Решение уравнения свободных колебаний мембраны методом конечных разностей

Реализацию алгоритмов решения задач математической физики в Matlab в виде функций, созданных пользователем, покажем на примере решения волнового уравнения, описывающего незатухающие колебания в некоторой среде.

Волновое уравнение относится к уравнениям гиперболического типа и в двухмерном случае имеет вид.

(2.13).

где — время;

 — координаты;

— искомая функция координат и времени на прямоугольной области с граничными условиями Дирихле или Неймана на границах, ,, и начальными условиями первого или второго рода на отрезке времени .

Зададим на отрезке равномерную координатную сетку с шагом.

(2.14).

на отрезке равномерную координатную сетку с шагом.

(2.15).

на отрезке — равномерную сетку с шагом.

. (2.16).

Векторы, заданные выражениями (2.14) — (2.16), определяют на прямоугольной области равномерную пространственно-временную сетку:

. (2.17).

Граничные условия первого рода (Дирихле) для рассматриваемой задачи представим в виде.

(2.18).

(2.19).

(2.20).

(2.21).

где , — координаты граничных точек области, ;

 — координаты граничных точек области, ;

, , — некоторые непрерывные функции соответствующих координат.

Граничные условия второго рода (Неймана) для рассматриваемой задачи представим в виде.

(2.22).

(2.23).

(2.24).

. (2.25).

Начальные условия первого рода для рассматриваемой задачи запишем в виде.

(2.26).

(2.27).

где — начальный момент времени;

— конечный момент времени;

 — некоторые непрерывные функции соответствующих координат.

Начальные условия второго рода для рассматриваемой задачи представляются в виде.

(2.28).

. (2.29).

Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной сетке (2.17) с использованием метода конечных разностей, получим.

(2.30).

(2.31).

(2.32).

(2.33).

где , — значения функции в точках, , соответственно.

Проводя дискретизацию граничных условий Неймана на сетке (2.17), получим.

(2.34).

(2.35).

(2.36).

. (2.37).

Проводя дискретизацию начальных условий первого рода, получим.

(2.38).

(2.39).

где — значения функции в точке .

Проводя дискретизацию начальных условий второго рода, получим.

(2.40).

. (2.41).

Проводя дискретизацию волнового уравнения (2.13) для внутренних точек сетки, получим.

.

. (2.42).

Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерностью .

Приведем один из вариантов функции с комментариями для решения системы (2.30) — (2.42) на равномерной сетке (2.17). Текст m-файла см. в приложении Б.

Приведенное текстовое описание функции сохраняется, как и в предыдущем примере, в виде m-файла с именем f_wave2d.m. В отличие от m-файла, приведенного выше, все переменные и массивы в данном случае по умолчанию локальны, т. е. после выполнения функции они автоматически удаляются из оперативной памяти, за исключением возвращаемых функцией значений переменных, имена которых указаны в квадратных скобках после директивы function.

Функция может запускаться на выполнение из командной строки или из m-файла. Запуск на выполнение функции осуществляется директивой.

.

В круглых скобках указываются конкретные значения входных параметров функции. В тексте функции предусмотрены значения входных параметров по умолчанию. Поэтому при вызове без списка входных параметров функция будет выполняться со значениями по умолчанию.

Графики распределений искомой функции по координатам в различные моменты времени отображаются в отдельных графических окнах. После вывода всех графиков в новом окне выводится волновой процесс в динамическом режиме movie, после чего на экране появляется меню, приведенное на рисунке 2.3, которое предоставляет возможность повторного просмотра результатов в динамике.

Рисунок 2.3 Меню для повторного просмотра результатов.

На рисунке 2.4 представлены графики искомой функции в различные моменты времени для значений входных параметров функции по умолчанию. Результаты вычисляются и выводятся в нормированном (безразмерном) виде.

а б.

в г.

д.

е.

Рисунок 2.4 Волновой процесс u (x, y, t) в различные моменты времени:

а) t=0; б) t=0,04; в) t=0,08; г) t=0,12; д) t=0,16; е) t=0,2.