Применение производной в экономической сфере

Примером использования производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию — предельный продукт труда MPL (marginal product of labor) — это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L — labor) при неизменной величине капитала:

.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то.

.

т.к. dY — результат, dL — затраты, то MPL — предельная производительность труда.

Аналогично, MPk — предельный продукт капитала — дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:

.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то.

.

MPk — характеризует предельную производительность капитала.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f (x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(x0) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: «Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода» .

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если.

MC (Qo)=MR (Qo), где MC — предельные издержки, а MR — предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П (Q). Тогда.

П (Q) = R (Q) — C (Q),.

где R — прибыль, а C — общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П (Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке.

П'(Q) = 0. Но П'(Q)=R'(Q) — C'(Q),.

поэтому.

R'(Qo) = C'(Qo),.

откуда следует, что.

MR (Qo) = MC (Qo).