Модели Бокса — Дженкинса

Естественным обобщением AR- и МА-моделей является их объединение в единую модель, которую принято называть ARMA-моделъю¹ [5, 6]. Модель ARMA (jp, q)> включающая в себя модели AR (p) и MA (q), имеет вид.

Задача построения модели (7.27) решается в несколько этапов.

На первом этапе происходят анализ и оценивание простой модели AR (l)

Далее проводится проверка статистической гипотезы при альтернативе.

Тот факт, что гипотеза (7.29) не отвергается, означает, что модель (7.28) является моделью, статистически неотличимой от модели случайного блуждания. Отклонение же этой гипотезы в пользу альтернативы Я, свидетельствует, как показано в работах [2, 19], о том, что модель (7.27) является стационарной с точки зрения критерия, основанного на корнях уравнения (7.24).

Проверка гипотезы (7.29) проводится с помощью критерия Дики — Фуллера, основанного на статистике Стыодента:

Отличие критерия Дики — Фуллера от известного в регрессионном анализе критерия Стыодента заключается в том, что при справедливости гипотезы Я₀ статистика (7.30) имеет распределение, отличное от распределения Стьюдента. В связи с этим следует использовать другие критические значения ZXF_Kp(а, N), впервые определенные в работе [32] (см. приложение).

Гипотеза (7.29) отвергается с вероятностью ошибки а, если t < DF_Kp(a, N).

Если гипотеза (7.29) не отвергается, то следует от исходных данных перейти к первым разностям:

Такой переход позволяет устранить негативное влияние «нехорошего» регрессора, соответствующего параметру 0_Г Далее процедура построения модели (7.28) и проверки гипотезы (7.29) повторяется для первых разностей. Если гипотеза (7.29) вновь нс отвергается, то производится переход ко вторым разностям V²e (t) и т. д. Процедура взятия последовательных разностей и проверка гипотезы (7.29) повторяются до тех пор, пока не будет получен стационарный ряд. Порядок разностей k, на котором был достигнут этот результат, называется порядком интегрирования. На практике порядок интегрирования редко бывает большим, часто достаточно первых или вторых разностей.

На втором этапе происходит формирование модели АШМА (р, к, q) которая представляет собой модель ARMA (p, q), построенную на k-х разностях V*e (f). Структуру модели следует определять, основываясь на виде коррелограмм остатков, а также на основе формальных критериев значимости параметров. Если в ходе анализа было получено несколько различных моделей, хорошо описывающих исходные данные, то существенную помощь в выборе наилучшей из них могут оказать информационные критерии Акаике и Шварца [12, 19].

Информационный критерий Акаике основан на статистике.

где т — число параметров модели (для ARIMA (p, к, q) т=р + с/); ii (t) — остатки модели.

Информационный критерий Шварца основан на статистике.

Оба этих критерия объединяют в себе два показателя: количество параметров модели и точность описания^[1]

исходных данных. При этом критерий Акаике дает несостоятельные оценки и асимптотически переоценивает истинное значение т_} тогда как оценки, полученные по критерию Шварца, являются состоятельными. Но оценки критерия Акаике являются более эффективными [17|.

Нетрудно заметить, что эти критерии очень похожи, отличие же заключается в большей чувствительности критерия Шварца к количеству параметров модели. Среди имеющегося набора моделей предпочтение отдается той из них, которой соответствует наименьшее значение AIC или BIC.

• [1] От англ. Auto Regressive Integrated Moving Average model.