Модель движения космической станции в поле силы тяжести Земли, Луны и Солнца

Лабораторная работа № 3.

Чтобы решить задачу, необходимо для начала четко себе ее представить.

Предположим, всеми правдами и неправдами нам удалось заполучить двумерный участок безвоздушного пространства с находящимися в нем телами. Все тела перемещаются под действием сил гравитации [13]. Внешнего воздействия нет.

Необходимо построить процесс их движения относительно друг друга. Простота реализации и красочность конечного результата послужат стимулом и наградой. Освоение Питона будет хорошей инвестицией в будущее.

Введем систему координат [14].

Пусть система состоит из двух тел:

• 1. массивной звезды массой М и центром ;
• 2. легкой планеты массой m, с центром в точке, скоростью и ускорением .

После разбора данного случая, студент легко перейдет к сложным системам со взаимным влиянием звезд и планет друг на друга.

Согласно Второму закону Ньютона:

Это позволяет составить алгоритм перемещения планеты в поле гравитации звезды [15]:

• 1. Перед началом задается начальное положение планеты и начальную скорость
• 2. На каждом шаге вычисляется новое ускорение по формуле выше, после этого пересчитываем скорость и координаты:

Лабораторная работа № 4.

Целесообразно до начала компьютерной реализации модели провести обезразмеривание переменных, входящих в уравнения, выявить безразмерные комбинации параметров модели и дальнейшие действия производить в безразмерных величинах.

Необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, сопоставлением решений, полученных с несколькими разными шагами по времени).

Целесообразно применять для моделирования стандартные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описанные в математической литературе. Простейшие методы (метод Эйлера) часто бывают неустойчивы и их применение ведет к лишнему расходу времени.

Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы зависимостей перемещения и скорости от времени, графики этих зависимостей, траектории. Желательны динамические иллюстрации движения тел (скажем, изображение движений по траекториям в некотором условном масштабе времени через равные промежутки). Уместны звуковые сигналы (одни — в критические моменты для моделируемого движения, другие — через некоторый фиксированный отрезок пройденного пути и т. д.).

При выводе результатов в табличном виде следует учитывать, что соответствующий шаг по времени не имеет практически ничего общего с шагом интегрирования и определяется удобством и достаточной полнотой для восприятия результатов на экране. Экран, сплошь забитый числами, не поддается восприятию. Выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.

При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием того, какие величины отложены по осям, масштабами и т. д.).

Поскольку таблицы, графики и траектории на одном экране обычно не помещаются, удобно сделать меню, в котором пользователь выбирает желаемый в настоящий момент вид представления результатов.

Ход лабораторной работы:

Запустите приложение Space (рис. 12).

В Главном меню выберите Файл — Открыть — Найдите файл с системой — Откройте файл с системой.

Запустите стандартную модель — Главное меню — Модель — Запуск (рис. 13).

Воспользуйтесь клавишами «+», «-», «>», «<�».

Опишите свои наблюдения.

Выберите Запустите стандартную модель — Главное меню — Модель — Пауза.

Выберите Запустите стандартную модель — Главное меню — Модель — Редактировать.

В окне параметров системы (рис. 14) введите полученные на Практической работе № 1 данные для реальной модели движения системы ИСЗ — Луна — Солнце — Земля [16].

Опишите свои наблюдения.

Какие выводы можно сделать о начальном состоянии системы?

Попытайтесь создать собственную модель на основе расчетов для выбранной системы, выполненных на Практической работе № 1.

Дополнительные задания к лабораторной работе.

Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения [17].

Если моделирование будет производиться в безразмерных переменных (решение — на усмотрение студента и преподавателя), то произвести обезразмеривание и найти набор значений безразмерных параметров.

Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на формы представления результатов.

Выбрать метод интегрирования системы дифференциальных уравнений модели, найти в библиотеке стандартных программ или разработать самостоятельно программу интегрирования с заданной точностью.

Произвести отладку и тестирование полной программы.

Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

Качественно проанализировать результаты моделирования.

Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

титульный лист (название работы, исполнитель, группа и т. д.);

постановку задачи и описание модели;

результаты тестирования программы;

результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

качественный анализ результатов.

Варианты.

Вариант 1.

Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Ньютона.

Вариант 2.

Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость третьего закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.

Вариант 3.

Промоделировать траекторию движения малого космического аппарата, запускаемого с борта космической станции, относительно Земли. Запуск осуществляется путем толчка в направлении, перпендикулярном плоскости орбиты движения станции.

Вариант 4.

Как будет выглядеть полет искусственного спутника Земли, если учесть возмущающее действие Луны?

Вариант 5.

Разработать и реализовать модель движения искусственного спутника Земли при учете воздействия на него малой постоянной силы, обусловленной «солнечным ветром». Считать, что плоскость орбиты движения спутника изначально перпендикулярна «солнечному ветру».

Вариант 6.

Считая, что движение Луны вокруг Земли происходит практически по круговой орбите, проанализировать воздействие на эту орбиту со стороны Солнца для малого участка движения, на котором плоскость орбиты перпендикулярна оси «Солнце-Земля».

Вариант 7.

Проанализировать особенности движения искусственного спутника Земли, движущегося по практически круговой орбите на высоте порядка 300 км, связанные с малым сопротивлением атмосферы.

Практическая работа 2.

Цель: исследовать зависимость формы траектории от величины и направления начальной скорости.

Ход работы:

1. а) По форме траектории движения определить экспериментальным путем величину 1, 2, 3 космических скоростей ИСЗ при следующих условиях:

H = 9 000 000 м ц = 0?00'.

б = 0?00'.

б) Определить интервалы величин скоростей для параболической и эллиптической орбит.

2. Исследовать зависимость формы траектории ИСЗ от направления начальной скорости при следующих условиях.

H = 9 000 000 м ц = 0?00'.

б = 0?; б = 30?; б = 45?; б = 60?; б = 90?

V = 7900 м/с.

Сделать выводы Как изменяется форма траектории ИСЗ в зависимости от изменения величины начальной скорости?

б) Как изменяется форма траектории ИСЗ в зависимости от изменения направления начальной скорости?