является ли группой мультипликативный группоид функций, А = < х^п, x > - группой, где n — целое число. Представить некоторые из этих функций на графике.
• 6). Проверить, является ли группой мультипликативный группоид функций, А = < 2^nx, x > - группой, где n — целое число. Представить некоторые из этих функций на графике.