Квантово-механические операторы. 
Элементы квантовой механики

• — оператор координаты частицы х есть само число х. Действие функции координат как оператора сводится просто к умножению волновой функции на функцию ;
• — возьмём выражение для волны де Бройля в простейшем случае (свободно движущаяся частица в отсутствие внешних воздействий)

легко получается (при А=1).

К такому уравнению пришёл Дирак и предложил использовать его как базовое операторное уравнение, в котором собственное значение оператора равно. Можно показать, что.

и.

.

Оператор для полного импульса.

— под моментом импульса МИ (моментом количества движения) в классической механике понимают векторное произведение радиуса-вектора на импульс.

.

В квантовой механике момент импульса изображается оператором, где теперь векторный оператор импульса. Можно определить операторы проекций момента импульса на оси координат.

Оператор квадрата момента импульса имеет вид.

Определено, что операторы компонент МИ не коммутируют между собой. Напротив, каждая из компонент МИ коммутирует с квадратом момента импульса, то есть.

.

В квантовой механике каждому оператору соответствует определённая физическая величина, которая хотя бы в принципе может быть измерена. Доказано, что две величины, изображаемые коммутирующими операторами, могут одновременно иметь определённые значения и поэтому, по крайней мере, в принципе могут быть измерены одновременно. Две величины, изображаемые некоммутирующими операторами, не могут одновременно иметь определённых значений и поэтому не могут быть измерены в одно и то же время.

Из этих правил следует, что проекции момента импульса М_х, М_у и М_z не могут быть измерены одновременно, но любая из них в отдельности может быть измерена одновременно с квадратом полного момента импульса М² .

— оператор кинетической энергии. Опыт показывает, что кинетическая энергия микрочастицы связана с импульсом так же, как и для макротел, то есть.

.

Уравнение для собственных функций оператора таково Оно удовлетворяется функцией в виде плоской волны де Бройля.

Эта же функция есть собственная функция операторов импульса, так что кинетическая энергия.

одновременно измерима с импульсами (естественно, оператор и каждый с ним в отдельности оператор коммутируют между собой).

Оператор может быть записан в любой системе координат, в частности в полярной системе имеем.

Следовательно, можно констатировать.

Если преобразовать выражения для составляющих момента импульса в полярную систему координат, воспользовавшись соотношениями.

то можно получить следующие формулы.

.

Так как записанные операторы воздействуют только на углы и то волновую функцию для них достаточно рассматривать в зависимости лишь от этих углов, то есть.

Учитывая выражение для, следует записать.

— оператор полной энергии. Заметим сперва, что оператор потенциальной энергии есть просто функция координат. В классической механике полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергий. Подобным образом и в квантовой механике оператор, изображающий полную энергию, есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергий Вид потенциальной энергии заимствуется из опыта и характеризует световое поле, воздействующее на микрочастицу. Заметим, что в квантовой механике нельзя сказать, что полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергий: энергия кинетическая есть функция импульсов, а потенциальная — функция координат. Однако не существует квантовых ансамблей, в которых микрочастица имела бы одновременно определённые импульс и координаты. Поэтому нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя порознь её кинетическую и потенциальную энергии.

Полная энергия должна измеряться непосредственно как одно целое. Полную энергию, выраженную через координаты и импульс, в классической механике называют функцией Гамильтона, поэтому оператор называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтонианом.

Если воздействовать оператором на функцию, то получим операторное уравнение Функция безразмерна, следовательно величина Н должна быть энергией Е, то есть или.

.

Последнее равенство есть операторное уравнение Шредингера. Оно может быть переписано в более развёрнутом виде.

.

Для одномерного случая имеем.