Плотность энергии упругой волны

Найдем полную механическую энергию AWдля малого элемента упругой среды, в которой распространяется упругая продольная волна. Она состоит из кинетической Д W и потенциальной Д1У энергий:

Кинетическая энергия колебаний, очевидно, определяется скоростью.

ds

колебаний и = — и массой элемента р5Лг:

Плотность кинетической энергии w_K получается делением выражения (7.19) на объем элемента SAх:

Потенциальная энергия упругого деформированного стержня находится по аналогии с потенциальной энергией пружины и с использованием определения относительной деформации:

Плотность потенциальной энергии w_n получается делением выражения (7.21) на объем элемента SAx

Таким образом, плотность полной энергии упругой волны равна.

С учетом выражения (7.14) можно записать Если волна задана в виде s (x, t) = Acos (cot — kx), то и.

Таким образом, и иг колеблются в одинаковой фазе и плотность энергии волны максимальна там, где и скорость и, и деформация с максимальны. В этом волновой процесс отличается от колебаний отдельной точки, для которой полная механическая энергия постоянна и лишь переходит из кинетической в потенциальную и наоборот.

Из формул (7.23), (7.25), (7.26) и (7.14) имеем.

Из данной формулы очевидно, что кинетическая и потенциальная энергии волны равны. При достаточно больших временах или расстояниях можно усреднить квадрат синуса по периоду (из математики известно, что средний квадрат синуса равен 0,5). Это дает выражение для средней плотности энергии волны.