Стационарные временные ряды и их характеристики. 
Автокорреляционная функция

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд y_t(t= 1,2,…, п) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей п наблюдений у, Уп такое же, как и п наблюдений у + _т, У2 + т… Уп+х при любых п, t и т. Дру гими словами, свойства строго стационарных рядов y_t не зависят от момента /, т. е. закон распределения и его числовые характеристики нс зависят от /. Следовательно, математическое ожидание a_y(t) = а, среднее квадратическое отклонение a_v(/) = a могут быть оценены по наблюдениям y_t (t = 1,2,…, п) по формулам:

Простейшим примером стационарного временного ряда, у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибки г, некоррелированы, является «белый шум». Следовательно, можно сказать, что возмущения (ошибки) е, в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум, а в случае их нормального распределения — нормальный (гауссовский) белый шум.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда У, У2,…, Уп И У+т, У2+х>-> Уп+х (сдвинутых относительно друг друга на т единиц, или, как говорят, с лагом т) может быть определена с помощью коэффициента корреляции ибо

Так как коэффициент р (т) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость р (т) — автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда y_t (t= 1,2,…, п) автокорреляционная функция р (т) зависит только от лага т, причем р (-т)=р (т), т. е. при изучении р (т) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений т.

Статистической оценкой р (т) является выборочный коэффициент автокорреляции г{т), определяемый по формуле коэффициента корреляции (3.20), в которой х, = y_h у, = у_/+т, а п заменяется на п — т:

ный частный коэффициент корреляции, определяемый по формуле (5.21) или (5.22). Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y_t и уi+2 при устранении влияния у,+ может быть вычислен по формуле (5.22):

где /*(1), г ( 1,2), К2) — выборочные коэффициенты автокорреляции между у/ и jYfb У* п yt+2> y_t и у^ъ t= 1,. ., п.

? Пример 6.1. По данным табл. 6.1 для временного ряда у_{ найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов т=1;2) и частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка.

Решение. Среднее значение временного ряда находим по формуле (6.2):

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (6.3), но в данном случае проще использовать соотношение.

где.

Найдем коэффициент автокорреляции г (т) временного ряда (для лага т = 1), т. е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений y_t и у,+ (/= 1,2,…, 7):

Вычисляем необходимые суммы:

Теперь по формуле (6.5) коэффициент автокорреляции.

Коэффициент автокорреляции r (2) для лага т = 2 между членами ряда у, и y_t+2 (t= 1,2,…, 6) по шести парам наблюдений вычисляем аналогично: /*(2)=0,842.

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка г_часг(2) = /*02.1 между членами ряда y_t и y_t+ 2 при исключении влияния у,+1 вначале найдем (по аналогии с предыдущим) коэффициент автокорреляции /*(1,2) между членами ряда y_t+ и У/+2— ^г~ (1,2)=0,825, а затем вычислим г_част (2) по формуле (6.6):

Знание автокорреляционных функций /*(т) и г_чаСг (^т) может оказать существенную помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценке его параметров (см. об этом дальше).