Классификация математических моделей

К классификации математических моделей можно подходить по-разному, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук, т. е. рассматривать математические модели в:

• § физике,
• § биологии,
• § экологии,
• § социологии и т. д.

Эта классификация естественна, если к этому подходит специалист в какой-то одной науке.

Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату, т. е. модели, основанные на применении:

• § обыкновенных дифференциальных уравнений,
• § дифференциальных уравнений в частных производных,
• § стохастических методов,
• § дискретных алгебраических преобразований и т. д.

Эта классификация естественна для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования.

Если же человек интересуется общими закономерностями моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, то он поставит на первое место цели моделирования. Тогда получится следующая классификация:

• * дескриптивные (описательные) модели;
• * оптимизационные модели;
• * многокритериальные модели;
• * игровые модели;
• * имитационные модели.

Остановимся на этом чуть подробнее и поясним на примерах:

• 1. Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т. д., т. е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить. Дескриптивными будет в нашем курсе:
  • · модель падения парашютиста,
  • · модель распространения тепла в стержне,
• 2. В некоторых случаях мы можем воздействовать на процесс, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т. е. оптимизируем процесс. В нашем курсе мы будем использовать оптимизационные модели при решении экономических задач.
• 3. Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.). С одной стороны питание должно быть как можно полезнее, с другой стороны — как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т. е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.
• 4. Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и при этом учитывать возможную реакцию противника. При этом используется довольно сложный раздел современной математики — теория игр. Она изучает методы принятия решений в условиях неполной информации.
• 5. Имитационные модели. Часто бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т. е. имитирует его. Например — моделирование движения молекул в газе. Каждая молекула представляется в виде шарика, и задаются условия поведения этих шариков при столкновении друг с другом и со стенками (например, абсолютно упругий удар); при этом не нужно использовать никаких уравнений движения. В данном случае имитационное моделирование применяется для описания свойств большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто сформулировано. Тогда математическое описание сводится к статистической обработке результатов моделирования. В нашем курсе мы будем рассматривать метод Монте-Карло, основанный на моделировании случайных величин.