Основы теории множества

1. Понятие множества и элемента множества. Операции над множествами. Способы задания множеств

Под множеством понимают любую совокупность отличных друг от друга объектов, объединенных общим свойством.

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В, С,…; элементы множества — строчными буквами а, b, с,… Если, а являет-ся элементом множества А, то символически это записывают, а? А, читают «элемент, а принадлежит множеству А»; если, а не является элементом мно-жества А, то используют символ «П», записывают? и читают «элемент, а не принадлежит множеству А».

Множества бывают конечными и бесконечными. Если количество элементов данного множества можно выразить натуральным числом, то его называют конечным, в противном случае — бесконечным. Множество, состоящее из пяти пальцев, — конечное, множество точек отрезка АВ — бесконечное.

Множество, которое не имеет элементов, называется пустым и обозначается символом. Например, множество натуральных чисел, расположенных в натуральном ряду между числами 5 и 6, есть пустое множество.

Множество считается заданным, если о каждом объекте можно сказать, принадлежит он данному множеству или не принадлежит. Например, так как о каждом четырехугольнике можно сказать, является он параллелограммом или не является, то множество всех параллелограммов задано.

Существуют два основных способа задания множеств: перечислением всех его элементов и указанием характеристического свойства его элементов.

Перечислением можно задать конечное множество с небольшим числом элементов. Например, множество букв в слове «баобаб» — это множество, состоящее из букв а, б, о, символически его можно записать М = {а, б, о}.

Характеристическим свойством элементов множества называют свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Множество Х, каждый элемент х которого обладает свойством Р (х), в общем виде символически можно записать Х = {х | P (x) и х? Х}.

Примеры:

1. А = {n | n 5 и n N}, т. е. А — множество натуральных чисел, больших 5.

2. B = {x | 0×7} и x R, т. е. В-множество положительных действительных чисел, не превышающих 7.

Как правило, с помощью характеристического свойства задаются бесконечные множества. Однако в отдельных случаях бесконечное множество можно задать перечислением его нескольких первых элементов и поставить многоточие. Так, множество, А в первом примере можно задать следующим образом:

А = {6, 7, 8,…}. Множество В во втором примере перечислением его элементов задать нельзя.

Числовым множеством называется множество, все элементы которого являются числами. Для обозначения числовых множеств употребляются буквы:

N — множество натуральных чисел;

N0 — множество целых неотрицательных чисел;

Z — множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел.

Таким образом, если речь идет о числовом множестве, то указание буквы задает соответствующее множество.

Операции над множествами:

Объединением двух множеств, А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из них.

Обозначение: A? B.

Пересечением двух множеств, А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству, А и множеству В.

Обозначение: A? B.

Разностью двух множеств, А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству, А и не принадлежат множеству В.

Обозначение: A В.

Символическая запись определения:

(x? A/В) (x? A x B).

Дополнением множества В до множества, А называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, при условии, что.

B? A.

Дополнение множества В до множества, А обозначается симвлом B A', дополнение множества В до универсального — символом B'.

2. Записать с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения: У-множество букв a, b, c; А-множество натуральных чисел, не больших 15.

У={a, b, c}; А={n | n ?15 и n? N}.

3. Перечислить элементы следующих множеств:

А-множество четных однозначных чисел;

В-множество натуральных чисел, меньших или равных 15;

С-множество двузначных чисел, кратных 20.

А={2,4,6,8};

В={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};

С={20,40,60,80}.

• 4. Укажите характеристическое свойство элементов множества:
  • а) {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресение} — дни недели;
  • в) {48,46,44,42,40} четные числа пятого десятка;
  • с) {11,22,33,44,55,66,77,88,99} двузначные числа, состоящие из двух одинаковых цифр.
• 5. Образовать все возможные подмножества множества

Р={13,6,2,7}.

Какое из множеств является подмножеством другого А-множество треугольников;

В-множество прямоугольных треугольников;

С-множество остроугольных треугольников.

Р={13,6,2,7}?{13,6,2}; {13,2,7}; {6,2,7}; {13,2}; {13,7}; {136}; {267}; {713,6};

{6,2,13}; {2,7,13}; {2,13}; {6,13}; {7,13}; {7,2}; {7,6}.

• 6. Понятие пересечения, объединения, вычитания множеств. Найти пересечение, объединение и разность множеств:
  • а). А={16, 39, 5, 57, 17,81}, B={16, 57, 17}
  • в).A={19, 39, 5, 57, 17,81} B={17,16, 57,5, 39, 81}

Пересечением множеств, А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества, А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества, А и В называются непересекающимися. Пересечение множеств обозначается символами «?» и «· «(знак умножения): С = А? В или С = АВ.

Пусть даны множества, А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В. Объединение множеств обозначается символами «+» и «?»: C=A?B.

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как, но иногда можно встретить обозначение A? B и A? B.

Пусть A и B — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

Это множество часто называют дополнением множества B до множества A. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А).

а) А? В={16, 57, 17}; А? В={16, 39, 5, 57, 17,81}, АВ={39, 5, 81};

• б) А? В={39, 57, 81}; А? В={19, 39, 5, 57, 17,81,16}; АВ={19};
• 7. Из каких элементов состоит объединение множеств:
  • а). состоящих их букв в словах «методика» и «математика»;
  • в). М — множество однозначных чисел З — множество четных натуральных чисел. Ответ обоснуйте.
  • а) множество будет состоять из всех букв, входящих в оба слова, т.к. объединением двух множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из них;
  • в). Из элементов множества З, т.к. в множество четных натуральных чисел входят однозначные числа.
• 8. Понятие декартова произведения множеств.

Найти декартово произведение множеств:

А={13,6,5}.

B={2,7},.

верно ли, что, А х В и В х, А содержат одинаковое число элементов;

что, А х В=В х А? Ответ обоснуйте.

множество декартов пересечение Декартовым произведением множеств, А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Декартово произведение обозначают, А X В. Если множества, А и В конечны и содержат небольшое число элементов, можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости. Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением.

Прямым произведением, или декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что и. При этом используют следующее обозначение:

А х В ={13,6,5} х {2,7}=(13,2), (13,7), (6,2), (6,7), (5,2), (5,7).

В х А={2,7} х {13,6,5}=(2,13), (2,6), (2,5), (7,13), (7,6), (7,5).

Верно.

Т.К существует свойство коммутативности, то, А х В? В х А.