Модель с постоянным приростом клиентов

Предположим, что каждый месяц число клиентов растет одинаково, т. е.

(5).

(6).

Задача Коши (5), (6) имеет решение.

(7).

Положим для простоты вычислений, тогда.

и, соответственно, .

Воспользовавшись формулой (2), в случае, когда на рекламу выделяется ежемесячно постоянная сумма, получаем:

Приведение подобных дает формулу:

(8).

В случае, когда на рекламу каждый месяц выделяется некоторый процент от вновь поступающих средств, т. е., то воспользовавшись формулой (3), получаем.

(9).

Приведя подобные получаем:

(10).

В обоих случаях (8) или (10) графиком функции является парабола ветви, которой направлены вниз (рис. 1), и поэтому банкротство финансовой пирамиды неизбежно. Для конкретности далее под функцией будем понимать функцию (10).

Рисунок 1. График функции. Здесь — начало безубыточной деятельности финансовой пирамиды, — точка максимума функции , — времени банкротства Рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет два решения. Первое решение соответствует началу безубыточной деятельности, а второе времени банкротства. В частном случае получаем,. В общем случае начало безубыточной деятельности и время банкротства финансовой пирамиды, вычисляются по формулам из (8):

и (11).

или из (10).

и.

(11').

Из формулы (10) следует, что оптимальное для организатора финансовой пирамиды время, когда финансовая пирамида собирает максимальную сумму приходится на вершину параболы.

.

В частном случае получаем.

.

В общем случае.

или.

или.

Заметим, что не зависит от величины вклада, а зависит, от величин процентной ставки по вкладам и процентной ставки направляемой на рекламу и потребление. Чем меньше процентная ставка, тем больше и тем больше времени до банкротства. Обратим внимание, что и здесь время банкротства обратно пропорционально процентной ставке.

Максимально собираемая финансовой пирамидой сумма линейно растет с увеличением величины вклада. Зависимость от процентной ставки более сложна (рис. 2).

Из рис. 2 видно, что принимает минимальное значение при и кроме того:

при малом.

при больших .

Так как, т. е. в месяц является нереальной процентной ставкой, то получаем, собираемая сумма тем больше, чем меньше процентная ставка, т.к., при малом .

Рисунок 2. Зависимость от процентной ставки.