Переход между системами координат

Рассмотрим преобразования координат, связанные со сменой системы координат. Изучим, как можно задать одну систему координат в терминах другой. Произвольную систему координат можно определить с помощью начала координат и трех векторов, задающих направление (и единицу длины) для осей координат. Будем считать, что задано начало координат р₀ и три вектора 0,.

е₂.

Важным требованием к этим векторам является их линейная независимость. Это означает, что выражение е_а + + ₂е₂

может быть равно нулю только в том случае, когда все три коэффициента Х₀, А.), А₂ одновременно равны нулю. Если три вектора линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через оставшиеся два.

Обычно рассматривают декартовы системы координат. В этом случае считают, что векторы 0, e_t, е₂ попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. Если векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, то они всегда линейно независимы. Далее будем считать, что имеем дело именно с декартовой (ортонормированной) системой координат.

Рассмотрим, что означает, когда точка р имеет в новой системе координат координаты р' = (х' у' г')¹. В этом случае справедлива формула.

Это и есть формула перехода между двумя системами координат. Если рассматривать ее как систему линейных алгебраических уравнений относительно новых координат р' = (х' у' г')¹, то их можно выразить из этой системы через координаты в старой системе координат р.

Далее мы будем считать, что векторы е₀, е_и е₂ попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. Тогда построим матрицу R размером 3×3, в которой вектор е₀ является первой строкой, вектор е_{ — второй, а вектор е₂ — третьей. Запишем это следующим образом:

Если имеется ортонормированная система из трех векторов, то эти векторы могут образовывать правую тройку векторов или левую тройку векторов. Три вектора образуют правую тройку, если они расположены в пространстве как большой, указательный и средний пальцы правой руки. Далее будем считать, что у нас правая тройка.

Рассмотрим следующую матрицу RR^T. Несложно убедиться в том, что элементы этой матрицы являются попарными скалярными произведениями векторов, из которых была построена исходная матрица. Поскольку эти векторы образуют ортонормированную систему, то данная матрица будет единичной. Также несложно показать, что и R^TR — I. Таким образом, матрица R является матрицей поворота, т. е. произвольная правая декартова система координат отличается от любой другой правой декартовой системы координат каким-то поворотом.

Перепишем формулу для преобразования координат, используя матрицу R:

Отсюда легко можно выразить вектор р', используя тот факт, что R — это матрица поворота (т.е. обратная матрица совпадает с матрицей поворота):