Определение напряжений и деформаций при растяжении (сжатии)

При растяжении (сжатии) в каждом сечении возникают внутренние нормальные напряжения, которые распределяются равномерно по сечению:

= N/F,

где N — продольная сила в рассматриваемом сечении; F — площадь сечения.

Деформация (удлинение или укорочение) при растяжении (сжатии):

l = Nl/EF,

где l — абсолютная деформация участка стержня; l -первоначальная длина участка стержня; Е — модуль упругости первого рода материала стержня.

Если продольная сила и площадь сечения зависят от координаты сечения, то.

l=

Перемещение какого-либо сечения на i-м участке стержня относительно неподвижного сечения равно сумме деформаций всех предыдущих i-х участков и деформации рассматриваемой части i-го участка, т. е.

В стержнях с заделкой за неподвижное сечение целесообразно принимать заделку.

Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид.

_max= []

Из этого условия можно произвести проверочный расчет на прочность по определению коэффициента запаса:

n = _{оп / max} [n]

где [n] — рекомендуемый для данных условий работы и материала коэффициент запаса.

Из условия прочности также можно произвести проектный расчет — определить площадь, а затем размеры сечения под заданную нагрузку, предварительно выбрав материал и форму сечения:

F N/[].

Условие жесткости при растяжении (сжатии) имеет вид.

l_max [l].

на основе которого также можно провести проверочный и проектный расчеты.

Задача 2.1. Построить эпюру нормальных напряжений и перемещений сечений, подобрать размеры квадратного поперечного сечения для стержня (рис. 2.1), если заданы Р=20 кН, a=10 см, Е=210⁵ МПа, _оп=_т=260 МПа, [n]=2.

Рисунок 2.1.

Определяем реакцию в заделке:

2. Разбиваем стержень на участки. При построение эпюры напряжений следует учитывать не только места приложения нагрузка, но и изменение поперечного сечения стержня. Перемещения сечений целесообразно определить относительно естественно неподвижного сечения — заделки. Это определяет порядок рассмотрения участков — слева направо, т. е. от заделки.

Определяем продольную силу по участкам, рассматривая внешние нагрузки слева от сечения:

• 1 участок: 0 x₁ a; N=2Р=40 кН;
• 11 участок: 0 x₂ a; N=-Р=-20 кН;
• Ш участок: 0 x₃ a; N=Р=20 кН;

IV участок: 0 x₄ a; N=Р=20 кН.

Для определения опасного участка стержня, в котором возникают максимальные напряжения, строим эпюру напряжений в общем виде:

I участок: 0 x₁ a; =2Р/F;

II участок: 0 x₂ a; =-Р/(4F);

Ш участок: 0 x₃ a; =P/(3F);

IV участок: 0 x₄ a; =Р/(2F).

5. Определяем размеры поперечного сечения cтержня на опасном участке. Как видно из эпюры, опасным является I участок, в каждом сечении которого действует наибольшее напряжение.

_мах=2Р/F.

Допускаемое напряжение.

[] =_т/[n] = 260/2 = 130 МПа.

Из условия прочности находим площадь сечения:

F 2Р/[]==3.0810^-4м².

Сторона квадратного сечения.

b==17.6 мм.

Принимаем b_н= 18 мм.

Определяем максимальное нормальное напряжение на I участке при выбранном размере b_н:

F=b_н²=18²=324 мм²=3.2410 ^-4 м²:

==123,4 МПа.

Недогрузка бруса составит.

что допустимо.

Определяем нормальные напряжения по участкам:

I участок: =2P/F=123.4 МПа;

II участок: =-P/(4F)= -15.4 МПа;

Ш участок: =P/(3F)=20.6 МПа;

IV участок: =P/(2F)=30.9 МПа.

7. Определяем уравнения для перемещений сечений относительно заделки:

I участок: 0 x₁ a; .

Удлинение всего I участка:

II участок: 0 x₂ a;

Укорочение всего II участка: .

Перемещение произвольного сечения относительно заделки равно сумме деформаций I участка и части II участка:

.

Ш участок:0 x₃ a; .

Удлинение всего III участка: .

Перемещение произвольного сечения относительно заделки.

.

IV участок:0 x₄ a; .

Удлинение всего IV участка: .

Перемещение произвольного сеченая относительно заделки.

.

По уравнениям строим эпюру перемещений сечений относительно заделки:

при x₁=0 =0; при x₁=a ==0.6210^-4 м;

при x₂=0 ==0.6210^-4 м; при x₂=а ==0.5410^-4м;

при x₃= 0 ==0.5410^-4 м; при x₃=а ==0.6410^-4 м;

при x₄=0 ==0.6410^-4 м; при x₄=а ==0.8810^-4 м;